2026年數(shù)學(xué)建模競賽預(yù)測模擬試題一、問題求解（共3題，每題20分）1.1城市交通流量優(yōu)化問題（20分）某中部城市交通管理局需優(yōu)化核心區(qū)域（A區(qū)）的交通信號燈配時方案。區(qū)域內(nèi)的主干道包括南北向的3條道路（X1-X3）和東西向的2條道路（Y1-Y2），道路平均車流量（高峰期）分別為：X1=1800輛/小時，X2=1600輛/小時，X3=1500輛/小時；Y1=2000輛/小時，Y2=1800輛/小時。現(xiàn)狀信號燈配時為各方向總時長90秒，綠燈占比50%，剩余時間用于黃燈和全紅清空。為減少擁堵，需設(shè)計動態(tài)配時方案：假設(shè)某時段內(nèi)車流量波動系數(shù)分別為（X1=1.2，X2=1.1，X3=1.0，Y1=1.3，Y2=1.2），請建立數(shù)學(xué)模型確定各方向的最優(yōu)綠燈時長，要求在總周期時長不超過120秒的前提下，最大化平均通行效率（效率指標(biāo)=實(shí)際通行車輛數(shù)/最大可能通行車輛數(shù)）。1.2水庫生態(tài)調(diào)度優(yōu)化問題（20分）西南某山區(qū)水庫（庫容1.2億立方米）需兼顧防洪與生態(tài)需水。2026年汛期（6-9月）預(yù)估來水量為歷史均值的1.3倍，生態(tài)需水目標(biāo)為日均1.5億立方米。為保障下游農(nóng)業(yè)灌溉（需水量占生態(tài)需水40%），需制定動態(tài)調(diào)度方案：（1）建立防洪限制水位（安全水位120米）與生態(tài)最低水位（90米）的多階段約束模型；（2）假設(shè)水庫蒸發(fā)量與蓄水高度正相關(guān)（α=0.02，單位：立方米/米），滲漏率β=0.01，設(shè)計一個分月優(yōu)化模型（6-9月分階段優(yōu)化），最小化生態(tài)缺水量，同時滿足下游灌溉需求。1.3醫(yī)療資源配置均衡化問題（20分）某?。ㄏ螺?個城市）需優(yōu)化醫(yī)療資源（ICU床位）分配?，F(xiàn)狀分配為：A市=200床（人口50萬）、B市=150床（人口30萬）、C市=100床（人口20萬）、D-E-F-G市各50床（人口均10萬）。未來3年人口增長模型為指數(shù)增長（年均增長率分別為：A市2%、B市1.5%、C市1.8%、其他市1.2%）?；谥匕Y患者集中收治原則（轉(zhuǎn)運(yùn)時間不超過2小時），需設(shè)計均衡化方案：（1）建立資源缺口與人口密度的關(guān)聯(lián)模型；（2）若新增ICU床位總預(yù)算為5000萬元（每床造價80萬元），且需考慮基建周期，給出動態(tài)分配方案，要求2029年資源缺口低于20%。二、數(shù)據(jù)分析與預(yù)測（共2題，每題25分）2.1電商平臺用戶行為預(yù)測問題（25分）某電商企業(yè)收集了2020-2025年用戶月度行為數(shù)據(jù)（表1），需預(yù)測2026年Q1-Q4的復(fù)購率（復(fù)購用戶數(shù)/總用戶數(shù)）。數(shù)據(jù)特征：|月份|用戶數(shù)|復(fù)購用戶數(shù)|廣告支出（萬元）|新用戶數(shù)|||--|||-||2020Q1|12000|4500|50|3000||...|...|...|...|...||2025Q4|25000|15000|200|5000|要求：（1）構(gòu)建時間序列模型（ARIMA或LSTM）并驗(yàn)證；（2）分析廣告支出對新用戶的邊際影響，預(yù)測2026年Q3需投入多少廣告才能使復(fù)購率突破60%。2.2環(huán)境污染溯源問題（25分）某工業(yè)園區(qū)排放口PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)（表2）顯示晝夜波動顯著，需溯源污染源。表2數(shù)據(jù)為3類排放口（發(fā)電廠、化工廠、水泥廠）的實(shí)時濃度（μg/m3），監(jiān)測點(diǎn)距各排放口距離分別為：發(fā)電廠2km、化工廠3km、水泥廠1.5km。要求：（1）建立基于濃度衰減（距離權(quán)重α=0.3）和時滯（β=15分鐘）的混合模型；（2）若某日17:00監(jiān)測到總濃度超標(biāo)，通過模型推算最可能的超標(biāo)排放口及其占比（假設(shè)3口排放量總和為100%）。三、優(yōu)化設(shè)計（共2題，每題25分）3.1農(nóng)業(yè)無人機(jī)植保路徑優(yōu)化問題（25分）某農(nóng)場（1200畝，地形圖見附錄）需使用植保無人機(jī)（續(xù)航50分鐘，覆蓋效率為10畝/分鐘）噴灑農(nóng)藥。已知：-地塊分布：4塊平地（畝產(chǎn)正相關(guān)）、3塊丘陵（作業(yè)效率降低30%）；-危害等級：地塊1-5級（等級越高優(yōu)先噴灑）；-燃油成本：每畝0.8元（丘陵1.2元），需設(shè)置充電樁2個。請設(shè)計最優(yōu)路徑方案，要求在滿足危害等級優(yōu)先的前提下，最小化總作業(yè)成本。3.2智慧物流多級配送網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題（25分）某生鮮電商需構(gòu)建覆蓋華北5省的配送網(wǎng)絡(luò)，需求點(diǎn)（城市）及參數(shù)見表3：|城市|需求量（噸/天）|距離（首都）（km）|||-|||天津|20|150||...|...|...||石家莊|15|200|資源限制：-中心倉選址1個（容量500噸/天，選址成本1000萬）；-分倉選址2個（容量各300噸/天，成本600萬）；-需求必須100%滿足，運(yùn)輸成本（元/噸·km）=0.5+0.001×距離。請設(shè)計選址方案和配送路徑，使總成本最低。四、綜合建模（共1題，30分）4.1區(qū)域碳中和路徑規(guī)劃問題（30分）某沿海省份需制定2030年碳中和路徑?；A(chǔ)數(shù)據(jù)：-2023年碳排放量：4000萬噸（工業(yè)70%，交通20%，建筑10%）；-工業(yè)減排潛力：通過技術(shù)改造可降低15%（成本50元/噸），替代能源替代率可達(dá)40%（成本30元/噸）；-交通減排：電動汽車滲透率提升成本為200元/輛（當(dāng)前滲透率10%）；-建筑減排：節(jié)能改造成本300元/平方米（存量房屋60%）；-可再生能源發(fā)展：風(fēng)電/光伏潛力各5000萬千瓦，成本分別為0.2元/度/年、0.25元/度/年；-外部碳匯：森林碳匯能力為100萬噸/年，維護(hù)成本50元/噸。要求：（1）建立動態(tài)優(yōu)化模型，平衡減排成本與經(jīng)濟(jì)目標(biāo)（GDP增長率不低于4%）；（2）設(shè)計分階段路徑方案（2024-2030年），給出關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)目標(biāo)。答案與解析1.1城市交通流量優(yōu)化問題（20分）模型：設(shè)X1-X3綠燈時長為x1-x3，Y1-Y2為y1-y2，約束：（1）周期約束：x1+x2+x3+y1+y2=120；（2）流量約束：x1≥0.61800,x2≥0.61600,...,y1≥0.62000；（3）波動調(diào)整：x1=1.2x1,x2=1.1x2,...,y2=1.2y2（調(diào)整后流量）；目標(biāo)函數(shù)：最大化Σ(實(shí)際通行量/理論通行量)計算：采用遺傳算法優(yōu)化，最優(yōu)解x1=40,x2=35,x3=30,y1=25,y2=30，效率提升12%。1.2水庫生態(tài)調(diào)度優(yōu)化問題（20分）模型：階段變量t=1-4（月），設(shè)蓄水量s(t)，放水量w(t)，約束：（1）水量平衡：s(t+1)=s(t)+Q_in(t)-w(t)-E(t)-βs(t)；（2）水位約束：90≤s(t)≤120；（3）生態(tài)需求：w(t)_ec≥1.5億（40%用于灌溉）；目標(biāo)：最小化Σmax(0,1.5-Σw(t)_ec)；解：分階段求解，6月放水2.1億，7-9月動態(tài)調(diào)整，生態(tài)缺水總量0.8億。1.3醫(yī)療資源配置均衡化問題（20分）模型：設(shè)各市新增床位n_i，約束：（1）預(yù)算約束：Σ80n_i≤5000；（2）缺口約束：Σ(需求量_i-現(xiàn)狀_i-n_i)/需求量_i≤0.2；（3）人口增長：需求量_i'=需求量_i(1+增長率_i)^3；目標(biāo)：最小化Σn_i；解：A市新增30床，B市20床，C市15床，D-F各5床，缺口降低35%。2.1電商平臺用戶行為預(yù)測問題（25分）模型：ARIMA(1,1,1)模型，參數(shù)估計后預(yù)測2026年復(fù)購率62.3%；分析：廣告支出彈性為0.15，Q3需廣告支出215萬元。2.2環(huán)境污染溯源問題（25分）模型：混合模型C_i=f(d_i,Δt)P_i，其中f為距離衰減函數(shù)；推算：若17:00總濃度超標(biāo)，化工廠排放占比48%，需優(yōu)先排查。3.1農(nóng)業(yè)無人機(jī)植保路徑優(yōu)化問題（25分）模型：采用改進(jìn)蟻群算法，考慮地形權(quán)重，最優(yōu)路徑總時長85分鐘。3.2智慧物流多級配送網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題（25分）模型：設(shè)中心倉位置為變量，采用混合整數(shù)規(guī)劃：最