2026年數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法優(yōu)化經(jīng)典習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）說(shuō)明：下列每題只有一個(gè)正確答案。1.在以下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，最適合用于實(shí)現(xiàn)快速插入和刪除操作的是？A.鏈表B.數(shù)組C.棧D.堆2.快速排序的平均時(shí)間復(fù)雜度為？A.O(n)B.O(nlogn)C.O(n2)D.O(logn)3.在二叉搜索樹(shù)中，新插入的節(jié)點(diǎn)總是被添加到葉子節(jié)點(diǎn)的位置，這一特性描述的是？A.完全二叉樹(shù)B.平衡二叉樹(shù)C.二叉搜索樹(shù)的性質(zhì)D.哈夫曼樹(shù)4.以下哪種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)適用于實(shí)現(xiàn)LRU（最近最少使用）緩存算法？A.哈希表B.雙向鏈表C.二叉搜索樹(shù)D.堆5.在圖論中，判斷一個(gè)無(wú)向圖是否為樹(shù)的條件是？A.存在唯一一個(gè)環(huán)B.所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)之和為2倍邊數(shù)C.每對(duì)節(jié)點(diǎn)之間有且僅有一條路徑D.存在多個(gè)入度為0的節(jié)點(diǎn)6.堆排序的時(shí)間復(fù)雜度在最壞情況下是？A.O(n)B.O(nlogn)C.O(n2)D.O(logn)7.在以下算法中，歸并排序?qū)儆冢緼.分治算法B.貪心算法C.動(dòng)態(tài)規(guī)劃D.回溯算法8.哈希表沖突解決的主要方法不包括？A.鏈地址法B.開(kāi)放地址法C.二叉搜索樹(shù)法D.雙重散列法9.在二叉樹(shù)中，深度為k的樹(shù)最多有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)？A.2kB.2^(k-1)C.2^k-1D.k210.在以下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，棧的后進(jìn)先出（LIFO）特性使其適用于？A.表格存儲(chǔ)B.深度優(yōu)先搜索C.廣度優(yōu)先搜索D.排序算法二、填空題（每空1分，共10空）說(shuō)明：請(qǐng)將答案填寫(xiě)在橫線上。1.在鏈表中，刪除一個(gè)節(jié)點(diǎn)需要__頭部節(jié)點(diǎn)__和__前驅(qū)節(jié)點(diǎn)__的信息。2.快速排序的樞紐元素選擇方法主要有__隨機(jī)選擇__、__三數(shù)取中__和__固定位置__。3.二叉搜索樹(shù)的左子樹(shù)中所有節(jié)點(diǎn)的值均__小于__根節(jié)點(diǎn)的值。4.堆是一種__完全二叉樹(shù)__，分為_(kāi)_最大堆__和__最小堆__。5.圖的表示方法主要有__鄰接矩陣__和__鄰接表__。6.在Dijkstra算法中，使用__優(yōu)先隊(duì)列__來(lái)優(yōu)化頂點(diǎn)選擇。7.哈希表的負(fù)載因子λ定義為_(kāi)_哈希表中元素個(gè)數(shù)__除以__哈希表大小__。8.二叉樹(shù)的遍歷方式有__前序遍歷__、__中序遍歷__和__后序遍歷__。9.在B樹(shù)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的孩子數(shù)量與其__關(guān)鍵字個(gè)數(shù)__有關(guān)。10.動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用于解決__具有重疊子問(wèn)題__和__最優(yōu)子結(jié)構(gòu)__的問(wèn)題。三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共5題）說(shuō)明：請(qǐng)簡(jiǎn)要回答下列問(wèn)題。1.簡(jiǎn)述鏈表與數(shù)組的區(qū)別及其適用場(chǎng)景。2.解釋快速排序的時(shí)間復(fù)雜度在不同情況下的變化。3.描述二叉搜索樹(shù)的插入和刪除操作的基本步驟。4.解釋哈希表沖突的原因及解決方法。5.說(shuō)明圖的深度優(yōu)先搜索（DFS）和廣度優(yōu)先搜索（BFS）的適用場(chǎng)景。四、編程題（每題15分，共2題）說(shuō)明：請(qǐng)用C++或Java實(shí)現(xiàn)下列功能。1.二叉搜索樹(shù)的最大路徑和輸入：一個(gè)二叉搜索樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)，返回該樹(shù)的最大路徑和。示例：輸入：輸入樹(shù)的結(jié)構(gòu)：10/\515/\\3718輸出：40（路徑：10→15→18）2.哈希表實(shí)現(xiàn)LRU緩存設(shè)計(jì)一個(gè)LRU緩存，支持get和put操作。get返回鍵對(duì)應(yīng)的值，如果不存在返回-1；put插入或更新鍵值對(duì)，如果超出容量則刪除最久未使用的項(xiàng)。示例：輸入：容量=2["LRUCache","put","put","get","put","get","get"][[2],[1,1],[2,2],[1],[3,3],[2],[4]]輸出：[-1,-1,1,-1]解釋?zhuān)篖RUCachelRUCache=newLRUCache(2);lRUCache.put(1,1);//緩存是{1=1}lRUCache.put(2,2);//緩存是{1=1,2=2}lRUCache.get(1);//返回1lRUCache.put(3,3);//去除鍵2，緩存是{1=1,3=3}lRUCache.get(2);//返回-1(未找到)lRUCache.get(4);//返回-1(未找到)五、算法設(shè)計(jì)題（每題20分，共2題）說(shuō)明：請(qǐng)?jiān)敿?xì)描述算法設(shè)計(jì)思路，并給出偽代碼或代碼實(shí)現(xiàn)。1.平衡二叉搜索樹(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)插入操作能保持平衡的二叉搜索樹(shù)（如AVL樹(shù)），要求在插入后能自動(dòng)調(diào)整樹(shù)的高度，確保樹(shù)的高度差不超過(guò)1。描述：-插入節(jié)點(diǎn)時(shí)如何判斷是否需要旋轉(zhuǎn)？-有哪些旋轉(zhuǎn)類(lèi)型？-如何通過(guò)旋轉(zhuǎn)維護(hù)平衡？2.最小生成樹(shù)算法優(yōu)化給定一個(gè)無(wú)向圖，設(shè)計(jì)一個(gè)最小生成樹(shù)（MST）算法，要求在普里姆（Prim）算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，使其時(shí)間復(fù)雜度更低。描述：-原始普里姆算法的缺點(diǎn)是什么？-如何通過(guò)優(yōu)先隊(duì)列優(yōu)化？-給出優(yōu)化后的算法偽代碼。答案與解析一、單項(xiàng)選擇題答案1.A2.B3.C4.B5.C6.B7.A8.C9.C10.B解析：1.鏈表支持動(dòng)態(tài)插入和刪除，時(shí)間復(fù)雜度為O(1)；數(shù)組插入刪除需移動(dòng)元素，時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。2.快速排序平均時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)，但最壞情況為O(n2)。3.二叉搜索樹(shù)性質(zhì)保證左子樹(shù)節(jié)點(diǎn)值小于根節(jié)點(diǎn)，右子樹(shù)節(jié)點(diǎn)值大于根節(jié)點(diǎn)。4.雙向鏈表支持快速刪除最近使用節(jié)點(diǎn)（LRU）。5.樹(shù)是無(wú)環(huán)連通圖，所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)之和為2倍邊數(shù)。6.堆排序時(shí)間復(fù)雜度與建堆和調(diào)整堆有關(guān)，均為O(nlogn)。7.歸并排序通過(guò)遞歸分解子問(wèn)題并合并。8.二叉搜索樹(shù)是用于沖突解決的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。9.完全二叉樹(shù)第k層最多有2^(k-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)。10.棧LIFO特性適用于DFS。二、填空題答案1.頭部節(jié)點(diǎn)，前驅(qū)節(jié)點(diǎn)2.隨機(jī)選擇，三數(shù)取中，固定位置3.小于4.完全二叉樹(shù)，最大堆，最小堆5.鄰接矩陣，鄰接表6.優(yōu)先隊(duì)列7.哈希表中元素個(gè)數(shù)，哈希表大小8.前序遍歷，中序遍歷，后序遍歷9.關(guān)鍵字個(gè)數(shù)10.重疊子問(wèn)題，最優(yōu)子結(jié)構(gòu)三、簡(jiǎn)答題答案1.鏈表與數(shù)組的區(qū)別及其適用場(chǎng)景-鏈表：動(dòng)態(tài)大小，插入刪除快（O(1)），隨機(jī)訪問(wèn)慢（O(n)）；數(shù)組：靜態(tài)大小，隨機(jī)訪問(wèn)快（O(1)），插入刪除慢（O(n)）。適用場(chǎng)景：鏈表適用于頻繁插入刪除的場(chǎng)景（如棧/隊(duì)列）；數(shù)組適用于隨機(jī)訪問(wèn)和穩(wěn)定數(shù)據(jù)存儲(chǔ)。2.快速排序時(shí)間復(fù)雜度變化-平均：O(nlogn)，分治法每次遞歸均分；-最壞：O(n2)，所有元素有序時(shí)樞紐選擇不當(dāng)；-優(yōu)化：隨機(jī)樞紐或三數(shù)取中可減少最壞情況概率。3.二叉搜索樹(shù)插入刪除步驟插入：-從根節(jié)點(diǎn)比較，找到空位置插入；刪除：-找到節(jié)點(diǎn)，分三種情況處理（無(wú)子節(jié)點(diǎn)、一個(gè)子節(jié)點(diǎn)、兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)），通過(guò)旋轉(zhuǎn)或替換維護(hù)性質(zhì)。4.哈希表沖突原因及解決方法原因：哈希函數(shù)映射多個(gè)鍵到同一槽位；解決方法：鏈地址法（將沖突鍵鏈表化）、開(kāi)放地址法（線性探測(cè)/二次探測(cè)）、雙重散列法。5.DFS和BFS適用場(chǎng)景-DFS：遞歸實(shí)現(xiàn)，適用于求路徑或連通性（如拓?fù)渑判颍?BFS：隊(duì)列實(shí)現(xiàn)，適用于求最短路徑（如無(wú)權(quán)圖）。四、編程題答案1.二叉搜索樹(shù)最大路徑和cppclassSolution{public:intmaxPathSum(TreeNoderoot){intmaxSum=INT32_MIN;helper(root,maxSum);returnmaxSum;}inthelper(TreeNodenode,int&maxSum){if(!node)return0;intleft=max(0,helper(node->left,maxSum));intright=max(0,helper(node->right,maxSum));maxSum=max(maxSum,left+right+node->val);returnnode->val+max(left,right);}};2.LRU緩存實(shí)現(xiàn)javaclassLRUCache{privateintcapacity;privateMap<Integer,Node>map;privateNodehead,tail;classNode{intkey,val;Nodeprev,next;Node(intk,intv){key=k;val=v;}}publicLRUCache(intcapacity){this.capacity=capacity;map=newHashMap<>();head=newNode(0,0);tail=newNode(0,0);head.next=tail;tail.prev=head;}publicintget(intkey){if(!map.containsKey(key))return-1;Nodenode=map.get(key);moveToHead(node);returnnode.val;}publicvoidput(intkey,intvalue){if(map.containsKey(key)){Nodenode=map.get(key);node.val=value;moveToHead(node);}else{if(map.size()==capacity){map.remove(tail.prev.key);removeNode(tail.prev);}NodenewNode=newNode(key,value);map.put(key,newNode);addToHead(newNode);}}privatevoidmoveToHead(Nodenode){removeNode(node);addToHead(node);}privatevoidaddToHead(Nodenode){node.prev=head;node.next=head.next;head.next.prev=node;head.next=node;}privatevoidremoveNode(Nodenode){node.prev.next=node.next;node.next.prev=node.prev;}}五、算法設(shè)計(jì)題答案1.平衡二叉搜索樹(shù)（AVL樹(shù)）-旋轉(zhuǎn)類(lèi)型：左旋、右旋、左-右旋、右-左旋；-插入調(diào)整：插入后檢查節(jié)點(diǎn)平衡因子（左右子樹(shù)高度差），若失衡通過(guò)旋轉(zhuǎn)恢復(fù)；偽代碼：cppvoidinsert(Nodenode,intkey){if(!node){//插入節(jié)點(diǎn)node=newNode(key);return;}if(key<node->val)insert(node->left,key);elseinsert(node->right,key);updateHeight(node);intbalance=getBalance(node);if(balance>1&&key<node->left->val)rotateRight(node);//左左if(balance>1&&key>node->left->val)rotateLeft(node->left),rotateRight(node);//左右if(balance<-1&&key>node->right->val)rotateLeft(node);//右右if(balance<-1&&key<node->right->val)rotateRight(node->right),rotateLeft(node);//右左}2.最小生成樹(shù)算法優(yōu)化（Prim）-原始Prim缺點(diǎn)：鄰接矩陣O(n2)，鄰接表可優(yōu)化至O(ElogV)；優(yōu)化方法：使用優(yōu)先隊(duì)列（最小堆）存儲(chǔ)待訪問(wèn)邊，每次彈出最小邊，避免重復(fù)處理；偽代碼：cppvoidprim(vector<vector<pair<int,int>>>&graph){priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>>>pq;vector<bool>inMST(V,false