專題05利用導(dǎo)數(shù)研究切線與單調(diào)性問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)聚焦方法精講能力突破熱點(diǎn)聚焦·析考情鎖定熱點(diǎn)，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點(diǎn)題型，明確命題趨勢(shì)下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對(duì)應(yīng)高頻熱點(diǎn)題型的解題策略與實(shí)戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時(shí)練實(shí)戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點(diǎn)經(jīng)典題目，限時(shí)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：1.

切線問(wèn)題考頻與位置：每年必考，多在選擇/填空的第8-12題，偶爾作為解答題第1問(wèn)（2024年解答題20題第1問(wèn)），屬于中檔題。核心考法：①已知切點(diǎn)求切線方程；②未知切點(diǎn)（切線過(guò)定點(diǎn)）求參數(shù)；③切線斜率與傾斜角的關(guān)系；④公切線問(wèn)題（2023年填空第12題）。命題特點(diǎn)：以多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)/對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)為載體，側(cè)重導(dǎo)數(shù)幾何意義的直接應(yīng)用，計(jì)算量適中，易因忽略“切點(diǎn)在曲線上”的隱含條件失分。2.

單調(diào)性問(wèn)題考頻與位置：解答題必考點(diǎn)，是導(dǎo)數(shù)解答題的核心基礎(chǔ)（2023-2025年解答題20題第1問(wèn)均考查），選擇填空也會(huì)穿插考查（2025年選擇第10題）。核心考法：①求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②含參函數(shù)的單調(diào)性討論（按參數(shù)范圍分類，是天津卷的高頻難點(diǎn)）；③由單調(diào)性求參數(shù)范圍（轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題）。命題特點(diǎn)：含參討論是區(qū)分度所在，常結(jié)合二次函數(shù)的根的分布、判別式分析，2025年出現(xiàn)“單調(diào)性與函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合”的新考法。預(yù)測(cè)2026年：1.

切線問(wèn)題難度小幅提升：公切線問(wèn)題大概率回歸，可能結(jié)合分段函數(shù)考查（如分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的切線），增加“切線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積”的衍生問(wèn)法。載體創(chuàng)新：可能引入分式函數(shù)或指數(shù)-一次函數(shù)的復(fù)合形式，強(qiáng)調(diào)“設(shè)切點(diǎn)→求導(dǎo)寫(xiě)斜率→列切線方程→代入定點(diǎn)”的解題流程。2.

單調(diào)性問(wèn)題：含參討論仍是核心：參數(shù)范圍的劃分會(huì)更隱蔽，可能需要結(jié)合定義域限制（如對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0）進(jìn)行分類，避免“一刀切”的錯(cuò)誤。綜合度增強(qiáng)：?jiǎn)握{(diào)性會(huì)與函數(shù)極值、最值、零點(diǎn)深度綁定，作為解答題的階梯式設(shè)問(wèn)基礎(chǔ)；選擇填空可能出現(xiàn)“由單調(diào)性判斷函數(shù)圖象形狀”的逆向考法。新趨勢(shì)預(yù)警：可能加入導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)）輔助判斷單調(diào)性的考法，考查邏輯推理能力。題型01“在”點(diǎn)P處的切線問(wèn)題解｜題｜策｜略求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率第二步（寫(xiě)方程）：用點(diǎn)斜式第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。例1（2026·天津河?xùn)|·月考）曲線在點(diǎn)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為.【答案】【分析】先求得切線方程為，再作出對(duì)應(yīng)的三角形，并計(jì)算面積.【詳解】由題，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故得，即交點(diǎn)為；得，即交點(diǎn)為；得，即交點(diǎn)為；如圖，陰影部分即為圍成的三角形，面積為.故答案為：例2（2026·天津·月考）已知函數(shù)，．(1)求在處的切線方程；(2)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)p，q，r，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算切線的斜率以及切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程，可得答案；（2）利用參變分離整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得答案；（3）根據(jù)零點(diǎn)的定義，建立方程，求出零點(diǎn)以及構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的性質(zhì)，等價(jià)消元整理不等式，可得答案.【詳解】（1）由，求導(dǎo)可得，則函數(shù)在處的曲線斜率為，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以切線方程為，整理可得.（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.令，則，.①當(dāng)，時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，因此，即不等式恒成立，.②當(dāng)時(shí)，令，得，，由及得，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因此，不滿足題意.綜上，的取值范圍是.（3）由，令，易知，由題意可得，當(dāng)時(shí)，由，整理可得，令，易知為方程的兩個(gè)不同的根，由（2），且，則易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，由，，且，，則，，，由，則，由，則，易知，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不等式，可等價(jià)整理為，即，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由，則，所以，即恒成立.【變式1】（2026·天津紅橋·月考）已知，設(shè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線為，則l在y軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，得出切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程求出直線，得到在y軸上的截距.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以函?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線為，整理得：，故在y軸上的截距為.故選：D【變式2】（2026·天津河西·月考）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；(3).【分析】（1）求，，，利用點(diǎn)斜式求出在點(diǎn)處的切線方程；（2）求出，求，利用導(dǎo)數(shù)法求出的單調(diào)性，利用單調(diào)性得到極值；（3）求出，求出，由在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，得到在區(qū)間上恒成立，從而得到在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法得到在區(qū)間上的單調(diào)性，從而得到，則有，即為實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1），，，，在點(diǎn)處的切線方程，即；（2），，，當(dāng)，即時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，取極小值為，無(wú)極大值.（3），，，在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，設(shè)，，，，在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，，，在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題型02“過(guò)”點(diǎn)P處的切線問(wèn)題解｜題｜策｜略求曲線“過(guò)”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．例1（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)與的圖象都過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處有公切線．(1)求的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)處的公切線方程；(3)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，使切點(diǎn)在第三象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用兩個(gè)函數(shù)有公共點(diǎn)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式求解；（2）由（1）可求得，利用直線的點(diǎn)斜式方程可求切線方程；（3）首先設(shè)切點(diǎn)為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）由已知可得，得，則，．又在點(diǎn)處有公切線，故可得，即，得，則，所以．（2）由（1）知，，所以點(diǎn)處的公切線方程為，即．（3）設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故，解得或，又點(diǎn)在第三象限，故解得，即．例2（2025·天津和平·月考）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，若直線l過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切，求的方程；(2)若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)求a的取值范圍；【答案】(1)(2)．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，從而得到切線方程；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恰有2個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，數(shù)形結(jié)合得解；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線l的斜率，又，故l的方程為，又過(guò)原點(diǎn)，所以，所以，所以，故l的方程為，即．（2）因?yàn)樵谏锨∮袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正根，即恰有2個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，令，則與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)從0的右側(cè)無(wú)限趨近于0時(shí)，趨近于；當(dāng)無(wú)限趨近于時(shí)，則趨近于，則圖象如圖所示，所以當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【變式1】（2025·天津和平·調(diào)研）過(guò)原點(diǎn)的直線與及的圖象都相切，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】設(shè)出和的切點(diǎn)，求出切線方程為，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，進(jìn)而得到和的切點(diǎn)為，再代入中，求解即可.【詳解】因?yàn)榍芯€方程過(guò)原點(diǎn)，所以設(shè)切線方程為，且設(shè)和的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，由?dǎo)數(shù)的幾何意義得，則切線方程為，將代入方程，得到，解得，則切線方程為，設(shè)和的切點(diǎn)為，且，由斜率的幾何意義得，解得，代入中，得到切點(diǎn)為，代入中，得到，解得.故答案為：.【變式2】（2025·天津薊州·月考）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②函數(shù)的切線過(guò)原點(diǎn)，則該切線的斜率為③若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則④函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由函數(shù)解析式寫(xiě)出函數(shù)定義域和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，求得函數(shù)的遞減區(qū)間及遞增區(qū)間，判斷①；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)和導(dǎo)數(shù)求得斜率，建立方程求得切點(diǎn)，然后得到其斜率，判斷②；由函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)最大值，從而知道滿足題意的的范圍，判斷③；由函數(shù)單調(diào)區(qū)間建立不等式組，求得的取值范圍，判斷④.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?，令，解得，即函?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴①錯(cuò)誤；設(shè)切點(diǎn)為，則，即，解得，此時(shí)切線斜率，②正確；由函數(shù)單調(diào)性可知，，又∵當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，，③正確；由單調(diào)區(qū)間可知，∴，∴④正確.故選：C.題型03切線的平行、垂直問(wèn)題解｜題｜策｜略結(jié)合平行垂直的斜率關(guān)系解決與切線平行、垂直的問(wèn)題。例1（2025·天津·月考）若曲線上存在兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)已知有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，曲線上存在兩條切線相互垂直，所以，只需且，即，所以，即.故選：A例2（2025·天津·調(diào)研）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線與存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值；(3)已知，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)為：，且，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷的單調(diào)性，由此可確定出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)條件寫(xiě)出切線方程，通過(guò)聯(lián)立思想求解出關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)的表示，由此構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和最小值，即可確定出整數(shù)的最小值；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)根，借助圖象分析出的范圍，然后通過(guò)轉(zhuǎn)化將待證明的問(wèn)題變?yōu)樽C明，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和最值完成證明.【詳解】（1），令，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）設(shè)切線分別與和交于，的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，所以處切線方程為，處切線方程為，由公切線可知，，所以，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)楣芯€有兩條，所以有兩個(gè)根；設(shè)，所以，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以且，所以，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，且時(shí)，，時(shí)，，所以若有兩個(gè)根，則，故整數(shù)的最小值為.（3）的定義域?yàn)?，由題意可知，是方程的三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，令，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，令，所以，由解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，，作出的簡(jiǎn)圖如下圖所示，由圖象可知，，要證，只需證，即證，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需證，且，所以只需證，即證（*）；設(shè)，所以，所以，因?yàn)?，?duì)稱軸且開(kāi)口向下，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以對(duì)恒成立，所以（*）成立，即成立.【變式1】（2025·天津和平·月考）若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實(shí)數(shù)的最大值為【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義將公共切線的斜率分別由兩函數(shù)上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，并據(jù)此建立關(guān)系，將由切點(diǎn)坐標(biāo)表示，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)求其最大值.【詳解】由題意得，，．設(shè)公切線與的圖象切于點(diǎn)，與的圖象切于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴實(shí)數(shù)的最大值為，故答案為：.【變式2】（2025·天津河西·調(diào)研）設(shè)函數(shù)（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，已知它們?cè)谔幱邢嗤那芯€．(1)求函數(shù)，的解析式；(2)求函數(shù)在上的最小值；(3)若對(duì)，恒成立求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)．【分析】（1）由切點(diǎn)和切線斜率相同，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)，的解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，分類討論求函數(shù)在上的最小值；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，通過(guò)最值解決恒成立問(wèn)題.【詳解】（1）函數(shù)，，則有，，由題意，兩函數(shù)在處有相同的切線，因?yàn)?，，則，，解得，，所以，．（2），由得；由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，（3）令，由題意知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，恒成立，所以，所以．，因?yàn)?，由，得，所以；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，不滿足．②當(dāng)，即時(shí)，由①知，，滿足．③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，滿足．綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)k的取值范圍為．題型04切線的條數(shù)問(wèn)題解｜題｜策｜略已知，過(guò)點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問(wèn)題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；例1（2025·天津·一模）函數(shù)（）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①在單調(diào)遞減；②在有2個(gè)極值點(diǎn)；③直線是一條對(duì)稱軸；④直線是一條切線.A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】B【分析】先利用函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的關(guān)系式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的極值定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷各小題的結(jié)論即得.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，解得，，因?yàn)椋?，故，?duì)于①，令，解得，故在單調(diào)遞減，故①正確；對(duì)于②，由，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，可知在區(qū)間只有一個(gè)極值點(diǎn)，故②不正確；對(duì)于③，因，故③不正確；對(duì)于④，由，求導(dǎo)可得，，因?yàn)?，故在點(diǎn)處的切線方程為，即，故直線是曲線的一條切線，故④正確．故選：B．例2（2025·天津薊州·調(diào)研）函數(shù)的斜率等于1的切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．不確定【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，可得切線的條數(shù).【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以，得，所以切點(diǎn)為或，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，即；當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，即.所以函數(shù)的斜率等于1的切線有條.故選：B【變式1（2025·天津?yàn)I海新·月考）已知函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)可以作出條圖象的切線.【答案】二【解析】設(shè)出曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，把點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程中，求出方程的根進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，因此切線方程為：，把的坐標(biāo)代入切線方程中，化簡(jiǎn)得：或，所以過(guò)點(diǎn)可以作出二條的切線.故答案為：二【變式2】（2026·天津·調(diào)研）已知函數(shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程(2)設(shè)函數(shù).（i）求的單調(diào)區(qū)間；（ii）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)若存在條互相平行的直線與曲線相切，寫(xiě)出的最大值（只需寫(xiě)出結(jié)論）【答案】(1)(2)（i）答案見(jiàn)解析；（ii）2個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）只需求得，即可；（2）（i）直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷即可；（ii）根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷即可；（3）由（1）可得在上都是減函數(shù)，作出函數(shù)圖象和切線，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）（i），定義域?yàn)?，則，所以函數(shù)只有單調(diào)減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)增區(qū)間；（ii）又，所以在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn).因?yàn)?，所以在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，因此恰有2個(gè)零點(diǎn)；（3）.由（1）可得在上都是減函數(shù)，作出函數(shù)圖象，如圖，現(xiàn)作出切線，可得最多有4條平行直線與函數(shù)圖象相切.題型05兩條曲線的公切線問(wèn)題解｜題｜策｜略已知和存在（）條公切線問(wèn)題第一步：求公切線的斜率，設(shè)的切點(diǎn)，設(shè)的切點(diǎn)；第二步：求公切線的斜率與；第三步：寫(xiě)出并整理切線（1）整理得：（2）整理得：第四步：聯(lián)立已知條件消去得到關(guān)于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；消去得到關(guān)于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；例1（2025·天津·月考）若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為求最值，求得的范圍.【詳解】由，得；由，得，因?yàn)榍€與曲線存在公切線，設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則，又，則，將代入，得，則，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，則的范圍是.故選：D.例2（2025·天津和平·月考）已知函數(shù)有最大值，(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若與有公切線，求的值．(3)若有，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)最大值為求解即可；（2）分別對(duì)兩函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式，分別得出與即可求解；（3）轉(zhuǎn)化可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分情況討論的范圍，從而分析的最小值可得；同理在上恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)分析最大值可得，從而得到即可.【詳解】（1）由題意為減函數(shù)，且，故在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.故，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．故．（2）由（1），故，公切線公切線.設(shè)上切點(diǎn)為，則，代入切線，解得①.設(shè)上切點(diǎn)為，，切線方程，由于公切線解得，因此代回，可得，②再代入①，得，（3）對(duì)于，可得不等式在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，符合題意；若，令，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由，得，即①；對(duì)于，可得不等式在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，若，則，不符合題意；若，令，令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由，得，即②．當(dāng)時(shí)，由①②得，，即，設(shè)，則，，故存在零點(diǎn)，故當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．綜上，的最大值為1．【變式1】（2026·天津和平·月考）已知函數(shù)(1)若，證明：；(2)若函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有一條公切線，求實(shí)數(shù)的取值集合；(3)設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)去證明即可解決；（2）先分別寫(xiě)出與切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值即可解決；（3）構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)去證明即可解決【詳解】（1）時(shí)，，即令，則當(dāng)x變化時(shí)，，變化情況如下表10極小0則是唯一的極值點(diǎn)且是極小值點(diǎn)，所以.故（2）令在的切線方程與在，處的切線方程重合與切線方程分別為.有且僅有一解，則，故，代入第二個(gè)方程得：，記，則，時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，即，且，則，若有唯一解，則，易得，綜上，實(shí)數(shù)的取值集合為；（3），，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，由得：兩根，又，當(dāng)時(shí)，只有一根，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，要證，即證，只需證，令，則，在上單調(diào)遞增，故，，即原不等式得證.【變式2】（2026·天津?yàn)I海新·月考）直線與曲線相切也與曲線相切，則稱直線為曲線和曲線的公切線，已知函數(shù)，其中，若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)求出兩個(gè)函數(shù)的切線方程，根據(jù)這個(gè)兩個(gè)方程表示同一直線，可得方程組，化簡(jiǎn)方程組，可以得到變量關(guān)于其中一個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)形式，求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的正負(fù)性，畫(huà)出圖象圖形，最后利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)為：，，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線斜率為，因此過(guò)該切點(diǎn)的切線方程為：；設(shè)曲線的切點(diǎn)為：，，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線斜率為，因此過(guò)該切點(diǎn)的切線方程為：，則兩曲線的公切線應(yīng)該滿足：，構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最大值為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，函數(shù)的圖象大致如下圖所示：要想有若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為.故選：C題型06與切線有關(guān)的距離最值解｜題｜策｜略利用平行線間距離最短的原理，找尋與已知直線平行的曲線的切線。[例1（2025·天津·調(diào)研）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在直線上，則兩點(diǎn)之間距離的最小值是．【答案】/【分析】首先分析函數(shù)的圖象，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.【詳解】，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取值最小值，如圖畫(huà)出函數(shù)和直線的圖象，

如圖，平移直線至與的圖象相切時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離為的最小值，此時(shí)，得，，即，所以點(diǎn)到直線的距離.故答案為：例2（2025·天津·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．①求實(shí)數(shù)的值；②求證：．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合a的取值范圍分析可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)到直線的最小值列等式即可求出a的值；②分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，則不等式可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋睿茫?，令，得：，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）①由（1）知：．由，又，所以切點(diǎn)，由（1）可知，切點(diǎn)在直線的上方，所以，整理得，設(shè)，則，（也可構(gòu)造）設(shè)，則在上恒成立．所以在單調(diào)遞增．又，又，方程只有1解：．②依題意：要證，當(dāng)時(shí)，，令，在上單調(diào)遞增，所以不等式成立；當(dāng)時(shí)，要證，即．設(shè)，則．設(shè)．則．當(dāng)時(shí)，，所以．所以在上單調(diào)遞減．所以，即．所以在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，成立．綜上：當(dāng)時(shí)，在上恒成立．【變式1】（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)列，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)按照一定關(guān)系進(jìn)行排列．過(guò)曲線上的點(diǎn)作曲線的切線與曲線交于，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線與曲線交于點(diǎn)，依此類推，可得到點(diǎn)列：，，，…，，…，已知．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)記點(diǎn)到直線（即直線）的距離為，（I）求證：；（II）求證：，若值與（I）相同，則求此時(shí)的最小值．【答案】(1)，；(2)（I）證明見(jiàn)解析；（II）證明見(jiàn)解析，最小值為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再聯(lián)立切線方程與曲線方程求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）（I）求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出，再利用等比數(shù)列前和公式求解即得；（II）根據(jù)（I）再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）曲線上點(diǎn)處的切線的斜率為，故得到的方程為，聯(lián)立方程，消去y得：，化簡(jiǎn)得：，所以：或，由得到點(diǎn)的坐標(biāo)，由就得到點(diǎn)的坐標(biāo)，所以：，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以：，；（2）（I）由（1）知：，，所以直線的方程為：，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以，；（II），與（I）中相同，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小值為．【變式2】（2025·天津·調(diào)研）已知點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在直線上，則A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值是．【答案】【分析】分析函數(shù)單調(diào)性得圖象，確定A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值的情況，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，從而求得最小距離.【詳解】由題意可得，令得所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的圖象如下圖：

要使得A，B兩點(diǎn)之間距離最小，即直線與平行時(shí)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，與的距離即為A，B兩點(diǎn)之間最小的距離，令，解得．由，所以直線的方程為，即則與的距離的距離，則A，B兩點(diǎn)之間的最短距離是．故答案為：．題型07求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性解｜題｜策｜略1、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．2、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)：（1）導(dǎo)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無(wú)意義）；（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。例1（2026·天津北辰·月考）以函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的絕對(duì)值為半徑的圓的面積是.【答案】【分析】由函數(shù)解析式可得兩函數(shù)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而探討函數(shù)的單調(diào)性，然后畫(huà)出圖象的大致形狀，即可求得兩圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而得到圓的面積.【詳解】易得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)函數(shù).因?yàn)?所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，在區(qū)間上，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間和上，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)有極小值；而，當(dāng)時(shí)有極大值；而，畫(huà)函數(shù)圖像如圖所示：所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的絕對(duì)值為圓的面積是.故答案為：.例2（2026·天津北辰·月考）已知，都是定義在上的函數(shù)，，，且（且），，若數(shù)列的前項(xiàng)和大于1000，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則及已知條件可知，由可求得，可判斷數(shù)列以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】又，即又，得，解得，,由得，所以，則，則數(shù)列以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，則的最小值為.故選：D.【變式1】（2026·天津和平·月考）已知函數(shù)，，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得在R上單調(diào)遞增，然后比較三者大小關(guān)系結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】，則在R上單調(diào)遞增.又，，注意到，則，則，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增.所以，即.故選：A【變式2】（2026·天津·月考）函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】和【分析】利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?.令，則.解得，或.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.故答案為：和.題型08根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)解｜題｜策｜略已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）在區(qū)間D上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；（3）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)不存在變號(hào)零點(diǎn)（4）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)存在變號(hào)零點(diǎn)例1（2025·天津?yàn)I海新·調(diào)研）（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（2）若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則實(shí)數(shù)a的值是.【答案】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出求解即可.（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出求解即可.【詳解】（1）函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程為，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（2）因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，所以．故答案為：；例2（2026·天津南開(kāi)·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出恒成立，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的最值得出的最值.【詳解】令，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以在上，所以恒成立，在上單調(diào)遞減，所以，所以，則實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.【變式1】（2025·天津西青·調(diào)研）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得在上恒成立，據(jù)此可得答案.【詳解】，由題，恒成立，即在上恒成立，則.對(duì)于函數(shù)，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則.故選：B【變式2】（2025·天津和平·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題可得在上恒成立，再根據(jù)分離參數(shù)法并構(gòu)造函數(shù)求出最值即可．【詳解】依題可知在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不合要求，舍去；故，則，設(shè)，可得，即在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：B（建議用時(shí)：20分鐘）1．（2025·天津·二模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，總有；(3)若是的極值點(diǎn)，求a的值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得，求得，可求切線方程；（2）利用二次求導(dǎo)可得在R上單調(diào)遞增，結(jié)合，可得的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）分，兩種情況討論，對(duì)，再分，，討論可求得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以在R上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．（3），則．當(dāng)時(shí)，可證恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以，．所以．可得在R上單調(diào)遞增，與題意矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則，且．令，則．顯然，在R上單調(diào)遞增．令，解得．①當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增．又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故不是極值點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減．又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故不是極值點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以，則在R上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以是的一個(gè)極小值點(diǎn)，滿足題意．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)．2．（2025·天津?qū)幒印つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)單調(diào)性(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求的最小值；(4)若存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)取值范圍．【答案】(1)(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減(3)(4)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率即可得到等式求值；（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（3）利用同構(gòu)函數(shù)思想，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，再用分離參變量求解即可；（4）先分離參變量，再利用韋達(dá)定理消元，最后化成單變量函數(shù)進(jìn)行最值分析即可求解.【詳解】（1）由得：，則，又由直線的斜率為，根據(jù)題意可知：；（2）由（1）可知，令，得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）當(dāng)時(shí)，不等式可化為，變形為同構(gòu)函數(shù)，求導(dǎo)得，所以在上是增函數(shù)，而原不等式可化為，根據(jù)單調(diào)性可得：，再構(gòu)造，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，即滿足不等式成立的,所以的最小值為；（4）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)所以由可得：，，因?yàn)?，而的?duì)稱軸是，所以可得，根據(jù)對(duì)稱性可得另一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有，故，又由可得，而令，則，，即，，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有，即，所以實(shí)數(shù)取值范圍.3．（2025·天津·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)各選項(xiàng)的單調(diào)性與函數(shù)值的情況一一判斷，利用排除法即可得解；【詳解】對(duì)于A：，當(dāng)時(shí)，，故排除A；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故排除B；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，故排除D；對(duì)于C，為偶函數(shù)，由可得，滿足圖象，故C正確.故選：C．4．（2025·天津·一模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)常見(jiàn)不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，即，綜上可得，故選：B.5．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出下列命題：①當(dāng)時(shí)，；

②函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；③的解集為；

④，都有．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用奇函數(shù)的定義與性質(zhì)可判定①②，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值可判定③④.【詳解】不妨令，則因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即①錯(cuò)誤；由上可知，令可得或0，有三個(gè)零點(diǎn)，即②錯(cuò)誤；對(duì)于，顯然時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，不難發(fā)現(xiàn)時(shí)，，時(shí)，所以，時(shí)，，所以時(shí)，，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知的解集為；且時(shí)，，故時(shí)有，則，都有，所以恒成立，即③④正確；故選：B6．（2025·天津·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)利用（2）的結(jié)論證明：．【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）由不等式恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)的最大值即得.（3）結(jié)合（2）的結(jié)論得，，再利用不等式的性質(zhì)推理即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，依題意，，恒成立，求導(dǎo)得，由，得；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以.（3）由（2）知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，，，…，，因此，所以原不等式成立.7．（2025·天津北辰·三模）設(shè)函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是.【答案】【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為的整數(shù)解唯一，再對(duì)分和討論即可.【詳解】存在唯一使的整數(shù)解唯一，令，則有有解，而絕對(duì)值不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)同號(hào)時(shí)等號(hào)成立，故此時(shí)異號(hào)，，圖象如下所示：①當(dāng)時(shí)，，即有唯一整數(shù)解，（i）若，知過(guò)定點(diǎn)，，令與相切，切點(diǎn)為，其中，，易得，即，解得，時(shí)，無(wú)解.時(shí)，若使有唯一解，而，故該解只能為或，若解為，則有，即，解得，如圖2所示，若解為，有，即，無(wú)解，故舍去.（ii）若，知整數(shù)解為，此時(shí)有，即，解得，②當(dāng)時(shí)，，即有唯一整數(shù)解，由圖（1）中①知該整數(shù)解為，此時(shí)有，即，解得，即.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.8．（2025·天津·二模）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：在上單調(diào)遞增；(3)求證：，且，.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為：即．（2）在恒成立，在上單調(diào)遞增.（3）令，則原不等式等價(jià)于令則令，則由（2）知，在恒成立又在恒成立，在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞減，，即，9．（2025·天津南開(kāi)·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范