2026年數(shù)學思維訓練中級習題集一、幾何計算題（共3題，每題10分）1.某城市計劃建設一個半徑為3公里的圓形公園，公園內修建一條寬0.5公里的環(huán)形小路。求小路內外的面積之差。（提示：環(huán)形面積差等于外圓面積減去內圓面積）2.一個長方體容器，長6米、寬4米、高5米，現(xiàn)以每分鐘0.5米的速度向容器內注水，問需多少分鐘才能使水面高度達到3米？（提示：先計算水的體積，再除以注水速度）3.某小區(qū)有一塊三角形空地，底邊長為20米，高為15米。若計劃在這塊空地上種植草坪，每平方米草坪成本為80元，求種植草坪的總費用。（提示：先計算三角形面積，再乘以單價）二、數(shù)列與極限問題（共2題，每題12分）1.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=2a_n+3（n≥1），求該數(shù)列的前5項之和。（提示：先求通項公式，再計算前5項和）2.求極限lim_{n→∞}（1+1/2+1/3+…+1/n）/n的值。（提示：利用調和級數(shù)與自然對數(shù)的關系）三、概率與統(tǒng)計應用（共2題，每題10分）1.某工廠生產(chǎn)的零件合格率為95%，現(xiàn)隨機抽取3個零件，求至少有1個不合格的概率。（提示：先計算全部合格的概率，再用1減去該概率）2.某班級有男生30人，女生20人，現(xiàn)隨機選出5人參加活動，求選出的5人中男女比例至少為2:3的概率。（提示：用組合數(shù)計算滿足條件的選法數(shù)，再除以總選法數(shù)）四、函數(shù)與導數(shù)應用（共2題，每題12分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求其在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。（提示：先求導數(shù)，找出關鍵點，再比較端點和關鍵點的函數(shù)值）2.某商品的需求函數(shù)為p=100-2q（p為價格，q為銷量），求該商品的邊際收入函數(shù)（收入函數(shù)的導數(shù)）。（提示：收入函數(shù)為pq，先展開再求導）五、邏輯推理與組合計數(shù)（共3題，每題10分）1.有5種不同的書，每種書有3本，現(xiàn)從中選出7本書，要求每種書至少選1本，問有多少種不同的選法？（提示：用容斥原理解決）2.某公司有6名工程師，其中3人擅長軟件，2人擅長硬件，1人兩者都擅長?，F(xiàn)要隨機分配3名工程師負責不同項目（每人負責一個方向），求至少有一人負責軟件的概率。（提示：先計算全部不負責軟件的情況，再用1減去該概率）3.一個四位數(shù)，各位數(shù)字互不相同且都不為0，要求千位數(shù)字大于百位數(shù)字，百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字。問有多少個這樣的四位數(shù)？（提示：用排列組合公式，先固定大小關系，再計算排列數(shù)）答案與解析一、幾何計算題1.答案：28.27平方公里解析：外圓面積：π×3^2=28.27平方公里內圓面積：π×(3-0.5)^2=19.63平方公里面積差：28.27-19.63=28.27平方公里2.答案：24分鐘解析：容器底面積：6×4=24平方米水的體積：24×3=72立方米所需時間：72÷0.5=144分鐘（注：此處原題注水速度為0.5立方米/分鐘，若為0.5米/分鐘則需修改）修正：若注水速度為0.5立方米/分鐘，則時間仍為144分鐘；若為0.5米/分鐘，則需重新計算（底面積×高度÷速度=24×3÷0.5=144分鐘）3.答案：4800元解析：三角形面積：20×15÷2=150平方米總費用：150×80=12000元（注：此處單價為80元/平方米，若為80元/平方分米則需修改）修正：若單價為80元/平方分米，則需將面積換算為1500平方分米，總費用為120000元二、數(shù)列與極限問題1.答案：55解析：通項公式：a_n=2^n-3前5項：1,1,5,13,29和：1+1+5+13+29=552.答案：1解析：極限等于lim_{n→∞}(1/n+1/2n+1/3n+…+1/n^2)=lim_{n→∞}(1+1/2+1/3+…+1/n)/n由調和級數(shù)性質，該極限為1三、概率與統(tǒng)計應用1.答案：9.27%解析：全部合格概率：0.95^3=0.8574至少一個不合格：1-0.8574=0.1426（14.26%）2.答案：24.6%解析：總選法：C(50,5)=2118760滿足選法：C(30,2)×C(20,3)+C(30,3)×C(20,2)+C(30,4)×C(20,1)+C(30,5)=646840概率：646840/2118760=0.246（24.6%）四、函數(shù)與導數(shù)應用1.答案：最大值11，最小值-1解析：導數(shù)f'(x)=3x^2-6x關鍵點：x=0（f(0)=2）,x=2（f(2)=-1）端點：f(-1)=-5,f(3)=6最大值：max(2,-1,-5,6)=11最小值：min(2,-1,-5,6)=-5（注：此處原解析有誤，實際最小值為-1）2.答案：R(q)=100q-3q^2解析：收入函數(shù)：R(q)=pq=(100-2q)q=100q-2q^2邊際收入：R'(q)=100-4q五、邏輯推理與組合計數(shù)1.答案：6種解析：滿足條件的選法：C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)+C(5,2)×C(3,1)+C(5,3)=10+15+10=62.答案：98.7%解析：全部不負責軟件概率：C(3,3)/