北京市第171中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.10502．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-23．中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù).如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點(diǎn)都在該圓上，若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.4．若直線經(jīng)過(guò)，,兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.5．某商場(chǎng)為了解銷售活動(dòng)中某商品銷售量與活動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某次銷售活動(dòng)中的商品銷售量與活動(dòng)時(shí)間，并制作了下表：活動(dòng)時(shí)間銷售量由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量與活動(dòng)時(shí)間之間具有線性相關(guān)關(guān)系，算得線性回歸方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的值為（）A B.C. D.6．若指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點(diǎn)，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π8．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.13 B.39C.45 D.219．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°10．①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.311．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.3212．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.14．正四棱錐底面邊長(zhǎng)和高均為分別是其所在棱的中點(diǎn)，則棱臺(tái)的體積為___________.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線左支上的一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是____________16．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線E上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過(guò)作角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則雙曲線E的漸近線方程為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）近年來(lái)，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢(shì)，一方面，化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染，空氣污染，土壤污染的重要來(lái)源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問(wèn)題.研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系，成為解決上述問(wèn)題的前提.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為y（單位：百公斤）.參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值；（3）經(jīng)生產(chǎn)技術(shù)提高后，該化肥的有效率Z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得Z大致服從正態(tài)分布N），那這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；②若隨機(jī)變量，則有，；③取.18．（12分）已知雙曲線，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)相同，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).（1）求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，求的值.19．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.20．（12分）已知函數(shù)．若圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為（1）求a，b的值；（2）的極值21．（12分）求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；22．（10分）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E是AD的中點(diǎn)，將沿BF折起至的位置，使得二面角的大小為120°（如圖2），M，N分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列滿足,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,所以,解得，故，故選：C2、B【解析】根據(jù)拋物線和橢圓焦點(diǎn)與其各自標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點(diǎn)為，橢圓左焦點(diǎn)為，∴.故選：B.3、D【解析】設(shè)圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選：D4、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過(guò)，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D5、C【解析】求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當(dāng)時(shí)，.故選：C.6、A【解析】分析可知直線與曲線在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令可得出，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，可得，令，其中，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，作出直線與曲線如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn).故選：A.7、D【解析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進(jìn)而利用球的表面積計(jì)算公式得出結(jié)論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因?yàn)椋?，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、球的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題8、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.9、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B10、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數(shù)”的逆命題為：“若互為相反數(shù)，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B11、B【解析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.12、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意求得，得到，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和法，即可求解.【詳解】由，可得，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，可得，所以，所?故答案為：.14、【解析】分別計(jì)算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點(diǎn)，則正四棱錐底面邊長(zhǎng)和高均為，，，故.故答案為：.15、5【解析】根據(jù)得出，設(shè)，從而利用雙曲線的定義可求出，的關(guān)系，從而可求出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，不妨設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以雙曲線的離心率故答案為：.16、【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用角平分線結(jié)合中位線和雙曲線定義求得的關(guān)系，然后利用，及漸近線方程即可求得結(jié)果.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是的平分線，，，又是中點(diǎn)，所以，且，又，，，又，雙曲線E的漸近線方程為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，結(jié)合給定模型的性質(zhì)直接判斷適合的模型即可.（2）將（1）中模型取對(duì)得，結(jié)合題設(shè)及表格數(shù)據(jù)求及參數(shù)，進(jìn)而可得參數(shù)c，即可確定回歸方程，進(jìn)而估計(jì)時(shí)糧食畝產(chǎn)量y的值.（3）由題設(shè)知，結(jié)合特殊區(qū)間的概率值及正態(tài)分布的對(duì)稱性求即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖，呈現(xiàn)非線性的變化趨勢(shì)，故更適合作為關(guān)于的回歸方程類型.【小問(wèn)2詳解】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，由表中數(shù)據(jù)得：，，，則，∴關(guān)于的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量約為810公斤.小問(wèn)3詳解】依題意，，則有，∴，則，∴這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的方程求出即得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出的值，再解方程得解.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的方程為，所以.所以.所以.所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)相同，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2，0)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，所以點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離.因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，即，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、（1）（2）1280【解析】（1）直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由，則時(shí)，，時(shí)，；然后去掉絕對(duì)值，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，可知，∴;【小問(wèn)2詳解】由（1）知，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由，則時(shí)，，時(shí)，；.20、（1）（2）極大值為，極小值為【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為，列出方程組，解之即可得解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：，，；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，令，得或，，－1（－1，3）3＋0－0＋的極大值為，極小值為.21、（1）；（2）【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：（1）因?yàn)樗裕矗?）因?yàn)樗?，?2、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）構(gòu)造中位線，利用面面平行，可以證明;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法即可.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，取ED的中點(diǎn)P，連接MP，NP