試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023級高三第二次診斷考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.考生領(lǐng)到答題卡后，須在規(guī)定區(qū)域填寫本人的姓名、考號和班級.2.考生回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.考生回答非選擇題時(shí)，須用0.5mm黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡上.選擇題和非選擇題的答案寫在試卷或草稿紙上無效.3.考生不得將答題卡帶離考場，考試結(jié)束后由監(jiān)考員收回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．42．已知集合，，則（

）A． B．C． D．3．若直線與直線平行，（

）A． B．C． D．4．在中，，若，，則（

）A． B．C． D．5．已知，則（

）A．-1 B．1C． D．6．已知m是直線，α，β是兩個(gè)不同平面，且m∥α，則m⊥β是α⊥β的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知表面積為的圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球的體積為（

）A． B．C． D．8．已知拋物線的準(zhǔn)線為，為上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，直線與圓相切于點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．或二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得分．9．若將函數(shù)的圖象向左平移后關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（

）A．的最小正周期為B．的最小值為C．D．10．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)B．若，，則C．存在實(shí)數(shù)，使得為減函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)11．設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，圓與的左支在第二象限的公共點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的右支在第一象限的公共點(diǎn)為，的面積為，則（

）A．B．，，三點(diǎn)共線C．，到的距離之積為D．若，則是的漸近線三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知平面向量,，若，則.13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，，則的前項(xiàng)和等于.14．如圖，某水平測試場地修建了一個(gè)實(shí)體圓錐形通信屏蔽罩，其高為，底面圓直徑，且點(diǎn)滿足.現(xiàn)在點(diǎn)處固定一枚無線電信標(biāo)，且在點(diǎn)有一微型無人機(jī)（視為一點(diǎn)）.點(diǎn)在母線上，無人機(jī)先在空中以直線航跡從點(diǎn)飛行到處，隨后緊貼屏蔽罩表面飛行到點(diǎn)，設(shè)飛行路徑總長度為.則的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，且.(1)求；(2)若，求.16．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的的取值范圍.17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.18．已知橢圓的離心率為，短軸長為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)為上一點(diǎn)且在第一象限，點(diǎn)，，延長，分別交橢圓于，兩點(diǎn).（i）若，求直線的斜率；（ii）連接，，記的面積為，的面積為，求的最大值.19．如圖1，直三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，且.圖2所示的多面體，可視為將圖1中的在其平面內(nèi)繞其中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，記為，并重新連接，，，，，得到.(1)如圖2，證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)求多面體的體積；(3)若點(diǎn)在多面體的棱上，求與平面所成角的正弦值的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)在上的位置.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】由復(fù)數(shù)的模長計(jì)算公式可得答案.【詳解】，，故選：B2．A【分析】先解對數(shù)不等式，化簡集合B，再求交集即可.【詳解】對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，因?yàn)榈讛?shù)大于1，為單調(diào)遞增的函數(shù)，可得，因此，集合，根據(jù)交集運(yùn)算，得.故選：A.3．C【分析】將兩直線方程化為斜截式，根據(jù)兩直線平行時(shí)斜率相等且截距不相等的性質(zhì)列方程求解的值.【詳解】直線，斜率，截距，直線，斜率，截距，因?yàn)閮芍本€平行，所以斜率相等且截距不相等，即且，由得，此時(shí)，滿足平行條件.故選：C.4．D【分析】利用向量加法的平行四邊形法則即可求解.【詳解】由可得點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形法則：，即.

故選：D.5．D【分析】根據(jù)正切的二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】，故選：D.6．A【分析】分別判斷充分性和必要性得到答案。【詳解】當(dāng)時(shí)，已知?jiǎng)t，充分性；當(dāng)時(shí)，已知，可以得到，故不必要；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力。7．C【分析】根據(jù)圓柱的表面積公式以及條件，即可求得球的半徑，進(jìn)而求得球的體積.【詳解】令圓柱的底面半徑和高分別為和，球的半徑為，則，又，所以，則球的體積為.故選：C8．B【分析】利用拋物線的定義得到，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到，最后利用列式求解即可.【詳解】

由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，圓的圓心，半徑，設(shè)，則，，根據(jù)拋物線的定義可得，又直線與圓相切于點(diǎn)，，又，又，，即，把代入，得，解得.故選：B.9．BC【分析】由題可求得可對C判斷；可得即可對A判斷求解；利用正弦型函數(shù)的值域可對B求解；由即可對D判斷.【詳解】C：由函數(shù)的圖象向左平移后為，因關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，，解得，，又因?yàn)?，所以，即，故C正確；A：由題可得，故A錯(cuò)誤；B：由值域?yàn)椋缘淖钚≈禐?，故B正確；D：由，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)增減性的關(guān)系即可求解.【詳解】由題得的定義域?yàn)?，且，對于選項(xiàng)A：由于的定義域不對稱，所以不可能是偶函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：若，則，則，若且，則分別屬于和，不妨設(shè)，，如下圖：則，，若，則有，即，，最終有，故B選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)C：若存在實(shí)數(shù)使得為減函數(shù)，即，證明如下：，則，①當(dāng)時(shí)，若，則有恒成立，則，此時(shí)有；②當(dāng)時(shí)，若，則有恒成立，則，此時(shí)有；綜上，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，故C選項(xiàng)正確.對于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令，解得，則有，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在上，單調(diào)遞減，且，，故在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，在上，在處取極大值，故是內(nèi)唯一零點(diǎn).綜上，有2個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11．ABD【分析】由雙曲線定義及圓半徑即可判斷A選項(xiàng)；已知是的垂直平分線，結(jié)合雙曲線定義判斷B選項(xiàng)；設(shè)到的距離分別為利用，垂直平分線性質(zhì)和雙曲線的性質(zhì)，判斷C選項(xiàng)；由面積得到直線的距離，通過余弦定理及漸近線公式判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義得，已知圓的方程為，則圓的半徑為，所以，所以，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€是線段的垂直平分線，所以，根據(jù)雙曲線的定義，有，又因?yàn)椋?，而，即，所以三點(diǎn)共線，選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)，如圖，在中，由余弦定理可得,設(shè)到直線的距離為，則，，所以，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，如圖，，因?yàn)椋?，故是等邊三角形，即，即，因?yàn)椋?，即，雙曲線的漸近線方程為，將代入可得，即，所以是的漸近線，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．1【分析】互相垂直的兩個(gè)向量數(shù)量積為0.由此列出關(guān)于的方程.進(jìn)而求解的值.【詳解】平面向量,，即解得.故答案為：1.13．【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得，.故答案為：.14．【分析】采用化曲為直的方法，將曲面展成與平面共面的扇形，再有兩點(diǎn)之間線段最短求出飛行路徑的最短值，適當(dāng)采取建系的方法可以大幅度減少計(jì)算量.【詳解】由題可知，故該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，則連接可得，又由題知，如圖建立平面直角坐標(biāo)系

則，由兩點(diǎn)之間線段最短可得，所以，故答案為：15．(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；（2）直接由余弦定理解三角形可得.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，即，再由及基本關(guān)系式得，得或，因?yàn)?，所以（舍去），?故.（2）由（1）知，所以，再由余弦定理，且，，得，，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，為直角三角形，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，為鈍角三角形，符合題意；故或.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，，，成等比數(shù)列，且公比為，即可求出公比，寫出通項(xiàng)公式；（2）求出等比數(shù)列的前和，分類討論解不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以，所以，，成等比數(shù)列，且公比為，，所以，，所以.（2）由（1）知，，所以由可得，即，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，則，因?yàn)闉檫f減數(shù)列，且，所以且為奇數(shù)，綜上，17．(1)(2)【分析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程；（2）由，，討論與的大小關(guān)系，討論單調(diào)性即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，,,,在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），令，則，，，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，由于，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，由于，則時(shí)，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以符合題意；②當(dāng)時(shí)，，存在使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，，則存在，使得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則不符合題意；綜上.18．(1)(2)（i）

（ii）【分析】（1）先根據(jù)離心率和短軸長列出方程，再結(jié)合求解出，然后寫出橢圓方程.（2）（i）先設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，再結(jié)合題目所給條件求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，再求解出點(diǎn)坐標(biāo)，然后按照斜率公式求解直線的斜率.（ii）聯(lián)立方程組，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出三角形面積，然后根據(jù)基本不等式求解的最大值即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，短軸長為.即，又，解得.橢圓的方程為（2）設(shè)，因?yàn)橹本€經(jīng)過和，不妨設(shè)直線的方程：.聯(lián)立直線與橢圓方程，消元整理得：，又在橢圓上，，代入上式，整理得：.由韋達(dá)定理得：，即.

（i）且，.，代入上式解得：，，即.又，所以可得：，即.又直線經(jīng)過，直線的方程為.聯(lián)立直線和橢圓方程，解得，即.所以直線的斜率.（ii）由（i）可得，代入直線方程得，所以，同理可得.的面積.的面積.，當(dāng)且僅當(dāng)“”即“”時(shí)“”成立.所以有最大值.19．(1)證明見解析(2)(3)

【分析】（1）建系后利用向量證明即可.（2）多面體是由兩個(gè)全等的四棱錐組成的，先用向量證明是矩形并求出其面積，然后求出點(diǎn)到平面的距離，然后利用體積公式計(jì)算答案.（3）先設(shè)出點(diǎn)的位置，然后利用向量，用參數(shù)表示出線面角的正