5.1橢圓的標準方程和性質(zhì)教學內(nèi)容：橢圓的標準方程和性質(zhì)教學目標：1．理解和掌握橢圓的標準方程和性質(zhì)．2．掌握橢圓的幾何性質(zhì)，在習題中靈活運用．教學重難點：重點：橢圓的標準方程和性質(zhì)．難點：靈活運用橢圓的定義和性質(zhì)解決問題．核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象教具準備：PPT教學環(huán)節(jié)：意圖復備（一）引例導入圖5-2如圖5-2所示，取一條定長的細繩，把它的兩端固定在圖板上的兩點F1和F2上(繩子長度大于丨F1F2|），然后用筆尖將細繩繃緊，并使筆尖在圖板上慢慢移動一周，畫出的軌跡是什么曲線呢？圖5-2（二）橢圓的標準方程引例中筆尖畫出的圖形是我們常見的橢圓.引例中筆尖畫出的圖形是我們常見的橢圓.討論：（1）F1,F2兩個點是固定的,還是運動的？筆尖所對應的點呢？（2）筆尖到繩子兩端的距離之和與繩子的長度有怎樣的關系？（3）試驗中為什么要有“繩子長度大于丨F1F2丨”這個限制條件？如果取消這個條件，結果會怎樣？根據(jù)上面的討論，我們得到橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點F1和F2叫做橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距.下面，我們根據(jù)橢圓的圖形特征，選擇適當?shù)淖鴺讼?，來求橢圓的方程.如圖5-3所示，以過焦點F1,F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.設M（x,y）為橢圓上任意一點，它到兩焦點F1和F2的距離之和是定長2a(a>0).設橢圓的焦距是2c(c>0),則F1,F2的坐標分別是(―c,0),(c,o).提出問題，引例導入，為學習新知識打基礎。學習新知，引導學生對問題進行探索，增強學生解決問題能力，突破學習重點。教學環(huán)節(jié)：意圖復備根據(jù)橢圓的定義，點M滿足條件|MF1|+|MF2|=2a.由兩點間距離公式，點M滿足的條件可表示為(x+c移項，得(x+c兩邊平方，得(x+c)2+y2=4a化簡，得a(x?c)2+兩邊再平方，得a2整理，得（a2?c2）x2+a2由橢圓定義可知，2a>2c>0,所以a2>c2,即a2-c2>0.設a2-c2=b2(b>0)，得b2x2+a兩邊同時除以a2b2,得x2這個方程叫做橢圓的標準方程.它的焦點在x軸上，橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和是2a,兩個焦點的坐標是F1(-c,0),F2(c,0),焦距是2c,這里c2=a2-b2,即c=a2?如圖5-5所示，如果橢圓的焦點在y軸上，則焦點的坐標是F1(0,-c),F2(0,c).將焦點在x軸上的橢圓的標準方程中的x和y互換，就可以得到y(tǒng)2a2+x這個方程也是橢圓的標準方程.無論橢圓的焦點在x軸上,還是在y軸上，下面的式子總是成立的，即a2=b學習新知，引導學生對問題進行探索，增強學生解決問題能力，突破學習重點。教學環(huán)節(jié)：意圖復備例題講解例1已知橢圓的焦點坐標是F1(-4,0),F2(4,O)，橢圓上任意一點到F1和F2的距離之和是10,求橢圓的標準方程.解：根據(jù)題意可知,c=4,2a=10,a=5,且橢圓的焦點在x軸上,因為b2=a2-c2=25-16=9,所以橢圓的標準方程為如x例2已知橢圓的標準方程為x23+y解：因為a>b>0,根據(jù)橢圓的標準方程可知，a2=12,b2=3,所以c2=a2-b2=12-3=9,即c=3.又因為橢圓的焦點在y軸上，所以橢圓的焦點坐標為（0,-3）,（0,3）.例3求焦點在x軸上，a=4,且經(jīng)過點A(2,2)的橢圓的標準方程.解：因為焦點在x軸上,且a=4,所以設所求橢圓的標準方程為x2又因為所求橢圓經(jīng)過點A（2,3）,所以點A的坐標（2,3）滿足橢圓方程，即22解得b2=4因此，所求橢圓的標準方程為x2深入理解教材P151練習橢圓的幾何性質(zhì)我們知道，解析幾何是利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的.通過對曲線方程的討論，了解曲線的形狀、大小和位置關系.下面，我們就利用橢圓的標準方程x2a2+y2先觀察圖5-6,你能從圖中看出橢圓的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上的哪些點比較特殊？鞏固新知，通過例題深入理解。鞏固新知。利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，總結分析性質(zhì)解決教學重點。教學環(huán)節(jié)：意圖復備圖5-6（1）范圍.圖5-6由橢圓的標準方程可知，橢圓上任意一點的坐標（x,y），都適合不等式x2a2≤所以-a≤x≤a，-b≤y這說明，橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里，其中還有四個點在矩形上.矩形的兩組對邊長分別為2a和2b,對角線交點是坐標原點.（2）對稱性.在曲線方程中，如果把x換成-x方程不變，這說明當點M(x,y)在曲線上時，它關于y軸的對稱點M’(-x,y)也在曲線上，即曲線關于y軸對稱.同理，如果把y換成-y,方程不變，說明曲線關于x軸對稱.如果同時把x換成-x,y換成-y,方程不變，說明曲線關于原點對稱.在橢圓的標準方程中，把x換成-x,或把y換成-y,或同時把x,y換成-y,方程都不變，這說明橢圓曲線關于y軸,x軸和原點都是對稱的.由此可知，橢圓x2a2+y2b2=1（3）頂點.研究曲線上某些特殊點的位置，可以幫助我們確定曲線的位置.要確定曲線在坐標系中的位置，常常需要求出曲線與坐標軸的交點坐標.在橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1中,令x=0中，得y=±b,可知橢圓與y軸的兩個交點是B1(0,-b)和B2(0,b).同樣，在橢圓的標準方程中，令y=0,得x=±a,可知橢圓與x軸的兩個交點是A1(-a,0)和A1,,A2，B1,B2是橢圓與它的對稱軸的四個交點，它們叫做橢圓的頂點.線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b,a和b分別叫做長半軸長和短半利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，總結分析性質(zhì)解決教學重點。教學環(huán)節(jié)：意圖復備軸長.綜合上述討論，再根據(jù)x,y的對應值的變化情況，我們即可斷定橢圓的形狀.同樣，還可以對橢圓y2a2+x離心率討論：圖5-7所示是三個不同的橢圓.我們發(fā)現(xiàn)，它們的扁平程度是不一樣的，那么用什么量來刻畫橢圓的扁平程度呢？請同學們完成表5-1后回答這個問題.表5-1acb草圖a1=10c1=221b1=4圖5-7圖5-7a2=10c2=91b2=3a3=10c3=311b3=1可以發(fā)現(xiàn)，c越接近于a,橢圓越扁，因此我們可以利用a,c兩個量來刻畫橢圓的扁平程度.橢圓的焦距與長軸長的比e=2c2a=ca因為a>c>0,所以0<e<l,即橢圓的離心率是一個小于1的正數(shù).根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可以簡單地畫出橢圓的草圖：以橢圓的長軸、短軸為鄰邊，利用對稱性在坐標系中畫出矩形；由矩形四邊的中點確定橢圓的四個頂點；用曲線將四個頂點連成一個橢圓.畫圖時要注意圖形的對稱性以及頂點附近的平滑性.由于e=ca,因此當e接近于1時,c接近于a,從而b=a2?c2接近于0,因此橢圓越扁；反之,e接近于0時,c接近于0,從而b=a2?c2接近于a,橢圓越接近于圓.特別地，當c=0,即a=b例題講解例4求橢圓x225+y利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，總結分析性質(zhì)解決教學重點。鞏固新知，通過例題深入理解。教學環(huán)節(jié)：意圖復備解：根據(jù)橢圓的標準方程x225+y29=1及a>a=5,b=3.根據(jù)a2=b2+c2,得c2=25-9=16,故于是，橢圓的長軸長為10,短軸長為6,焦距為8;頂點坐標為A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3)；焦點坐標為F1(-4,0),F2(4,0)；離心率為e=ca=4例5已知橢圓的離心率e=12，焦距為10,焦點在y軸上，求橢圓的標準方解：由已知，得2c=10,e=ca=1于是,c=5,a=10,b2=100-25=75.所以橢圓的標準方程為y2100+x例6如圖5-8所示，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是一個橢圓，地球的中心F2是它的一個焦點，近地點A距地面439公里，遠地點B距地面2384公里，并且F2,A,B三點在同一條直線上.已知地球半徑為6371公里，求衛(wèi)星的軌道方程.(結果保留整數(shù))解：如圖5-8所示，建立直角坐標系，使點F2,A,B在x軸上，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(記F1為左焦點)，則a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810,a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755.解得a=7782.5,c=972.5.∴b=a2?=8755×6810,利用計算器求得b因此，衛(wèi)星的軌道方程為x277832+例7點M（x,y）與定點(c,0)的距離和它到定直線l:a2c的距離的比是常數(shù)ca(a>c>0)，求點鞏固新知，通過例題深入理解。教學環(huán)節(jié)：意圖復備解：如圖5-9所示，設d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意可知,所求軌跡就是集合，即P={M||MF|d=由此得(x?c)2+將上式兩邊平方并化簡，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).圖5-9設a2-c2=b2，就可化成x2a2圖5-9這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是長軸為2a，短軸為2b的橢圓.這個例題告訴我