試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2026陜西高三年級高考二模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．涂寫在本試卷上無效．4．作答非選擇題時(shí)，將答案書寫在答題卡上，書寫在本試卷上無效．5．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試卷不回收．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．3．已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為（

）A．0 B．2 C． D．4．已知雙曲線的虛軸長為，離心率為2，則該雙曲線的實(shí)軸長為（

）A．5 B．10 C． D．205．已知數(shù)列滿足，則（

）A．-1 B． C．2 D．36．如圖，四棱錐中，底面為正方形，是正三角形，，平面平面，則與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．已知符號函數(shù)，是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有三個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)2分，有兩個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)3分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．C．在上單調(diào)遞增D．把的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)是奇函數(shù)10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為為上第一象限的點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，圓，則（

）A．B．若，則直線傾斜角為C．若的面積為16，則直線的斜率為D．過點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)連線的方程為11．已知兩曲線與存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A． B． C． D．1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩、主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．育德中學(xué)4名同學(xué)在慶元旦活動(dòng)中，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方法有種．（用數(shù)字作答）13．已知，則．14．若表示不大于的最大整數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，則，數(shù)列的前項(xiàng)和為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求的值；(2)求的值．16．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的值．17．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角余弦值的取值范圍．18．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)證明：為定值；(3)若點(diǎn)在軸上方，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，是否存在點(diǎn)，使得與的面積之比為？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．19．定義：當(dāng)三個(gè)正數(shù)能夠成為三角形的三條邊長時(shí)，我們稱其為三角數(shù)組，例如3，5，7是三角數(shù)組，3，5，9不是三角數(shù)組．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)從數(shù)列中任意取出不同的三項(xiàng)，證明：為三角數(shù)組的充要條件是為三角數(shù)組；(3)從數(shù)列的前項(xiàng)中任意取出不同的三項(xiàng)，證明：這三項(xiàng)為三角數(shù)組的概率．參考公式：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【詳解】由，得：，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故選D.2．C【分析】先求出集合，再利用補(bǔ)集的定義和運(yùn)算法則計(jì)算求解【詳解】，解得或，，又，，故C正確．故選：C．3．D【分析】利用方差和平均數(shù)的概念和性質(zhì)，結(jié)合已知條件計(jì)算求解．【詳解】樣本數(shù)據(jù)的方差為，設(shè)樣本平均數(shù)為，，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，故D正確．故選：D．4．B【分析】根據(jù)雙曲線的離心率和求雙曲線的實(shí)軸長，【詳解】因?yàn)殡p曲線的虛軸長，離心率為2，所以，由，得，所以，即雙曲線的實(shí)軸長．故選：B．5．C【分析】利用遞推公式先判斷周期，利用周期數(shù)列即可求解.【詳解】解法1：由數(shù)列滿足，可取，則；取，則；取，則，猜想數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，.解法2：由得，，逐項(xiàng)代換可得，數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，.故選：C6．A【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭钦切?，所以，平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以與所成角的余弦值為.

故選：A7．A【分析】根據(jù)題目條件平面建系設(shè)出、、并判斷所在象限，再用輔助角公式化簡并結(jié)合所在象限求解即可.【詳解】由題意可知，且和中，一個(gè)大于0，另一個(gè)小于0，不妨設(shè)，由函數(shù)可知．不妨設(shè)，，，，所以，，所以所以，則有，因?yàn)椋?，所以，所?故選：A.8．B【分析】設(shè)，求導(dǎo)得出在上單調(diào)遞增．由奇偶性定義可知為上的奇函數(shù)．解法1：原不等式可化為，因此求解即可.解法2：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對稱，原不等式可化為，求解即可；【詳解】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因此在上單調(diào)遞增．可知為上的奇函數(shù)．解法1：因?yàn)?，所以．原不等式可化為，即．由于在上單調(diào)遞增，因此，解得，故選：B．解法2：又因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對稱，且在上單調(diào)遞增，．原不等式可化為，解得，故選：B．9．AC【分析】根據(jù)最大值得出A，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得出周期進(jìn)而得出判斷A，根據(jù)特殊值計(jì)算得出，進(jìn)而得出解析式計(jì)算函數(shù)值判斷B，應(yīng)用正弦函數(shù)單調(diào)性判斷C，應(yīng)用平移變換及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】觀察圖象得，令的最小正周期為，則，解得正確；又，即，而，則，所以，B不正確；因?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增，C正確；，D不正確．故選：AC10．ACD【分析】利用拋物線的焦半徑得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得，即可判斷A，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長求出，進(jìn)而判斷B，根據(jù)的面積為16，求出即可判斷C，由得圓的切線方程，進(jìn)而得切點(diǎn)，利用兩直線的垂直得直線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切點(diǎn)連線的直線方程即可判斷.【詳解】設(shè)，則，則，故，故A正確；設(shè)直線，聯(lián)立，則，設(shè)，則，故，解得，則直線的斜率為，傾斜角為或，故錯(cuò)誤；，解得，則直線的斜率為，故正確；由上述分析可知，圓，圓心，半徑，易知為其中一條切線，切點(diǎn)為，且兩切點(diǎn)連線與垂直，，兩切點(diǎn)連線的斜率為，故兩切點(diǎn)連線為，即，故D正確．故選：ACD．11．BCD【分析】設(shè)公切線與兩曲線相切于點(diǎn)，進(jìn)而得切線方程，即得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，進(jìn)而作出的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)公切線與兩曲線與分別相切于，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由題意可得，，即，設(shè)，則，令得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在（0，e）單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，時(shí)，的圖象如圖所示：由題意可知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，解得，故選：BCD．12．【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)檫@4名同學(xué)每人有三種選購方法，所以共有種不同的選購方法．故答案為：81.13．【分析】法1：由已知等式整理得到，法2：應(yīng)用齊次式法有，進(jìn)而求得，再應(yīng)用和角正切公式求值.【詳解】法1：因?yàn)?，所以，即，所以；?：因?yàn)?，所以，即，所以；故答案為?4．21【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程求出切線方程，結(jié)合題意可得，根據(jù)的定義求出，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解前項(xiàng)和即可.【詳解】因?yàn)?，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，可得，所以，所以．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由二項(xiàng)式定理可得，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由于，為不小于1的整數(shù)，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，故，所以，所以．故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合已知條件，用余弦定理得到關(guān)于的二次方程求解；（2）法一，由正弦定理求出，得到，由得到，代入求解；法二，由余弦定理求出，得到，由得到，代入求解.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，所以，由，及余弦定理得：，解得．?）解法1：由，得．由正弦定理得，，即．因?yàn)?，則，所以是銳角，，則，所以．解法2：由，得．由余弦定理得，所以，又由，得，所以．16．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按照和分類討論，即可求解；（2）解法1：由（1）知當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由（1）知，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)法證得，即，從而求解的值．解法2：由題意可得為的極小值點(diǎn)．求得，然后利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解．解法3：由題意恒成立．當(dāng)時(shí)，顯然成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，恒成立，結(jié)合洛必達(dá)法則利用導(dǎo)數(shù)法求得；當(dāng)時(shí)，恒成立，結(jié)合洛必達(dá)法則利用導(dǎo)數(shù)法求得；從而求解的值．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋簦瑒t在單調(diào)遞增．若，則由得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）解法1：由（1）知當(dāng)在單調(diào)遞增，時(shí)，，不滿足題意．當(dāng)時(shí)，由（1）知．因?yàn)?，所以．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故，結(jié)合可知，故．解法2：因?yàn)?，所以為的極小值點(diǎn)．因此，解得．當(dāng)時(shí)，，由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．因此，滿足題意．綜上，．解法3：因?yàn)椋院愠闪ⅲ?dāng)時(shí)，顯然成立，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，則．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，即，在單調(diào)遞增，因此．當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，即在單調(diào)遞增，．綜上，．17．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）法1，取中點(diǎn)，可證四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理證明；法2，以為原點(diǎn)，分別所在直線為軸建系，由直線與平面的法向量垂直證明.（2）以為原點(diǎn)，分別所在直線為軸建系，由兩平面法向量的夾角公式計(jì)算余弦值，并通過換元法求出該余弦值的取值范圍；【詳解】（1）法1，如圖，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)榉謩e是和的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?：由題意得平面且，因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即平面的一個(gè)法向量為，則平面，所以平面．（2）在直三棱柱中，平面且，因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，由題易知，為平面的一個(gè)法向量．設(shè)，則，有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則，即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，令，則，即平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為．18．(1)；(2)證明見解析，；(3)存在.【分析】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程，解方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，求弦長，計(jì)算，根據(jù)數(shù)量關(guān)系證明；（3）與的面積之比用，表示，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】（1）因?yàn)檩S時(shí)，，所以點(diǎn)在橢圓上，則，又，聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為：．（2）當(dāng)?shù)男甭蕿榱銜r(shí)，為橢圓長軸端點(diǎn)，，則，當(dāng)?shù)男甭什粸榱銜r(shí)，設(shè)的方程為：，設(shè)，由消去得，，所以，又，則，因此，即，所以．（3）根據(jù)題意得，，，，則，同理，而，，由（2）知，于是，，所以，整理得，則或（舍去），因?yàn)?，而，解得，即，所以存在點(diǎn)滿足題意．19．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）解法1：令得，當(dāng)時(shí)，兩式相減化簡得，進(jìn)而求得，又和也滿足，即可得解．解法2：令得，當(dāng)時(shí)，兩式相減化簡得，累加可得，又和也滿足，即可得解．（2）不妨設(shè)，由等差數(shù)列的單調(diào)性知．然后結(jié)合三角數(shù)組的定義和等差數(shù)列基本量的運(yùn)算，從充分性和必要性兩方面證明即可．（3）證法1：先求得總的基本事件有種，再通過作差法和累加法得，即可證明．證法2：先求得總的基本事件有種，再結(jié)合等差數(shù)列求和，按照為奇數(shù)和為偶數(shù)分類討論，求出這三項(xiàng)不是三角數(shù)組的的所有可能取值個(gè)數(shù)，利用對立事件概率公式證明對任意都成立．證法3：將原命題可轉(zhuǎn)化為：從前個(gè)正整數(shù)中任意取出三個(gè)不同的數(shù)，則這三個(gè)數(shù)為三角數(shù)組的概率．設(shè)事件表示“從前個(gè)正整數(shù)中任意取出三個(gè)不同的數(shù)組成三角數(shù)組”，事件表示“從前個(gè)正整數(shù)中取出的三個(gè)不同的數(shù)中最大數(shù)為”，則，易知，，根據(jù)對稱性證得，又，故，即可證明.【詳解】（1）解法1：當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，兩式相減得，整理得，因?yàn)?，所以，所以，從而，因此，所以，?dāng)時(shí)數(shù)列為常數(shù)列．由于，因此，即，且和適合上述關(guān)系．因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．解法2：當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，兩式相減得，整理得，因?yàn)?，所以，所以，從而，累加可得，由于，因此，即，且和適合上述關(guān)系．因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）證明：不妨設(shè)，由（1）知數(shù)列為遞增數(shù)列，因此．充分性：若為三角數(shù)組，則．因?yàn)?、，所以，所以，所以為三角?shù)組．必要性：若為三角數(shù)組，則，即，所以，所以為三角數(shù)組．故為三角數(shù)組的充要條件是為三角數(shù)組．（3）證法1：由（2）知，從數(shù)列的前項(xiàng)中任意取出不同的三項(xiàng)，這三項(xiàng)為三角數(shù)組等價(jià)于從前個(gè)正整數(shù)中依次取出三個(gè)不同的數(shù)，這三個(gè)數(shù)為三角數(shù)組．從中一次任取三個(gè)數(shù)和，共有種可能．記從中一次任取三個(gè)數(shù)為三角數(shù)組的可能數(shù)為，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故，由累加法可得：，故．證法2：由（2）知為三角數(shù)組的充要條件是為三角數(shù)組．從中任意取出不同的三個(gè)數(shù)，不妨設(shè)，共