專題07圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線的問題內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺考點(diǎn)鞏固：必考題型講透練透，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點(diǎn)1：定點(diǎn)問題找到動(dòng)直線（或動(dòng)點(diǎn)）方程中參數(shù)（如斜率k）的“不變部分”。將方程整理為關(guān)于參數(shù)的恒等式，令其系數(shù)為零，即可求出定點(diǎn)（或定直線）。一、直接推導(dǎo)設(shè)參：設(shè)出動(dòng)直線的方程。通常已知直線過某個(gè)定點(diǎn)或已知斜率，常用點(diǎn)斜式：y=kx+m。尋找關(guān)系：利用題目條件（如直線與圓錐曲線相切、相交，或與其他幾何條件如垂直、中點(diǎn)等相關(guān)），找到一個(gè)關(guān)于k和m的關(guān)系式。消參定型：將找到的k和m關(guān)系式代回原始的直線方程y=kx+m中。得到只含一個(gè)參數(shù)的解析式。關(guān)鍵步驟：將此方程整理為關(guān)于參數(shù)k的方程，要使這個(gè)方程對所有k值都成立，則k的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)必須同時(shí)為零。對于y?C=k(x?D)形式，定點(diǎn)顯然是(D,C)。對于更復(fù)雜的形式，將方程按k的冪次項(xiàng)整理，令各項(xiàng)系數(shù)為零，解方程組即可求出定點(diǎn)(x,y)。二、先猜后證法當(dāng)直接推導(dǎo)復(fù)雜或難以進(jìn)行時(shí)，此方法能指明方向，簡化計(jì)算。猜定點(diǎn)：特殊位置法：取參數(shù)（如斜率k）的兩個(gè)特殊值（如0,斜率不存在（豎直直線）,1,-1等），畫出兩條對應(yīng)的特殊位置直線。求交點(diǎn)：解這兩條特殊直線的交點(diǎn)，該點(diǎn)即為猜測的定點(diǎn)(x0證定點(diǎn)：則動(dòng)直線的方程可以化簡為y?y0=f(k)(x?x0)知識點(diǎn)2：定值問題將待證的目標(biāo)量（如斜率積、線段乘積、面積等）用參數(shù)（通常是斜率

k）表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算消去參數(shù)，若結(jié)果是一個(gè)常數(shù)常見的定值類型有：1、斜率的和、積、比為定值2、線段長度、乘積或倒數(shù)和為定值3、面積為定值4、向量數(shù)量積為定值“先猜后證”：取參數(shù)的特殊值（如

k=0,

k=1,

k→∞），快速計(jì)算出目標(biāo)量的值。這個(gè)值很可能就是定值。這不僅能預(yù)知結(jié)果、增強(qiáng)信心，還能用來驗(yàn)證最終化簡結(jié)果是否正確。“設(shè)而不求”的極致運(yùn)用：不僅對交點(diǎn)坐標(biāo)“設(shè)而不求”，對于復(fù)雜的中間量，也保持其整體形式，在后續(xù)運(yùn)算中可能會(huì)相互抵消。參數(shù)關(guān)系式的挖掘：定值問題的核心往往在于題目中隱藏的參數(shù)關(guān)系。知識點(diǎn)3：定直線問題將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為某個(gè)參數(shù)（通常是斜率k）的函數(shù)，然后消參，得到一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程，即為定直線方程。主要步驟為：1、設(shè)參并表示動(dòng)點(diǎn)2、建立關(guān)系3、消參4、得到定直線方程在解題過程中，可以使用幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化，先猜后證等方法幫助解決計(jì)算問題【題型1直線過定點(diǎn)問題】高妙技法找到動(dòng)點(diǎn)方程中參數(shù)方程,整理為關(guān)于參數(shù)的恒等式，令其系數(shù)為零，即可求出定點(diǎn)（或定直線）。1．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知拋物線，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為4．(1)求拋物線的方程；(2)若直線不過點(diǎn)，且直線交于另一點(diǎn)，記直線的斜率為，（i）求證：；（ii）求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）聯(lián)立方程組并利用韋達(dá)定理得到，再結(jié)合題意求解參數(shù)，得到拋物線方程即可.（2）（i）法一直接利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理得到定值，法二利用齊次化結(jié)合直線系方程求解定值，（ii）法一結(jié)合已證定值，求出直線方程，進(jìn)而求解定點(diǎn)，法二結(jié)合齊次化得到的定值求出直線方程，最后求出定點(diǎn)即可.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，代入得，設(shè)點(diǎn)，則，而線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，則，解得，故的方程為.（2）（i）法一：由（1），且，則所以.法二：設(shè)直線方程為，拋物線的方程可表示為，由，得，，，直線的斜率為，，.（ii）法一：如圖，作出符合題意的圖形，

由已知得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，，，整理得，即，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，舍去，直線的方程，直線過定點(diǎn).法二：由已知得，，，（舍）或，直線的方程是，直線過定點(diǎn).2．（25-26高三上·湖南長沙·月考）已知分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，，點(diǎn)為橢圓C上一點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C與直線有唯一公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)．（i）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（ii）已知以橢圓上一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，若直線l交直線于點(diǎn)由點(diǎn)Q引橢圓C的另一條切線，切點(diǎn)為N，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)（i），（ii）.【分析】（1）由得到，將代入橢圓，聯(lián)立方程組求解即可；（2）（i）直線和橢圓聯(lián)立方程組，消去，整理得到，由橢圓C與直線有唯一公共點(diǎn)M，得到，即得，同時(shí)從方程中解出，將其代入解得，從而得到的坐標(biāo)，求出過點(diǎn)M且與l垂直的直線方程，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)中的和分別為點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，通過計(jì)算得到和的方程，即為所求；（ii）分別求出，為切點(diǎn)的切線方程，又這兩條切線都過，將代入這兩條切線方程得到直線的方程，將代入直線得到，代入直線的方程從而求出直線過的定點(diǎn).【詳解】（1），，，為橢圓上一點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，解得，橢圓C的方程為；（2）（i）直線和橢圓聯(lián)立方程組，消去，（3）（4）整理得到，橢圓C與直線有唯一公共點(diǎn)M，，，，且的解為，代入解得，則，，，，過點(diǎn)M且與l垂直的直線方程為，設(shè)，則，則，設(shè)，則，則，中的，，，，，，；（ii）橢圓C的方程為，引橢圓C的另一條切線，切點(diǎn)為N，設(shè)，則為切點(diǎn)的切線方程為，則為切點(diǎn)的切線方程為，這兩條切線都過，，直線的方程為，在直線上，，，直線的方程為，，，，，直線過定點(diǎn).

3．（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知不與軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（，異于點(diǎn)），直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)，若，的橫坐標(biāo)的乘積為，則直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線恒過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知條件求出、、的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出，再根據(jù)直線、與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積為，求出直線所過的定點(diǎn)?！驹斀狻浚?）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為已知橢圓過點(diǎn)，則，左焦點(diǎn)，由可得，，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為，，，由消去得，當(dāng)時(shí)，，，

由，得，則直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是，即，則有，化簡得，解得或（舍去），所以直線的方程為，直線恒過定點(diǎn)．4．（25-26高二上·吉林長春·期中）已知橢圓分別是的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，的最大值為3，當(dāng)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，為等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)，且，①若直線交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程；②證明：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)①證明見詳解，；②證明見詳解，.【分析】（1）根據(jù)條件得出的關(guān)系，求解方程可得答案；（2）①根據(jù)斜率關(guān)系分別設(shè)出直線方程，求解交點(diǎn)可證；②聯(lián)立方程分別求出的坐標(biāo)，寫出直線方程，化簡可得直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以；因?yàn)楫?dāng)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，為等邊三角形，所以，解得，所以，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①證明：由（1）知，;設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)在定直線上.②證明：設(shè)，聯(lián)立，得，則有，解得，，即；聯(lián)立，得，由得，，即；設(shè)直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則.所以直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)，若，則,,此時(shí)直線的方程為；若，則,,此時(shí)直線的方程為；綜上可得，直線恒過定點(diǎn).【題型2定點(diǎn)存在問題與位置關(guān)系】高妙技法與角度、位置關(guān)系等有關(guān)的存在性問題，假設(shè)存在，然后根據(jù)題目幾何條件列出方程，根據(jù)假設(shè)條件求解，看解是否在合理范圍內(nèi)。1．（25-26高三上·重慶·月考）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為；點(diǎn)為橢圓上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.（i）若在軸上方，且，求證:直線過定點(diǎn);（ii）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某些位置使得且?若存在，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）由離心率及面積的最大值列出等式求得即可求解；（2）（i）設(shè)直線方程為：，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理結(jié)合，求得即可求證；（ii）設(shè)，由，得到直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立求得，結(jié)合點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，列出等式求解即可.【詳解】（1）由題意，即，當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，面積的最大值，得：，即，又，所以，即解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）

（i）設(shè)直線方程為：，由得：，，因?yàn)椋?，即所以，整理得：，代入韋達(dá)定理，化簡得：所以直線方程為：，恒過定點(diǎn)；（ii）設(shè)，顯然，則直線斜率為，直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線斜率為，直線的斜率為.所以直線的方程為：直線的方程為：，兩方程聯(lián)立解得：，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即或，又點(diǎn)在橢圓上，，聯(lián)立無解，聯(lián)立，解得：，所以符合條件的點(diǎn)得坐標(biāo)為.2．（25-26高二上·貴州·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，橢圓的離心率為，過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，對于任意的都有？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由題意求出，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到P點(diǎn)坐標(biāo)，利用從而求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意則，由于，則，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線令，則，將*代入整理得，設(shè)，則，，設(shè)，為的中點(diǎn)，，，，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)使得對于任意的都有.3．（25-26高二上·湖南長沙·期中）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為6.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線與橢圓交于兩點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）已知點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)（i）或；（ii）存在，.【分析】（1）利用橢圓定義和基本不等式求，結(jié)合離心率求解可得；（2）（i）直線方程聯(lián)立橢圓方程消元，利用判別式求解可得；（ii）利用直線表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合為平行四邊形求解可得.【詳解】（1）因?yàn)殡x心率為，所以，由橢圓的定義知，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，所以，所以，故橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)，由得，由直線與橢圓交于兩點(diǎn)，知，得，所以或.（ii）存在點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，理由如下：因?yàn)樵跈E圓上，所以易知，設(shè)直線的方程為，令，得，同理，又由（i）知，所以，所以，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，若四邊形為平行四邊形，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)也為，由于，可得得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.4．（25-26高三上·廣東惠州·月考）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為的長軸長為4，直線過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求的面積：(3)在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得直線關(guān)于軸對稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)題意求出即可；（2）先求出直線方程，聯(lián)立方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)求解即可；（3）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式利用斜率相反化簡求得的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（1）由題意可得，，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線的方程為，聯(lián)立，消得，設(shè)，則，所以；（3）設(shè)，易得直線的斜率不為零，可設(shè)，聯(lián)立，得，，設(shè)，則，，因?yàn)橹本€關(guān)于軸對稱，所以時(shí)，，所以（也符合），所以，所以，所以，化簡得，與無關(guān)，所以，故，故存在，使得直線關(guān)于軸對稱.

【題型3定點(diǎn)存在問題與線段定值】高妙技法與線段為定值有關(guān)的存在性問題，假設(shè)存在，然后根據(jù)題目幾何條件列出方程，根據(jù)假設(shè)條件求解，看解是否在合理范圍內(nèi)。1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，且的一條漸近線的斜率為2.(1)求的方程；(2)如圖，記的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與的左支分別交于兩點(diǎn)，且為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）設(shè)直線MN方程為，聯(lián)立方程組，得到，根據(jù)，整理得到，求得，得到直線MN過定點(diǎn)，再由直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，得到過定點(diǎn)，再由，即可求解.【詳解】（1）由雙曲線的左焦點(diǎn)為，一條漸近線的斜率為2，可得，解得，所以的方程為．（2）由（1）知，如圖，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立得，，即，設(shè)，由韋達(dá)定理可得因?yàn)?，所以，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得或，將代入，得，此時(shí)直線過定點(diǎn)，不合題意；將代入，得，如圖，此時(shí)直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，需要討論直線斜率不存在的情況．不妨設(shè)直線方程為，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，故，則（舍）或，此時(shí)過定點(diǎn)，綜上可知，直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，此時(shí)存在以為斜邊的直角三角形，所以存在定點(diǎn)為中點(diǎn)滿足，此時(shí)．2．（25-26高二上·山東日照·期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知直線的方程為，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；(3)若，為軌跡上不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，當(dāng)面積取最大值時(shí)，是否存在兩定點(diǎn)，，使為定值?若存在，求出這個(gè)定值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)2(3)存在兩定點(diǎn)S，T，使為定值.【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，化簡后得到軌跡方程；（2）設(shè)為的左焦點(diǎn)，由橢圓定義和三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為直線上找到一點(diǎn)，使得最大；（3）考慮直線的斜率存在和不存在兩種情況，求出點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，由橢圓定義可知，存在兩定點(diǎn)S，T，分別為或，使為定值.【詳解】（1）由題意得，兩邊平方得，整理得，點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）中，，則，為的右焦點(diǎn)，設(shè)為的左焦點(diǎn)，連接，則，，則，其中當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為到直線：的距離，所以，所以最大值，故的最大值為.（3）存在兩定點(diǎn)S，T，使為定值,理由如下：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，即，設(shè)，則，故，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，滿足，因?yàn)椋?，故，故，令，兩式相除得，故，將其代入得，結(jié)合得，化簡得，因?yàn)?，所以，故，即，?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，則，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足，故當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由橢圓定義可知，存在兩定點(diǎn)S，T，分別為或，使為定值.3．（25-26高三上·浙江·開學(xué)考試）已知橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)M，直線PD與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N.①已知點(diǎn)M坐標(biāo)為，求點(diǎn)橫坐標(biāo)（用表示）；②過點(diǎn)作于點(diǎn)G，是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)①；②存在，【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程即可求解；（2）①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理化簡求解即可；②計(jì)算可得，設(shè)，可得，結(jié)合化簡得到，設(shè)直線，進(jìn)而得到直線過定點(diǎn)，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）由題意，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)直線的方程為，且，，即，聯(lián)立，得，則，即，且，則，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為.由①知，，，則，即，設(shè)，與①同理可得，則，則，設(shè)直線，則，則，又，則，則直線，所以直線過定點(diǎn)，則為中點(diǎn)時(shí)，則，，則，因此，存在定點(diǎn)，使得為定值.4．（25-26高二上·湖南長沙·期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若直線斜率為1，且過點(diǎn)，求線段的長度；(3)直線與拋物線交于不同于的、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，且于，證明：存在定點(diǎn)，使為定值.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，所以拋物線為；（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用焦點(diǎn)弦長公式求出答案；（3）聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成，可得直線過定點(diǎn)，再由，根據(jù)直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，則，即，所以拋物線為；（2）直線的方程為，聯(lián)立拋物線Γ和直線l的方程：，得，，設(shè)，由韋達(dá)定理得，故；（3）由題意可知直線斜率不為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程得：，整理得：，，其中，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，∴，所以直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，所以為直角三角形，所以?dāng)為斜邊中點(diǎn)時(shí)，為定值，此時(shí)，所以定點(diǎn)為，為定值２．【題型4定點(diǎn)存在問題與面積定值】高妙技法與面積定值有關(guān)的存在性問題，先假設(shè)定點(diǎn)存在，然后根據(jù)題目條件求解，判斷解是否在合理范圍。1．（25-26高二上·廣東汕頭·期中）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，離心率為為上異于的點(diǎn).(1)求的方程；(2)為橢圓上異于的另一點(diǎn)（不與重合），直線不與坐標(biāo)軸平行，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為.若直線與相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).證明：在上存在定點(diǎn)，使得的面積為定值，并求出該定值；【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)已知離心率及點(diǎn)在橢圓上列式計(jì)算求解；（2）設(shè)直線聯(lián)立方程組得出韋達(dá)定理，再應(yīng)用三點(diǎn)共線列式及，再化簡得出的方程，最后應(yīng)用面積得出定值.【詳解】（1）由題知，解得，故的方程為：；（2）設(shè)，則，設(shè)直線的方程：代入的方程得：，由共線得，；由共線得；兩式相加得，，故的方程為聯(lián)立與的方程解得，，則在定直線上，則使得的面積為定值的點(diǎn)一定為：過點(diǎn)且與直線平行的直線與的交點(diǎn)，此時(shí).

2．（25-26高二上·遼寧大連·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線，(1)求曲線的方程；(2)曲線與y軸正負(fù)半軸分別交于兩點(diǎn)，不與坐標(biāo)軸平行的直線與曲線交于M、N兩點(diǎn)，①若直線斜率之積為，證明直線過定點(diǎn)；②若直線方程為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，直線OT與直線交于點(diǎn)，曲線上是否存在點(diǎn)，使得面積為定值，若存在求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析；②.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求方程即可；（2）①構(gòu)造關(guān)于斜率的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得出關(guān)系求解定點(diǎn)即可；②逐步表示出直線、，聯(lián)立與直線，解得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則要使面積為定值，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程求出點(diǎn)R即可.【詳解】（1）由題意，則點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，由得，所以曲線的方程為：.（2）①由題意，，設(shè)，直線：，變形可得，即，所以，即，除以得，設(shè)，則，由于，，則為其兩根，由韋達(dá)定理可得，所以，即直線：，令得，故直線過定點(diǎn).②設(shè)，，聯(lián)立由韋達(dá)定理直線：，直線：，代入點(diǎn)得，兩式相加整理得，代入韋達(dá)定理整理得，所以直線：，聯(lián)立得，所以點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，使得面積為定值，則與直線平行，即，代入得，所以點(diǎn)符合題意.

3．（24-25高二下·浙江·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，長軸長為4．(1)求橢圓C的方程：(2)過點(diǎn)的直線交圓于點(diǎn)M、N，直線垂直，且交C于點(diǎn)P、Q，交于點(diǎn)A．記，的面積分別為，．（i）若，求t的取值范圍；（ii）是否存在常數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)（i）；（ii）存在，，理由見解析【分析】（1）由長軸長，離心率，求出，得到橢圓方程；（2）（i）由垂徑定理，由對稱性可知，根據(jù)面積之比得到，A是的中點(diǎn)，時(shí)，得到，時(shí)，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，表達(dá)出直線的方程，求出，并得到，換元后，由對勾函數(shù)單調(diào)性得到，從而得到答案；（ii），由（i）可知，，由垂徑定理得，所以，故當(dāng)，即時(shí)，即為定值3．【詳解】（1）由題意知：，，解得，，故，所以橢圓C的方程為．（2）（i）由垂徑定理可得A是的中點(diǎn)，即，由對稱性可知，易知，，故，所以，故A是的中點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，易知，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由得，解得，故由條件可知，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，故直線的方程為：，令得，由直線過點(diǎn)，故．由可知得，又，故，此時(shí)令，則，則，任取，，則，因?yàn)椋?，所以，，所以，即，故?dāng)時(shí)，t單調(diào)遞減，故．綜上，取值范圍是．（ii）由題得，由（i）可知，故，又，直線，即，所以，故，由垂徑定理得，所以，故當(dāng)，即時(shí)，，即為定值3．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．【題型5定點(diǎn)存在問題與斜率定值】高妙技法與斜率定值有關(guān)的存在性問題，先假設(shè)定點(diǎn)存在，然后根據(jù)題目條件求解，判斷解是否在合理范圍。1．（25-26高二上·湖北荊州·月考）已知橢圓的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)若，求的周長；(2)①若，求橢圓的方程；②根據(jù)①中所求橢圓方程，在軸是否存在異于的定點(diǎn)Q，使為定值(其中為直線QA，QB的斜率)?若存在，求出Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)①=1；②存在，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用對稱性及兩點(diǎn)間距離公式求出三角形周長.（2）①根據(jù)給定條件，利用橢圓定義、結(jié)合三角形相似及斜率坐標(biāo)公式求得即可；②設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式列式求解即可.【詳解】（1）依題意，，則點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以的周長為.（2）①設(shè)，由，得，又，則，又，因此，解得，則，不妨令點(diǎn)，直線的斜率，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)P，則，于是，，又，則，由點(diǎn)在橢圓方程上，得，，所以橢圓的方程為.

②由直線AB與x軸不重合，設(shè)直線AB的方程為，由消去并整理得，設(shè)，則，，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，而，則，，所以存在點(diǎn)，使得為定值.2．（25-26高三上·廣東·月考）已知橢圓的焦距為，且與直線相切.直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上的點(diǎn)（異于），直線的斜率分別為.(1)求的方程；(2)若的面積為，求的值；(3)是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)或(3)存在，或【分析】（1）由焦距為，可將橢圓方程設(shè)為，隨后將橢圓方程與直線聯(lián)立，由判別式為0，可得橢圓方程；（2）設(shè)，將橢圓方程與方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得的面積關(guān)于t的表達(dá)式，可得答案；（3）設(shè)，由題可得，由（2）可得，假設(shè)為定值，最后由等式兩邊恒成立可得答案.【詳解】（1）因?yàn)榈慕咕酁?，所以，由得，則，得，則，則的方程為；（2）設(shè)，由，得.，.設(shè)與y軸交于T，則的面積為：.整理得，得或，則或.（3）設(shè)，則由（2）知，，，則.假設(shè)為定值，則，要使方程恒成立，則，解得或，且，故存在定點(diǎn)或，使得為定值0.3．（25-26高三上·山西長治·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．若的中點(diǎn)到軸的距離為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求拋物線的方程；(2)求的面積；(3)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，使為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，定點(diǎn)為【分析】（1）根據(jù)條件，用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合可求的值，得到拋物線的方程.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，可得點(diǎn)坐標(biāo)，利用求的面積.（3）設(shè)直線：，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，表示，，再設(shè)，用表示得：，可得時(shí)，為定值.【詳解】（1）由題意得的中點(diǎn)到軸的距離為，

又點(diǎn)在拋物線上，，又點(diǎn)在第一象限，即，，,.拋物線的方程：.（2）由（1）可知：，，，所以直線的斜率為，則直線的方程為聯(lián)立拋物線可得，．又，，那么

所以的面積.（3）如圖：設(shè)，，，易知直線斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，消得：

，，由韋達(dá)定理得：，，，為使得為定值，則需滿足與m無關(guān)，故，即，，綜上，存在定點(diǎn)，使得為定值.4．（24-25高二上·福建福州·期末）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱M，N為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對”，記作.（i）證明：存在兩個(gè)點(diǎn)使得是的“共軛點(diǎn)對”，并求的坐標(biāo)；（ii）設(shè)（i）中的兩個(gè)點(diǎn)分別為，，已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，則直線上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值.若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；，；（ii）存在，【分析】（1）由點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程求解即可；（2）（i）由新定義列出等式求解即可；（ii）設(shè)，直線，，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到，再由其為定值得到求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，得，解方程組，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）設(shè)，根據(jù)“共軛點(diǎn)對”定義可知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解方程組，得或，所以有兩個(gè)點(diǎn)滿足“共軛點(diǎn)對”，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，.（ii）由（i）得，直線的方程為.假設(shè)存在定點(diǎn)，依題意可知直線斜率存在，設(shè)直線，即，由消去得，，其中，所以，設(shè)，，，，所以，設(shè)為定值，則，當(dāng)且僅當(dāng)解得，，所以存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.【題型6定點(diǎn)存在問題與向量積定值】高妙技法與向量積為定值有關(guān)的存在性問題，先假設(shè)定點(diǎn)存在，然后根據(jù)題目條件求解，判斷解是否在合理范圍。1．（25-26高二上·黑龍江大慶·月考）已知、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，的離心率為，且．(1)求橢圓的方程；(2)已知是線段上一點(diǎn)（異于、），過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（異于、），直線、分別交直線于、兩點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）根據(jù)條件先求解出的值，再根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出的方程，聯(lián)立橢圓方程與直線的方程可得縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，再表示出的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算以及韋達(dá)定理進(jìn)行化簡，從而可確定出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可知，，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，由題意可知直線的斜率不為，設(shè)，聯(lián)立，可得，所以，且，即，直線的方程為，代入，則，所以，同理可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即(舍去)，此時(shí)，綜上所述，存在或使得為定值.2．（2025高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知雙曲線的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線相切．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，在軸上存在定點(diǎn)，過點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，使為定值，求出此定值和所有的定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)定點(diǎn)，定值1【分析】（1）根據(jù)題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得，再由，求得，即可求得雙曲線的方程；（2）法一、假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，當(dāng)直線方程為時(shí)，求得；再設(shè)直線，聯(lián)立方程組，由，得到，且和，求得，結(jié)合，求得的值，得到答案；法二：設(shè)，聯(lián)立方程組，得到，且和，求得，結(jié)合，求得的值；當(dāng)軸時(shí)，求得的坐標(biāo)，得到，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）解：由原點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線相切，所以，又因?yàn)殡p曲線的焦距為4，可得，所以，則，所以雙曲線的方程為.（2）解：法一：假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，①當(dāng)直線方程為時(shí)，則，所以；②當(dāng)直線方程不是時(shí)，可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，由，即，可得，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為定值1，解得，因?yàn)椴粷M足對任意時(shí)，所以不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，滿足時(shí)，綜上可得：過定點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)，使為定值1．-法二：當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，由，可得，設(shè)，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為定值1，解得，因?yàn)椴粷M足對任意時(shí)，所以不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，滿足時(shí)，當(dāng)直線軸時(shí)，，聯(lián)立方程組，解得，可得，且，所以；綜上可得：過定點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)，使為定值1．-3．（25-26高二上·黑龍江牡丹江·期中）已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足到A與B的連線斜率乘積為1(1)求P的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線交的軌跡于A、B，（ⅰ）若A、B在y軸的右側(cè)，且的面積為，求的方程；（ⅱ）是否存在軸上的定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)（）；(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在點(diǎn).【分析】（1）結(jié)合斜率公式利用直接法求軌跡方程即可；（2）（?。┰O(shè)直線l：，設(shè)，，聯(lián)立直線與軌跡的方程，利用韋達(dá)定理和三角形的面積公式即可求解；（ⅱ）設(shè)，利用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理，結(jié)合定值思想，可得.【詳解】（1）設(shè)，，，由，化簡得（）.（2）設(shè)直線l：，代入得：，整理得：設(shè)，，因?yàn)?，均在雙曲線的右支上，所以，且，所以，.（?。┧裕?，可得，∴直線的方程為：.（ⅱ）假設(shè)存在軸上的定點(diǎn)，使得為定值.因?yàn)椋?，所?因?yàn)闉槌?shù)，所以，此時(shí).所以存在點(diǎn)，使得為定值.4．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的長軸長為直徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)且不重合于軸的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，定值，【分析】（1）由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的長軸為直徑的圓與直線相切，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得，進(jìn)而得到，確定定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證成立，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的長軸為直徑的圓與直線相切，可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，且，，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，則，要使得為定值，則的值與無關(guān)，所以，解得，此時(shí)為定值，定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，則，，可得，綜上所述，在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值．【題型7證明斜率和、差、積、商的定值】高妙技法使用韋達(dá)定理或者移動(dòng)齊次化可以表示出斜率的和、差、積、商，經(jīng)過整理化簡證明該值與假設(shè)的參數(shù)沒有關(guān)系，難度在運(yùn)算上。1．（25-26高二上·河南駐馬店·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別是橢圓的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，若C的離心率為，且O到直線AB的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在x軸下方且不在y軸上，設(shè)直線BM，BN的斜率分別為，，求證：為定值，并求出該定值；【答案】(1)(2)證明見解析，；【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，其中，且，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，再結(jié)合斜率公式化簡即可得出結(jié)論；【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，據(jù)，得，即.所以直線的方程為，即，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，故，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為，其中，且，即，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，聯(lián)立方程組整理得，所以，，所以為定值，得證；2．（25-26高二上·江蘇南京·期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，離心率為．過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交于點(diǎn)．(1)求的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的方程；(3)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)或.(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到，再解方程組即可.（2）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立得到，，，再根據(jù)求解即可.（3），，從而得到，再結(jié)合韋達(dá)定理求即可.【詳解】（1）由題知：，即：（2）設(shè)直線，，，則，方程的判別式，，，因?yàn)?，所以，?解得，即.所以直線或.（3）如圖所示：，，令，則，即.，，因?yàn)椋?即為定值2.3．（25-26高二上·江蘇鹽城·期中）已知橢圓，分別是的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，且在軸上方.(1)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與垂直，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)直線交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上可構(gòu)造方程組求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，可得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此可表示出，結(jié)合可求得，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：，，設(shè)，則，，，，又，，解得：或，與不重合，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）設(shè)，則直線，設(shè)，由得：，，解得：，，；，又，，即為定值.4．（25-26高二上·江蘇連云港·月考）已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，將圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線.(1)求曲線方程；(2)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，，射線，分別與圓交于，兩點(diǎn)，記直線和直線的斜率分別為，.①求與的斜率的乘積；②問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)①；②為定值【分析】（1）設(shè)是曲線上任意點(diǎn)，在圓上的對應(yīng)點(diǎn)為，根據(jù)中點(diǎn)得到與的關(guān)系，代入計(jì)算即可；（2）①設(shè)出M、N坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)M、N在橢圓上進(jìn)行等量代換及斜率公式計(jì)算即可；②設(shè)出直線AM與直線AN的方程，聯(lián)立直線AM方程與橢圓方程可得、，進(jìn)而求得，聯(lián)立直線AM方程與圓方程可得、，同理可得、，進(jìn)而求得，代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)是曲線上任意點(diǎn)，在圓上的對應(yīng)點(diǎn)為，則，即，將其代入圓方程得，即，所以曲線的方程為：.（2）①設(shè)，，，則，?在橢圓上，，即，直線與直線的斜率存在且不為，，則直線與直線的斜率的乘積為.②設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立由韋達(dá)定理，，則，，則，同理，設(shè)，則點(diǎn)，直線的斜率，，由①知，所以，，由軌跡方程，得，代入得因此，于是故為定值.【題型8證明線段的定值】高妙技法使用韋達(dá)定理表示出線段表達(dá)式，經(jīng)過整理化簡證明該值與假設(shè)的參數(shù)沒有關(guān)系，難度在運(yùn)算上。1．（25-26高三上·山東聊城·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C．(1)求軌跡C的方程.(2)已知，點(diǎn)A，B在軌跡C上，且在x軸的同側(cè)，，交于點(diǎn)G，證明：為定值.【答案】(1)+=1(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題意寫出等式，進(jìn)而化簡可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的傾斜角為θ，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為H，由題意，可求，進(jìn)而結(jié)合，把用的來表示，從而化簡可得證明.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為，所以，兩邊同時(shí)平方可得，，，即.所以軌跡C的方程為.（2）證明：設(shè)直線的傾斜角為θ，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為H，如下圖：

由題知，，因?yàn)?，所以，即，利用對稱性，同理可得，于是.因?yàn)?，所以，所?==，所以，同理可得，所以（定值）.2．（25-26高二上·廣東·期末）已知雙曲線過點(diǎn)，一條漸近線方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，，求的最小值；(3)過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，即可求得答案；（2）設(shè)，，表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（3）討論直線斜率是否存在，存在時(shí)，設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，求出的表達(dá)式，化簡即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，一條漸近線方程為，所以，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)辄c(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，設(shè)，，則，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，則時(shí)，取得最小值.（3）證明：當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)可取，，則；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，不妨設(shè)，，因?yàn)橹本€過雙曲線的右焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線方程為，則或，聯(lián)立，消去并整理得，所以，由韋達(dá)定理得，所以.綜上所述，為定值.3．（25-26高二上·江蘇南京·期中）如圖，曲線是以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，是曲線和的交點(diǎn).(1)求曲線和所在的橢圓和拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線和依次交于四點(diǎn).①求面積的取值范圍.②若是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)，(2)①；②是定值，定值為【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)、橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)可直接求得結(jié)果；（2）①將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，由，結(jié)合韋達(dá)定理和的范圍可求得的取值范圍；②將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，將所求比值轉(zhuǎn)化為，代入韋達(dá)定理可整理得到定值.【詳解】（1）設(shè)所在拋物線方程為：，為拋物線的焦點(diǎn)，，解得：，所在的拋物線方程為：；設(shè)所在橢圓方程為：，代入點(diǎn)得：，解得：（舍）或，所在橢圓方程為：.（2）①設(shè)直線方程為，直線與曲線分別交于四點(diǎn)，，；由得：，設(shè)，則，，，，，即面積的取值范圍為；②設(shè)，由得：，則，，，，為定值.4．（24-25高二下·廣西柳州·開學(xué)考試）已知和為橢圓上兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)H在橢圓C上，、是橢圓C的兩焦點(diǎn)，且，求的面積；(3)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，證明：為定值．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）將和代入橢圓，即可求解；（2）由橢圓定義得，結(jié)合余弦定理求得，再由三角形面積公式即可求解；（3）當(dāng)l的斜率為0時(shí)，直接求解；當(dāng)l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，化簡即可證明.【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）由題可知．在中，由余弦定理得，則，即，所以，故的面積是．（3）當(dāng)l的斜率為0時(shí)，；當(dāng)l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，所以，由韋達(dá)定理可得．，故為定值．【題型9證明面積的定值】高妙技法使用韋達(dá)定理表示面積，經(jīng)過整理化簡證明該值與假設(shè)的參數(shù)沒有關(guān)系，難度在運(yùn)算上。1．（25-26高二上·上海浦東新·期中）已知橢圓.定義第次操作為：經(jīng)過上的點(diǎn)作斜率為的直線與交于另一點(diǎn)，記關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若與重合，則操作停止；否則一直繼續(xù)下去.(1)若，求；(2)若，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且位于軸的上方，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若是在第一象限與不重合的一點(diǎn)，求證：的面積為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)，，(3)證明見解析；定值為【分析】（1）根據(jù)條件寫出橢圓的方程，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，將兩者聯(lián)立消元得到關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值，便可得到坐標(biāo)，再由與關(guān)于x軸對稱，所以,坐標(biāo)，所以得到得值；（2）先寫出橢圓的方程，得到的長度，是等腰三角形，分三種情況求解，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在橢圓的短軸上頂點(diǎn)，直接得到點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)在橢圓上和列方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)，根據(jù)橢圓的對稱性得到點(diǎn)坐標(biāo)；（3）先假設(shè)出的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得到直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)，進(jìn)而得到，類比得到坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式得到，點(diǎn)斜式得到直線，算出的高，利用三角形面積公式寫出表達(dá)式，證明其為定值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，橢圓，因?yàn)椋灾本€為，即，代入橢圓方程，得，即，當(dāng)時(shí)，所以,因?yàn)榕c關(guān)于軸對稱，所以，所以.（2）若，則橢圓，焦點(diǎn)為,則，因?yàn)槭堑妊切?當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在橢圓的短軸上頂點(diǎn)，故；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則①因?yàn)樵跈E圓上，所以

②由①、②得到，解得，（舍去），所以.所以；當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性得到；綜上得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，（3）證明：設(shè)斜率，過點(diǎn)的直線的方程為，即；聯(lián)立方程得到設(shè)由韋達(dá)定理，所以，代入，得到，所以所以，根據(jù)與的坐標(biāo)關(guān)系，由坐標(biāo)得到，所以；由兩點(diǎn)間的距離公式得到所以由點(diǎn)斜式得到直線的方程為：，即點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，將其代入三角形面積公式得到.所以的面積為定值.2．（25-26高二上·廣東深圳·期中）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中總滿足關(guān)系式．(1)點(diǎn)的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，求曲線的內(nèi)接菱形的面積的最小值；(3)已知曲線上不共線的三個(gè)點(diǎn)、、，原點(diǎn)為的重心，請?zhí)骄康拿娣e是否為定值．若是，請求出定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)8；(3).【分析】（1）利用橢圓的定義確定曲線形狀，再寫出其方程.（2）利用橢圓的對稱性可得菱形與橢圓有相同中心，利用弦長公式及菱形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系，再借助二次函數(shù)求出最小值.（3）按直線斜率是否存在分類，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合原點(diǎn)是三角形重心求出三角形面積即可.【詳解】（1）方程表示點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和為，而，因此點(diǎn)的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，方程為.（2）菱形為橢圓的內(nèi)接菱形，由對稱性知，菱形對角線交點(diǎn)為原點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，則直線方程為，由得，，同理，因此菱形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，當(dāng)直線為坐標(biāo)軸時(shí)，，所以曲線的內(nèi)接菱形的面積的最小值8.

（3）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，由得，，，由為的重心，得，由點(diǎn)在橢圓上，得，化簡得，則，原點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離，因此，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，則，，所以的面積為定值.3．（25-26高二上·江蘇連云港·期中）已知拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為．記的面積分別為．(1)求拋物線的方程；(2)若過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，且與拋物線的另一交點(diǎn)為，求的值；(3)請問是否為定值？如果是，請求出該定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)是定值，且為9，證明見解析.【分析】（1）由題意得，求出p值，即可得答案.（2）設(shè)直線，根據(jù)相切，圓心到直線的距離等于半徑，列出方程，求出k值，聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入距離公式，即可得答案.（3）設(shè)，直線AB方程為，與曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，求出直線AN方程，與曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，同理可得表達(dá)式，根據(jù)弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式、面積公式等，分別求出和表達(dá)式，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）由題意，直線斜率存在，設(shè)為k，則直線，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，根據(jù)對稱性，不妨取，聯(lián)立，得，解得或0（舍），則所以.（3）顯然直線AB斜率不為0，直線AB方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，所以，.直線AN的斜率，所以直線AN方程為，聯(lián)立，得，因?yàn)闉榉匠痰囊粋€(gè)根，所以，解得，同理，又=N到直線AB的距離，所以，又，，所以，整理得，所以N到CD的距離，所以，又，=，所以，所以.

4．（25-26高二上·福建廈門·期中）已知圓，圓.動(dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為的直線與相交于點(diǎn)，（在的左側(cè)）.①設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值；②設(shè)直線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，證明：為定值.【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓與兩定圓的位置關(guān)系得出點(diǎn)滿足橢圓的定義，進(jìn)而求出軌跡方程；（2）①設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出與的比值，化簡得出定值；②根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和三角形面積公式進(jìn)行推導(dǎo)，得出為定值.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心。已知圓，則圓心，半徑；圓，則圓心，半徑；因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切，所以，；則；根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）①設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，與橢圓聯(lián)立：，消去得：，設(shè)，，由韋達(dá)定理得：，；直線的斜率，直線的斜率，因此：，代入，，得：，分子：，分母：，因此，代入斜率比得：，故為定值；②設(shè)的內(nèi)心到三邊的距離為，，因，故，，，因此：，直線：，由①知，故直線可寫為：，即：，直線過和，斜率為，其方程為：，聯(lián)立直線與的方程，消去后解得：，代入的方程得，即；，則：，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故由橢圓方程，得；將代入化簡得：，.由題知在的左側(cè)，易得在左半橢圓，故，，，因此：，；故：，因，故，所以，故：.

【題型10證明向量積的定值】高妙技法表示出向量積公式，聯(lián)立方程使用韋達(dá)定理，經(jīng)過整理化簡證明該值與假設(shè)的參數(shù)沒有關(guān)系，難度在運(yùn)算上。1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為、，且.(1)求的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與交于，兩點(diǎn)，（i）若以為直徑的圓過點(diǎn)，求的方程；（ii）若與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)(2)（i）或；（ii）【分析】（1）先利用是等腰直角三角形，得出，進(jìn)行求解；（2）（i）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于y的一元二次方程，利用圓的直徑所對圓周角為直角和平面向量的數(shù)量積為0進(jìn)行求解；（ii）對直線斜率以及兩點(diǎn)位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，根據(jù)點(diǎn)共線時(shí)斜率相等整理變形可得，即可求得，為定值.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以.又，所以是等腰直角三角形，所以，所以,所以橢圓的方程為；（2）（i）設(shè)直線為，設(shè)，，直線與橢圓方程聯(lián)立化簡并整理得，∴，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，∴，即，解得，所以，所以的方程為或；（ii）

由（1）知，由（2）①知，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，分別為的左、右頂點(diǎn)，由橢圓的對稱性知，不合題意，故直線的斜率不為0，當(dāng)P異于，時(shí)，設(shè)，由A，Q，N三點(diǎn)共線，得，由B，Q，M三點(diǎn)共線，得，因?yàn)?，兩式相除，得，解?所以，為定值，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，，所以，為定值.2．（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，橢圓有兩頂點(diǎn)、，過其焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P異于A，B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．

【答案】證明見解析【分析】由題設(shè)易得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而結(jié)合曲線系方程求證即可.【詳解】由題意，，則，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)P的坐標(biāo)為，Q的坐標(biāo)為，設(shè)，，，因?yàn)闄E圓過二次曲線AC，BD與二次曲線AB，CD的四個(gè)交點(diǎn)A，C，B，D有：四點(diǎn)的曲線系方程為，xy的系數(shù)：，y的系數(shù)：，聯(lián)立，解得，，則，為定值．3．（25-26高三上·上?！て谥校┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，(1)求橢圓的焦距和離心率.(2)若點(diǎn)是橢圓任意一點(diǎn)，判斷是否為定值，并說明理由.(3)斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，到直線的距離為，橢圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為，試判斷是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)焦距為，(2)是定值，理由見解析(3)為定值,.【分析】（1）由方程求出、、，即可求出焦距與離心率；（2）首先得到、的坐標(biāo)，再設(shè)，則，表示出、，即可得解；（3）設(shè)出直線斜截式方程，求出截距的范圍，設(shè)出B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合，的坐標(biāo)，寫出的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為直線的方程，寫出表達(dá)式，求出結(jié)果.【詳解】（1）橢圓，則，，所以，則橢圓的焦距，離心率.（2）由（1）可得、，設(shè)，則，，，所以，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，即為定值；?）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得，消去得，直線與橢圓有交點(diǎn)，可知，，解得.設(shè)，可知，即，因?yàn)?，所以，，可得直線解析式為，化簡得，,，可得，，，，即為定值，且定值為.【題型11點(diǎn)在定直線上】高妙技法表示定直線的方程需要化簡，這里的消參化簡過程是運(yùn)算復(fù)雜的地方，可以使用先猜后證的方法處理。1．（25-26高二上·河北·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對于橢圓E：（），我們把曲線：（）叫橢圓E的共焦共形橢圓簇.(1)證明：曲線為有公共焦點(diǎn)的橢圓；(2)對于任意的橢圓E外一點(diǎn)P，是否存在兩個(gè)不同的k，使曲線過點(diǎn)P？如果存在，求出k的值，若不存在，請說明理由；(3)過曲線外定點(diǎn)作曲線的兩條切線，過兩切點(diǎn)M，N的直線方程為，若線段MN的中點(diǎn)為G.證明：對于符合條件的實(shí)數(shù)k，點(diǎn)G始終在一條定直線上.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行證明即可.（2）先化簡橢圓方程變?yōu)?，然后若存在兩個(gè)不同的k使曲線過點(diǎn)P，判斷是否有滿足①式有兩個(gè)小于的不同解.（3）設(shè)點(diǎn)，，代入橢圓方程，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可證明.【詳解】（1）根據(jù)橢圓性質(zhì)，設(shè)橢圓E：（）的焦點(diǎn)為，，其中.因?yàn)椋栽冢褐?，所以為焦點(diǎn)在x軸的橢圓，又，所以曲線為有公共焦點(diǎn)的橢圓.（2）設(shè)點(diǎn)，曲線過點(diǎn)P要滿足，整理得①記，若存在兩個(gè)不同的k使曲線過點(diǎn)P，需滿足①式有兩個(gè)小于的不同解，設(shè)①式有的兩根為，，則，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E外，所以，，得又故和不會(huì)同時(shí)成立.又，故不存在兩個(gè)不同的k使曲線過點(diǎn)P，只存在一個(gè)滿足條件的P.（3）當(dāng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，明顯點(diǎn)G始終在一條定直線上.當(dāng)點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)點(diǎn)，，可知①，且②①－②得，，因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)為G，可設(shè)，則，即，又過M，N的直線方程為，所以綜上.可知點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率為定值.所以對于符合條件的實(shí)數(shù)k，點(diǎn)G始終在一條定直線上.2．（25-26高二上·山東棗莊·期中）已知橢圓：（）的左右頂點(diǎn)為，，短軸長為，且上的動(dòng)點(diǎn)滿足直線、的斜率之積為．(1)求的方程；(2)已知，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于），求面積的最大值．(3)若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)．試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，求出該定直線方程，若不是，說明理由．【答案】(1)(2)(3)在定直線上【分析】（1）根據(jù)斜率之積求出即可得出橢圓的方程；（2）根據(jù)面積最大時(shí)點(diǎn)所處的位置，利用求橢圓的切線后，得三角形的高求解；（3）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再聯(lián)立直線方程求的橫坐標(biāo)，化簡即可.【詳解】（1）由題意，，設(shè),，，則，解得，所以橢圓的方程為.（2）如圖，

由，可得,直線的方程為：，即，當(dāng)面積的最大時(shí)，點(diǎn)在與直線平行且與橢圓相切的直線上，設(shè)切線為，則可得，由，解得（舍去），此時(shí)三角形的高為，所以.（3）設(shè)直線，，，，可得，所以．直線AE的方程：①直線BF的方程：②聯(lián)立①②可得．因?yàn)?，所以所以點(diǎn)G在直線上．3．（25-26高二上·重慶·期中）已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn).過點(diǎn)P作橢圓的切線，交x軸于點(diǎn)Q.(1)求橢圓的方程；(2)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)Q的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線與直線交于點(diǎn)D，求證：線段的中點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)(3)在定直線上【分析】（1）由題中所給的半焦距與半通徑，可解得進(jìn)而確定橢圓方程；（2）設(shè)出過點(diǎn)的直線，與橢圓聯(lián)立后使得判別式，解出直線，再求其與軸的交點(diǎn)即可；（3）設(shè)出過的直線，設(shè)出，與橢圓聯(lián)立后，計(jì)算出的中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算推理即可.【詳解】（1）由題可知，，又，可得.因此橢圓的方程為.（2）易知過點(diǎn)且與橢圓相切的直線斜率存在，因此可設(shè)該直線為.聯(lián)立直線與橢圓整理得，再令，整理得，解得.則過點(diǎn)的切線方程為：，再令，得.因此點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）

設(shè)過的直線方程，設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立，得，令，得，即或.根據(jù)韋達(dá)定理，由，，直線的方程為.則.于是，.，因此點(diǎn)在直線上，即線段中點(diǎn)在定直線上.4．（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，且．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）．（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上．【答案】(1)(2)（i）或；（ii）證明見解析【分析】（1）由已知條件去設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示斜率之積，通過點(diǎn)在雙曲線上，代入并消元一個(gè)變量，即可得到，從而求出雙曲線方程；（2）（i）利用過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支相交，必滿足，從而去求出的取值范圍；（ii）先用交點(diǎn)坐標(biāo)去表示直線的方程，然后猜想交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，所以消去縱坐標(biāo)得到關(guān)于交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后利用韋達(dá)定理代入化簡，可得定值，即問題可得證.【詳解】（1）

由題意可知，因?yàn)?，所?設(shè)，則，所以，又，所以.所以雙曲線C的方程為.（2）（i）由題意知直線l的方程為.聯(lián)立，化簡得，因?yàn)橹本€l與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：，解得或；

（ii）由（i），直線的方程為直線的方程為．聯(lián)立直線與的方程，得，所以，所以，所以.所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)始終為1，故點(diǎn)Q在定直線上.1．（25-26高三上·上?！て谥校┮阎獧E圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為直角三角形，求直線的斜率；(3)試問：動(dòng)直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出其坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)動(dòng)直線l恒過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求出直線的斜率，再分和兩種情況討論即可得解；（3）由（2）可得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式可得直線的方程，化簡即可得到直線所過定點(diǎn)．【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則依題意有，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為，由消去，得，解得.因?yàn)橹本€的斜率之積為1，所以直線的方程為，同理可得，故直線的斜率當(dāng)為直角三角形時(shí)，只有或，于是或.若，由，可得，從而；若，由，可得，從而.所以存在，直線的斜率為．（3）由（2）可知，直線l的斜率，所以直線l的方程為，即，所以動(dòng)直線l恒過定點(diǎn)．2．（25-26高二上·廣東惠州·月考）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，是右支上一點(diǎn)，已知的最小值為．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作（為坐標(biāo)原點(diǎn)），垂足為．則在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）利用焦距及的最小值求出和的值，進(jìn)而求出的值，代入標(biāo)準(zhǔn)方程即可.（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，代入直線的方程中，求出直線與軸交點(diǎn)，則為定值，利用直角三角形中斜邊中線等于斜邊的一半，即可得到定值，求出中點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?又是右支上一點(diǎn)，所以，即，當(dāng)最小時(shí)，即最小，而當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)，最小（最小值為），所以最小值為，所以，故.雙曲線中，，又，故.故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，，，則.將代入中，整理得.得到，所以，，直線的斜率為：，直線的方程為，設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，令，由，得，則，即直線恒過點(diǎn).又，在中，斜邊長，所以當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，將代入雙曲線方程得，.設(shè)，，則，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，即直線過點(diǎn)，故滿足條件.故在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知雙曲線：的實(shí)軸長為2，右焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，連接并延長交雙曲線左支于點(diǎn)P（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積的最小值；(3)設(shè)定點(diǎn)，過點(diǎn)T的直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，M，N不是雙曲線的頂點(diǎn)，若在雙曲線上存在一點(diǎn)S，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)實(shí)軸長可求，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離可求，故可得雙曲線方程；（2）設(shè)：，，，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去后結(jié)合韋達(dá)定理可得面積的解析式（用表示），再結(jié)合換元法可求其面積的最大值.（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立化簡可得，由條件化簡可得，，結(jié)合雙曲線的范圍可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為2，故，而雙曲線的漸近線為，故右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故雙曲線的方程為：.（2）顯然直線與軸不垂直，設(shè)：，，，由雙曲線的對稱性知的中點(diǎn)為，故，

聯(lián)立故，，由于A，均在雙曲線右支，故，故，而，代入韋達(dá)定理得，令，則，易知在上為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，綜上：的面積的最小值為12.（3）不妨設(shè)，，，若直線的斜率為，則直線與雙曲線的交點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，與條件矛盾，所以可設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立，消可得，方程的判別式，所以，所以，，所以，，，，所以所以所以，因?yàn)橹本€的斜率與直線的斜率之和為定值，所以，故，故為定值，所以，因?yàn)榛颍?，，所以或，存在雙曲線上的點(diǎn)滿足，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，定值為，所以的范圍為.4．（25-26高二上·云南昆明·期中）橢圓：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為1，的離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段中點(diǎn)為，證明：直線的斜率與直線的斜率乘積為定值；(3)若直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在靠近點(diǎn)的一側(cè)）.在直線上是否存在一定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)存在，.【分析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式以及橢圓方程代入化簡，求出最值即可得，再結(jié)合即可求解求出橢圓方程；（2）利用點(diǎn)差法整理即可得為定值；（3）利用定比點(diǎn)差法得出與的交點(diǎn)滿足，結(jié)合解三角形知識得出，求出方程，再求出與交點(diǎn)即可得點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，右焦點(diǎn)，則，由于，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，又，解得，所以，橢圓的方程為.（2）設(shè)，由于中點(diǎn)為，則，由于在橢圓上，則，兩式相減得，整理得，即由于，所以為定值.（3）設(shè)，點(diǎn)在線段上，且滿足，則，，則①，②，由點(diǎn)在橢圓上，則，，再除以整理得：，代入可得，即點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)為與的交點(diǎn).，同理，由于，若，則，顯然，則，則，所以，由于直線：，則，