專題06圓錐曲線選填題秒殺技巧內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺考點鞏固：必考題型講透練透，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點1：橢圓焦點三角形的面積、焦半徑、焦點弦1、橢圓面積橢圓焦點為，，P為橢圓上的點，，則，PF1?PF若P(x2、橢圓焦半徑設(shè)為橢圓上的一點，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，∠PFO=θ焦半徑坐標式①焦點在軸：焦半徑(左加右減)；②

焦點在軸：焦半徑(上加下減)．焦半徑角度公式：PF3、定比模型過焦點的弦AB傾斜角為α，斜率為k，若焦點分得AF|BF|=λ，則e知識點3：雙曲線焦點三角形的面積、焦半徑、焦點弦1、雙曲線的面積雙曲線的焦點為F1、F2，P為雙曲線上的點，∠F1S若P(x2、雙曲線焦半徑設(shè)為雙曲線上的一點，F(xiàn)為雙曲線的一個焦點，∠PFO=θ①焦點在軸：在左支，在右支；②焦點在軸：在下支，在上支．焦半徑角度公式：PF=3、定比模型過焦點的弦AB傾斜角為α，斜率為k，若焦點分得AF|BF|=λ，則e知識點3：拋物線焦半徑、焦點弦1、拋物線焦半徑設(shè)為拋物線上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，∠PFO=θ①焦點在軸：焦半徑PF=x②

焦點在軸：焦半徑PF=y焦半徑角度公式PF2、定比模型過焦點的弦AB傾斜角為α，斜率為k，若焦點分得AF|BF|=λ，則e知識點4：中心弦與第三定義橢圓的中心弦定理與第三定義已知直線l與橢圓E:x2a2+y2b已知A，B為橢圓E:x2雙曲線的中心弦定理與第三定義已知直線l與雙曲線E:x2a2?y2b如圖，已知A，B為雙曲線E:x另外，若A，B為雙曲線漸近線上兩點，M為AB中點，若斜率都存在同樣也有k知識點5：雙曲線的漸近線雙曲線漸近線的一些性質(zhì)：雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.以兩焦點F1F2過雙曲線上點P作兩漸近線的平行線PA，PB，它們和漸近線圍成的平行四邊形的面積為定值ab過雙曲線上點P作兩漸近線的垂線PA，PB，則有PAPB=過雙曲線上點P作雙曲線的切線交兩漸近線于A、B兩點，則△AOB為雙曲線的漸近三角形，則P是AB的中點，OA?知識點6：橢圓與雙曲線共焦點橢圓與雙曲線有相同的焦點F1,F2，P是它們的一個公共點，設(shè)∠1、由△F1PF2、根據(jù)e12=c2知識點7：焦點三角形的內(nèi)切圓橢圓的焦點三角形內(nèi)切圓點P(x0,y0)為橢圓C:x2結(jié)論一、e=IM結(jié)論二、有xI=e雙曲線的焦點三角形內(nèi)切圓結(jié)論一、雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標恒為a知識點8：拋物線的阿基米德三角形阿基米德三角形指圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形。1、阿基米德焦點三角形性質(zhì)（弦AB過焦點F時）性質(zhì)1：MF性質(zhì)2：MN//x軸；性質(zhì)3：S2、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點F時）性質(zhì)1、阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對稱軸．性質(zhì)2、若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點拋物線內(nèi)部的定點Cx0,y0，則點P的軌跡為直線y0y=p半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則xp=性質(zhì)3、若P點軌跡為直線ax+by+c=0，且該直線與拋物線沒有公共點，則定點Cc設(shè)P點坐標，半代入得出切點弦AB的直線方程，進而得出定點C的坐標性質(zhì)4、阿基米德三角形的面積的最大值為a3性質(zhì)5、∠PFA=∠PFB，PF2=AF×BF【題型1橢圓的焦點三角形面積、焦點弦、焦半徑】高妙技法焦半徑、焦點弦的角度式公式均由圓錐曲線的第二定義推導(dǎo)而來，即圓錐曲線上的點到焦點跟到準線的距離比等于離心率e。熟悉角度式公式，要會推導(dǎo)，能應(yīng)用。熟記面積公式，會推導(dǎo)。1．（25-26高二上·山西太原·期中）已知點分別是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．橢圓的離心率C．面積的最大值為 D．的最大值為【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義和標準方程、離心率、三角形面積、余弦定理、三角恒等變換等知識對選項進行分析，從而確定正確答案即可.【詳解】如圖，作出符合題意的圖形，

對于A，由題意得橢圓，可得，，設(shè),，，則，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，且最小值如下，為，故A錯誤，對于B，由題意得橢圓的離心率，故B錯誤，對于C，由于為定值，所以當位于橢圓的上下頂點時，三角形的面積取得最大值為，故C正確，對于D，設(shè)，由余弦定理得，當且僅當時等號成立，而，則，可得的最大值不為，故D錯誤.故選：C2．（25-26高二上·四川成都·期中）圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓反射后會經(jīng)過另外一個焦點．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，從焦點發(fā)出的光線先后經(jīng)過橢圓上的A，B兩點（非長軸上頂點）反射后回到焦點；過點作的外角的角平分線的垂線l，l交直線于點M，則下列說法正確的是（

）A．面積的最大值為6 B．的最小值為C．M的軌跡方程為 D．的最小值為8【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合圓的定義、對勾函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】A：根據(jù)題意可知直線如果存在斜率，斜率一定不為零，由橢圓，設(shè)直線的方程為，于是有，，設(shè)，，，令，，對鉤函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，對鉤函數(shù)單調(diào)遞增，于是由，所以，即，所以當，面積有最大值為3，因此本選項不正確；B：因為，所以，即，當且僅當時取等號，即當時，的最小值為，所以本選項不正確；C：因為過點作的外角的角平分線的垂線l，l交直線于點M，所以，因為，所以點M的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其方程為，所以本選項正確；D：由上可知：，所以，因為A，B兩點是橢圓上非長軸上頂點，所以由橢圓的性質(zhì)可知：，所以沒有最小值，故本選項不正確，故選：C

3．（24-25高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓的左右焦點分別為，.過點傾斜角為的直線與橢圓相交于A，B兩點（A在軸的上方），則下列說法中正確的有（

）個①②③若點與點關(guān)于軸對稱，則的面積為④當時，內(nèi)切圓的面積為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理、結(jié)合三角形面積公式計算判斷①②③；利用橢圓的定義、結(jié)合三角形面積公式求出內(nèi)切圓的半徑判斷④.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，，在中，，則，解得，①正確；同理，，②正確；

當時，點與重合，不存在；當時，或，，，③錯誤；，當時，點到直線的距離，，由橢圓定義得的周長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得，因此內(nèi)切圓的面積，④正確，所以正確命題的個數(shù)為3.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用余弦定理推導(dǎo)出橢圓焦半徑公式（傾斜角形式）解決問題的關(guān)鍵.4．（多選）（25-26高二上·江蘇連云港·月考）橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上動點，下列說法正確的是（

）A．橢圓離心率為B．面積的最大值為C．的取值范圍為D．若，則的最大值為【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓方程可得離心率，知A錯誤；當為橢圓短軸端點，面積最大，知B正確；結(jié)合橢圓定義可將化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)的范圍可求得C正確；利用橢圓定義可知，由此可求得D錯誤.【詳解】對于A，由橢圓方程知：長半軸長，短半軸長，半焦距，橢圓離心率，A錯誤；對于B，設(shè)，則，當為橢圓短軸端點時，面積取得最大值，B正確；對于C，由橢圓定義知：，；，，當時，；當或時，；的取值范圍為，C正確；對于D，由橢圓定義知：，（當且僅當三點共線時取等號，即位于圖中處時取等號），

又，，即的最大值為，D錯誤.故選：BC.【題型2雙曲線的焦點三角形面積、焦點弦、焦半徑】高妙技法熟記雙曲線的焦點三角形面積與橢圓焦點三角形面積的區(qū)別。雙曲線的焦半徑公式更多更復(fù)雜，區(qū)別記憶。1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）過雙曲線的左焦點F1，作傾斜角為的直線與雙曲線交于A，B兩點，則＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先表達出直線AB的方程，根據(jù)題意，再將直線與雙曲線聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理即可求解.【詳解】依題意，得雙曲線的左焦點F1的坐標為，直線AB的方程為.由得.設(shè)

，則，，所以＝3.故選：B.

2．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）如圖，設(shè)雙曲線的左焦點為，過作傾斜角為的直線與雙曲線的左支交于兩點，若，則雙曲線的漸近線方程為.【答案】【分析】利用雙曲線定義，結(jié)合余弦定理求出的關(guān)系即可得解【詳解】令雙曲線的右焦點為，半焦距為，設(shè)，則，由雙曲線定義得，，由直線傾斜角為，得，由余弦定理得，即，整理得，于是，，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出雙曲線漸近線方程，關(guān)鍵是由給定條件，結(jié)合余弦定理求出值.3．（25-26高二上·河北邢臺·期中）已知，是雙曲線：的兩個焦點，為上一點，且，若的面積是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的焦點三角形的面積公式列式求解即可.【詳解】下面證明雙曲線的焦點三角形的面積公式，.由題意，，，則中，由余弦定理可得:，則，所以.由雙曲線的焦點三角形的面積公式可知，解得，即．故選：A.4．（25-26高二上·北京豐臺·期中）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，P是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A．6 B．10 C．12 D．15【答案】A【分析】結(jié)合雙曲線定義可計算出、，再求出后可得，即可得解.【詳解】由雙曲線定義可知，又，則，則，故，解得，則，又，由，故，則.故選：A.【題型3拋物線的焦點弦、焦半徑】高妙技法拋物線沒有焦點三角形，焦半徑公式比橢圓雙曲線易記，?？荚诙噙x題中。1．（多選）（25-26高三上·湖南·月考）已知拋物線的焦點為，為坐標原點，曲線交于點，，若，則（

）A． B．C．面積的最小值為1 D．【答案】ACD【分析】設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，可判斷A的真假；利用拋物線焦點弦的性質(zhì)，可判斷B的真假；利用三角形的面積公式，結(jié)合韋達定理，可判斷C的真假；利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達定理，可判斷D的真假.【詳解】如圖：選項A：由題意知，曲線過點，延長交拋物線于點，由對稱性可知點與點關(guān)于軸對稱，則，不妨設(shè)直線，則，所以，，，，故A正確；選項B：，則，故B錯誤；選項C：，則的最小值為1，故C正確；選項D：，，，，故D正確.故選：ACD2．（多選）（25-26高二上·福建南平·期中）已知直線：過拋物線：的焦點，且與交于，兩點，點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．的最小值為4C．若，則D．若，則【答案】ABD【分析】對于A項，由拋物線的幾何性質(zhì)及斜率公式求解；對于B項，當與軸垂直時，取得最小值；對于C項，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及弦長公式求解；對于D項，由數(shù)量積公式及弦長公式求解．【詳解】由題可得，則.因為，所以，則，A正確.設(shè)，，由得，方程的判別式，所以，.所以，所以當時，取最小值，所以當與軸垂直時，取得最小值，且最小值為4，B正確.由，可得，又，.所以，則，C不正確.，，由，可得，則，解得，則，D正確.故選：ABD3．（多選）（25-26高二上·河南新鄉(xiāng)·期中）已知拋物線的焦點為F，準線為l，過點F且斜率為的直線交拋物線C于A，B兩點.以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交準線l于M，N兩點（點M在x軸上方）.以下說法正確的有（

）A． B．C．的面積是 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)焦點坐標計算求解得出進而判斷A，D，再應(yīng)用圓的性質(zhì)及三角形面積計算判斷B，C.【詳解】由題意知，，，直線l的方程為，直線AB的方程為.由消去y，整理得，解得或.因為圓F與準線l相交，所以，所以點A的橫坐標，所以，，所以，，，故A正確.因為，所以由圓的對稱性可知，，所以，，故B正確.由圓的對稱性可知，點，所以.因為，所以點B到直線l的距離，所以的面積，故C錯誤.由以上分析可知，，所以，故D正確.故選：ABD.4．（多選）（25-26高二上·江西九江·月考）已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，則下列說法正確的是（

）A．焦點到拋物線的準線的距離為4B．C．若的中點的縱坐標為4，則D．若，則【答案】ABD【分析】對A，由拋物線方程求得焦點坐標和準線方程可求解判斷；對BCD，設(shè)直線，設(shè)，則聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達定理求解判斷.【詳解】對于A：拋物線的焦點，準線方程為：，所以焦點到準線的距離為，A正確；對于B：設(shè)直線，設(shè)，則由得，所以，又由拋物線定義可得，所以，B正確；對于C：若的中點的縱坐標為，則，得，所以，，C錯誤；對于D：若，則，又，所以，整理得，又，所以，即，因為，所以，所以，解得，所以，D正確；故選：ABD.【題型4中點弦與第三定義】高妙技法遇到弦的中點或者兩個關(guān)于原點對稱的點時，又跟斜率一起出現(xiàn)，可以考慮使用垂徑定理與第三定義的結(jié)論。1．（25-26高二上·吉林松原·期中）過點作斜率為的直線與橢圓相交于，，若是線段的中點，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】通過設(shè)橢圓上兩點坐標，運用點差法，結(jié)合中點坐標和直線斜率，推導(dǎo)出與的比值.【詳解】設(shè)，，則，.兩式相減得.因為是中點，所以，，且直線的斜率.將其代入上式，得，兩邊除以，得，整理得，故.故選：B2．（多選）（25-26高二上·山東臨沂·期中）已知橢圓：的焦點分別為，，設(shè)直線與橢圓交于，兩點，且點為線段的中點，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓上存在點，使得C．直線的方程為D．的周長為【答案】BD【分析】對于，根據(jù)橢圓性質(zhì)求得橢圓方程，計算離心率即可；對于，利用以為直徑的圓與橢圓的位置關(guān)系進行判斷；對于，利用點差法求直線的斜率，繼而求得方程；對于，根據(jù)焦點三角形的性質(zhì)直接求周長.【詳解】因為橢圓：的焦點分別為，，可得焦點在軸，且，即，所以，則橢圓的方程為，則其離心率故錯誤；對于,由橢圓方程可知，以為直徑的圓與橢圓有四個交點，所以橢圓上存在點，使得，則正確；對于，設(shè)，因為的中點為，則，又在橢圓上，則，兩式相減可得：即所以直線的斜率為，又直線過點，則直線為，即，故錯誤；對于直線過點，則的周長為，故正確，故選：3．（25-26高二上·河北石家莊·月考）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若點是線段的中點，則直線的方程為.【答案】【分析】利用點差法可求出直線的斜率，再利用點斜式可得答案.【詳解】設(shè)，在雙曲線上，且為的中點,則.由，兩式相減并整理得，代入，，得：化簡得：，即，又因為直線過點，故直線方程為故答案為：.4．（25-26高二上·湖南·期中）已知A，B為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點（異于頂點），點在雙曲線上且滿足直線AC，AB的斜率之積為，設(shè)直線BC與軸的交點為，若，則雙曲線的離心率為．【答案】2【分析】先利用點差法得到，結(jié)合，可得.再設(shè)，利用和三點共線，可得的關(guān)系，進而求雙曲線的離心率.【詳解】如圖：

設(shè)，，則.由，所以.又，，所以.又，所以．設(shè)，由，得．又三點共線，故．代入，得，故．離心率.故答案為：2【題型5雙曲線的漸近線性質(zhì)】高妙技法對雙曲線而言，考察的最多的就是漸近線的性質(zhì)。所以要熟練掌握雙曲線的?？嫉囊恍┬再|(zhì)。1．（25-26高二上·江蘇揚州·期中）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是雙曲線的一個頂點.以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將以為直徑的圓的方程與雙曲線的一條漸近線聯(lián)立，可求出點、坐標，再利用大小計算可得，即可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由雙曲線對稱性，不妨設(shè)、在漸近線上，且，是雙曲線左頂點，則以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，則，，又，則，設(shè)其右頂點為，故，故，則，則雙曲線的漸近線方程為.故選：B.2．（多選）（25-26高三上·湖南長沙·月考）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為左、右頂點分別為以為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，點M位于第一象限，且則下列說法一定正確的是A．B．雙曲線C的離心率為C．D．當時，四邊形的面積為【答案】AC【分析】通過聯(lián)立方程組的方法求得兩點的坐標，根據(jù)列方程，求得的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的離心率、對稱性、兩點間的距離、四邊形的面積等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】如圖所示：因為圓的方程為，雙曲線的漸近線的一條方程為，聯(lián)立，得或，故，，又因為所以，，所以，又因為，所以，從而得，，所以，對于A，由對稱性可得四邊形為平行四邊形，又因為，所以，故A正確；對于B，由題意可得又因為，解得，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，因為，且，即，所以，所以，C選項正確.對于D，當時，，所以，所以，又因為四邊形的面積，故D錯誤.故選：AC.3．（多選）（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，過點P作C的切線并與C的漸近線交于M，N兩點，O為坐標原點，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)為雙曲線漸近線的夾角求出對應(yīng)的值即可判斷A選項；根據(jù)三角形的面積公式可判斷B選項；根據(jù)題意寫出切線方程，求出M，N兩點的橫坐標，證明點P為線段的中點可判斷C選項，根據(jù)三角形的面積公式可判斷D選項【詳解】易得C的漸近線方程為，設(shè)漸近線與x軸的夾角為，則，所以，所以，A錯誤；因為，根據(jù)雙曲線定義可得，所以，．又，所以，所以，所以，B正確；設(shè)點，則點P處的切線方程為，聯(lián)立可得，又因為，整理可得，解得，可知雙曲線與直線有一個交點，所以，雙曲線在點處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，聯(lián)立可得，即，所以，所以點P為線段MN的中點，即，C正確；易得，則，點P到漸近線的距離，因為點P為線段MN的中點，所以，D正確．故選：BCD4．（多選）（25-26高三上·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）我們把雙曲線過焦點的弦稱為焦點弦，垂直于雙曲線的實軸的焦點弦稱為通徑.在如圖所示的平面直角坐標系中，雙曲線（，且為常數(shù)）的左?右焦點分別為，通徑長為為的右支上任意一點，作在點處的切線分別交兩漸近線于點，則（

）A．的離心率B．線段長度的最小值是C．一定是線段的中點D．面積的最小值是【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，求得，進而求出離心率判斷A；再設(shè)出切點坐標并寫出切線方程，聯(lián)立切線與雙曲線方程，借助判別式求出切線方程，然后逐一判斷BCD.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，當時，，解得，由雙曲線的通徑為，得，解得，雙曲線，對于A，，因此的離心率，A正確；設(shè)點，直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，由消去得，，化簡可得,又，故，切線的方程為，即，漸近線方程為，對于C，由，得，設(shè)，則，一定是線段的中點，C正確；對于B，，則，當且僅當時取等號，B錯誤；對于D，直線交軸于點，的面積，因此面積的最小值是，D正確.故選：ACD【題型6橢圓雙曲線共焦點】高妙技法橢圓與雙曲線共焦點，則焦距一致，且焦點三角形一致，根據(jù)焦點三角形的面積相等，記住橢圓與雙曲線的面積公式不一致，可以得出橢圓雙曲線a,b,c的關(guān)系1．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知橢圓與雙曲線具有相同焦點，記左、右焦點分別為，，是它們的一個交點，且，記橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】首先根據(jù)橢圓和雙曲線的定義分別得出關(guān)于與的等式，再結(jié)合利用勾股定理得到，與的關(guān)系，進而得出，最后通過對進行變形，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設(shè)，，不妨設(shè).由橢圓的定義可知，即①；由雙曲線的定義可知，即②.因為，根據(jù)勾股定理可得.橢圓與雙曲線具有相同焦點，設(shè)半焦距為，則，所以③.對①式平方可得④；對②式平方可得⑤.用④-⑤可得：，即⑥.將⑥代入③可得：，化簡得.橢圓的離心率，則，；雙曲線的離心率，則，.由，兩邊同時除以可得，即.將進行變形，.根據(jù)基本不等式有，當且僅當時等號成立.所以.故選：C.2．（24-25高二上·安徽馬鞍山·期末）設(shè)為橢圓與雙曲線公共的左右焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，且若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得到，結(jié)合橢圓的定義和離心率公式得到，求得的取值范圍，再由雙曲線的定義和離心率公式得到雙曲線的離心率，即可求解.【詳解】因為，為橢圓與雙曲線的公共的左右焦點，是以線段為底邊的等腰三角形，且，設(shè)（），由橢圓的離心率，即，解得：，由點在第一象限，得雙曲線的離心率.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：結(jié)合橢圓、雙曲線的定義域，用半焦距表示出離心率是求解的關(guān)鍵.3．（多選）（24-25高二上·遼寧·期末）已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，點是它們的一個公共點，且在圓上，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，且，則下列說法正確的是（

）A．B．橢圓的方程為C．的面積為D．的周長為【答案】ABC【分析】對A，設(shè)橢圓與雙曲線的交點在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義化簡可得，結(jié)合可判斷；對B，由A項可知，再根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系求解即可；對C，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，結(jié)合求解即可；對D，根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系判斷即可.【詳解】A項，由題意知，設(shè)焦距為，則.設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，雙曲線的實軸長為，虛軸長為，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)橢圓與雙曲線的交點在第一象限，由橢圓的定義知，則，由雙曲線的定義知，則，由兩式相加化簡得，因為點在圓上，所以，所以，則，則，又，聯(lián)立解得，，故A項正確；B項，由A項可知，解得，則，所以橢圓的方程為，故B項正確；C項，由，，則，所以的面積，故C項正確；D項，的周長為，故D項錯誤.故選：ABC4．（多選）（24-25高二上·重慶沙坪壩·期末）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，橢圓與雙曲線的離心率分別為，點P為兩曲線位于第一象限的公共點，且，I為的內(nèi)心，三點共線，且，x軸上的點A，B滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C．平分 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓、雙曲線定義及余弦定理求解判斷AB；利用橢圓、雙曲線定義，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理求解判斷CD.【詳解】設(shè)，而橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，由雙曲線的定義，得，由橢圓的定義，得，則，又，由余弦定理得：，即，整理得，對于A，，即，A正確；對于B，，即，B錯誤；對于C，又平分，則，由，得，則，C正確；對于D，由為的內(nèi)心，得為的角平分線，則，同理，則，于是，即，由，得，則，又三點共線，即為的角平分線，又平分，則有，而，則，即，由，得，即，由選項B知，，D正確．故選：ACD【點睛】結(jié)論點睛：是的角平分線，則.【題型7焦點三角形內(nèi)切圓】高妙技法圓與三角形切點分得三角形邊長關(guān)系，找內(nèi)切圓圓心的位置。內(nèi)切圓的圓心是三角形角分線的交點，再者可以考察角分線定理。還可以通過面積公式，算內(nèi)切圓的半徑。1．（25-26高二上·福建三明·期中）已知橢圓，、分別是的左、右焦點，是上異于左右頂點的動點，記的內(nèi)切圓面積為，的外接圓面積為，若的最小值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)焦點三角形的性質(zhì)表示焦點三角形內(nèi)切圓半徑與外界圓半徑，結(jié)合面積比可知半徑比，結(jié)合焦點三角形定角的取值范圍可知當在短軸端點時，取得最值，代入即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)，，，由橢圓定義可知，在中，由余弦定理可得，則，所以，又的周長為，則內(nèi)切圓半徑，又在中，由正弦定理可知，為的外接圓半徑，即，所以，由橢圓的對稱性可知，如圖所示，當點為短軸端點時取得最大值為，所以取得最小值為，又的最小值為，即的最小值為，即，即，化簡可得，等式左右同時除以，可得，即，由橢圓離心率，則，故選：A.2．（多選）（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點（在第一象限），中點為，，的內(nèi)切圓圓心分別為，，半徑分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，三點共線 B．直線斜率存在時，C．若，則直線的斜率為 D．的取值范圍是【答案】ABD【分析】對于A，由雙曲線的焦點三角形的內(nèi)切圓切于頂點（右焦點對應(yīng)右頂點），通過列式即可判斷；對于B，由斜率公式及點差法可判斷；對于C，設(shè)直線的傾斜角為，得到，，根據(jù)求出，進而求出可判斷C；對于D，構(gòu)造對勾函數(shù)即可判斷.【詳解】依題意，得，，得，則，，，，設(shè)點，，，對于A項，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓的切點為，，，由雙曲線的定義得，，而，得，而，，得,又因為，得切點與點重合，得點，則內(nèi)心的橫坐標為1，同理可得，內(nèi)心的橫坐標也為1，得，，三點共線，故A項正確；對于B項，由相減得，，得，即，故B項正確；對于C項，設(shè)直線的傾斜角為，連接，，則，又，則，，若，則，，故C項錯誤；對于D項，由題可知雙曲線的漸近線為：，傾斜角分別為，，因為直線與雙曲線的右支交于，兩點，所以，，，令，則，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，故D項正確．故選：ABD．3．（25-26高二上·重慶·期中）設(shè)點、為橢圓的兩個焦點，離心率，是橢圓上與、不共線的任一點，是的內(nèi)切圓圓心，延長交直線于點，則比值為．【答案】【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合三角形角平分線的性質(zhì)與比例的性質(zhì)，可求的值.【詳解】如圖：連接因為為的內(nèi)切圓圓心，所以平分，根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)，可得.又平分，所以.所以.故答案為：4．（25-26高二上·江蘇揚州·期中）已知點、分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的左支和右支分別交于，兩點，設(shè)、分別為、的內(nèi)切圓半徑，則內(nèi)切圓圓心的橫坐標為；、的內(nèi)切圓半徑比值.【答案】【分析】①根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，然后結(jié)合雙曲線的性質(zhì)得到的坐標；②根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，然后利用相似的性質(zhì)求半徑比.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓與邊分別相切于，所以，，，，又，所以，則，即，所以內(nèi)切圓圓心的橫坐標為-2；②同理可證，的內(nèi)切圓圓心的橫坐標為，設(shè)、分別為、的內(nèi)切圓半徑，設(shè)點、分別為、的內(nèi)心，根據(jù)雙曲線的定義可知內(nèi)切圓與軸相切于點，所以軸，同理，軸；又點、分別為、的內(nèi)心，所以直線平分，注意到，在中，，，在中，，，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的解題關(guān)鍵在于根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，然后結(jié)合雙曲線的性質(zhì)解題即可.【題型8阿基米德三角形】高妙技法阿基米德三角形是拋物線小題中重難考點，指圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形。配合切線方程及三角形的一些性質(zhì)。1．（多選）（25-26高二上·河南南陽·月考）已知拋物線，點在其準線上運動，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，，且直線過焦點，則下列說法正確的有（

）A．的最小值為B．為定值C．若為弦的中點，且與不重合，則軸D．若直線的斜率為1，則的面積為【答案】BCD【分析】設(shè)出點的坐標及直線的方程和切線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達定理和基本不等式可判斷A；設(shè)過的拋物線的切線方程為，利用判別式為零可以確定B；證明與中點的縱坐標相等可得C；由弦長公式和三角形的面積公式可得D.【詳解】如圖，拋物線的焦點為，準線的方程為.設(shè)，，點（因為在準線上，所以橫坐標為），由題意知.選項A：由拋物線的定義知，，.設(shè)直線的方程為（可為0，避免斜率為0），代入得，由韋達定理知，，所以.所以，結(jié)合，得.根據(jù)基本不等式得，（當且僅當，即時取等號），故，A錯誤.選項B：設(shè)過的拋物線的切線方程為（為切線斜率，且），與聯(lián)立，消去得：.因為直線與拋物線相切，所以判別式，即，化簡得.設(shè)切線，的斜率分別為，，則，是二次方程的兩根.由韋達定理知，兩根之積，即（定值），B正確.選項C：要證明軸，需證明與中點的縱坐標相等，步驟如下：①關(guān)聯(lián)切線斜率與切點：對切點，將代入切線方程，得；②代入切線斜率的方程：因為是的根，代入化簡得（去分母后可得，結(jié)合化簡得，亦即），同理，對得；③兩式相減推導(dǎo)斜率關(guān)系（因為與不重合，所以直線的斜率存在）：，整理得直線的斜率；④用中點表示的斜率：因為是的中點，所以，結(jié)合，得；⑤等價推導(dǎo)縱坐標相等：由，得，故軸，C正確.選項D：若直線的斜率為1，則直線的方程為（即），代入得.由韋達定理知，，.根據(jù)弦長公式得，.由選項C知，故，所以點到直線的距離.所以的面積，D正確.故選：BCD.2．（多選）（25-26高二上·山東臨沂·月考）阿基米德在數(shù)學(xué)方面貢獻巨大．拋物線上任意兩點E，F(xiàn)處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于，兩點，拋物線在，處的切線交于點，則關(guān)于“阿基米德三角形”，下列選項正確的是（

）A．有可能是等邊三角形B．頂點在拋物線的準線上C．若邊的中點為，則軸D．面積的最小值為64【答案】BCD【分析】關(guān)于阿基米德三角形的結(jié)論，需要逐個選項去判斷，由，即可證明A；求出處的切線方程，可以得出的坐標進而可以驗證B；通過兩點的橫坐標相同可以判斷C；利用三角形面積公式結(jié)合韋達定理可以判斷D.【詳解】設(shè)，，，，由可得：，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，設(shè)直線，聯(lián)立，化為，得到，．對于A，，，故

，所以是直角三角形，故A錯誤；對于B：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得處的切線方程為：，則，化簡可得：，所以直線的方程為：，同理可得：直線的方程為：，所以，則，因為，解得：，所以，所以，因為拋物線：的準線為，所以頂點的軌跡是拋物線的準線，故B正確；對于C：的中點，與橫坐標相同，故軸，故C正確；對于D：因為平行軸，所以因為，．所以，，代入可得：，當時，，故D正確；故選：BCD.3．（多選）（25-26高二上·浙江·月考）過點的直線與拋物線交于兩點，過點分別作拋物線的切線，兩切線交于點為坐標原點，直線交直線于點，則下列選項正確的是（

）A．點的橫坐標為定值 B．可能是直角C． D．【答案】ACD【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求出交點坐標，進而得到切線交點M的坐標，再分析各選項的正確性.【詳解】A選項：設(shè)過點的直線方程為，代入拋物線得，設(shè)，則，拋物線在點的切線方程為，即；同理，在點的切線方程為，聯(lián)立兩切線方程，解得交點的橫坐標為，為定值，故A選項正確；B選項：計算：，代入，得：故不可能是直角，B選項錯誤；C選項：直線的斜率為，由得，直線的斜率為，兩者斜率之積為，故，C選項正確；D選項：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得交點的坐標為，通過坐標計算可得，則，當時，，即，故D選項正確.故選：ACD.4．（多選）（24-25高三下·浙江湖州·月考）已知拋物線C的焦點F到準線的距離是4，經(jīng)過F的直線與C交于兩點，分別記C在點A，B處的切線為，，則下列說法正確的是（

）A．C準線方程為 B．C． D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件得出拋物線方程為，對選項進行逐一判斷：準線方程為，判斷選項A；設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達定理得出，聯(lián)立拋物線方程得出；選項C：聯(lián)立切線方程得出的坐標為，結(jié)合得出，利用兩點間距離公式表示當取最小值；利用拋物線焦點弦長公式計算.【詳解】拋物線中，焦點到準線的距離為，故拋物線方程為，焦點，準線.選項A：準線方程為，故A錯；選項B：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立拋物線得：則，故B對.

選項C：拋物線方程為，設(shè)過的切線斜率為，則切線方程為：，聯(lián)立拋物線方程得：，即，因為為切點，方程有唯一解，所以，結(jié)合，化簡得.所以同理，.聯(lián)立拋物線在A、B處切線方程：，故點的坐標為，由B知，，故點.所以，最小值在時取得，此時，故C對.選項D：根據(jù)拋物線焦點弦長公式：，故D對.故選：BCD.1．（多選）（25-26高二上·山西·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為上的動點且不在軸上，則（

）A．的離心率為B．的面積的最大值為C．的最小值為D．以的四個頂點為頂點的四邊形的內(nèi)切圓半徑為【答案】ABD【分析】直接根據(jù)橢圓標準方程計算離心率可判定A，利用橢圓性質(zhì)計算焦點三角形面積可判定B，利用橢圓定義及基本不等式可判定C，利用點到線的距離公式結(jié)合橢圓的對稱性可判定D.【詳解】由題易知，，，所以，.設(shè).對于A，的離心率，故A正確；對于B，由題可知，當點位于的上、下頂點處時，的面積最大，且最大值為，故B正確；對于C，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故C錯誤；對于D，由題可知的左頂點為，上頂點為，這兩點所在直線的方程為，根據(jù)對稱性可知，以的四個頂點為頂點的四邊形的內(nèi)切圓半徑即為原點到直線的距離，即，故D正確.故選：ABD2．（多選）（25-26高二上·湖南·期中）已知為橢圓：上一動點，的左、右焦點分別為，，定點，則下列選項正確的是（

）A．的周長為定值10B．面積的最大值為C．的最大值為D．若直線與橢圓交于，兩點，且的中點為，則的斜率為【答案】ABC【分析】根據(jù)橢圓的方程求出，再結(jié)合橢圓定義與橢圓的幾何性質(zhì)即可分別判斷正誤求解.【詳解】∵橢圓C方程為：，的周長為，∴A正確；∴面積的最大值為，此時位于短軸的端點，∴B正確；對C，由橢圓，所以，又，所以，所以，當三點共線取最大值，故C正確；對于D：直線與橢圓交于，兩點，設(shè)，且的中點為，因為，所以，則，，所以，則的斜率為，D選項錯誤.故選：ABC3．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知，是橢圓的左右焦點，若上存在不同兩點，，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，，與橢圓聯(lián)立并結(jié)合，可得即可求解.【詳解】延長交橢圓于，根據(jù)橢圓的對稱性，則，，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則①，②，由可得③，聯(lián)立①②③消去可得，則，即，所以，所以離心率的取值范圍為.故答案為：4．（25-26高二上·廣西柳州·期中）已知拋物線的焦點為，經(jīng)過點且斜率為的直線與拋物線交于點兩點（點在第一象限），若，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】直線與拋物線聯(lián)立方程組，求出點的坐標，由，求得，即可計算選項中的結(jié)論.【詳解】設(shè)，，因為，直線的斜率為，則設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程，消去y得，解得或，又因為點在第一象限，則，即，因為，即，故正確；因為，所以，故B正確；且，故C正確；因為，且直線的方程為，即為，原點到直線的距離為，所以，故D錯誤.故選：ABC.5．（多選）（25-26高二上·江蘇無錫·期中）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在使得B．的最小值為C．，則面積為9D．直線與直線斜率乘積為定值【答案】AC【分析】對于A選項，設(shè)橢圓短軸頂點為，根據(jù)得的最大角為鈍角即可判斷A；對于B選項，記，則，結(jié)合余弦定理與基本不等式求解判斷B；對于C選項，結(jié)合題意得，進而計算面積判斷C；對于D選項，設(shè)，直接求解即可判斷D.【詳解】設(shè)橢圓短軸頂點為，由題知橢圓：中，，所以，，，，，對于A選項，由于，，所以的最大角為鈍角，故存在使得，A正確；對于B選項，記，則，由余弦定理：，當且僅當時取“=”，B錯誤；對于C選項，由于，故，所以，C正確；對于D選項，設(shè)，則，，于是，D錯誤.故選：AC6．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知兩點坐標分別為，直