5.3實踐與探索第1課時等積變形問題1.借助立體及平面圖形學(xué)會分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系.（難點）2.能利用一元一次方程解決簡單的圖形問題.（重點）一、新課導(dǎo)入[情境導(dǎo)入]如圖，從一個水杯向另一個水杯倒水：思考：在這個過程中什么沒有發(fā)生變化？二、新知探究（一）平面圖形的形狀變化[課件展示]問題1用一根長60cm的鐵絲圍成一個長方形.(1)如果長方形的寬是長的23思考：在這個過程中什么沒有發(fā)生變化？長方形的周長(或長與寬的和)不變.分析：等量關(guān)系：（長+寬）×2=周長.解:設(shè)此時長方形的長為xcm，則它的寬為23根據(jù)題意，得(x+23解得x=18.所以23此時長方形的長為18cm、寬為12cm.(2)如果長方形的寬比長少4cm，求這個長方形的面積.解：設(shè)此時長方形的長為xcm，則它的寬為（x-4）cm.根據(jù)題意，得(x+x-4)×2=60.解得x=17.所以17-4=13(cm).∴此時長方形的長為17cm、寬為13cm，面積為17×13=221(cm2).(3)比較小題(1)(2)所得的兩個長方形面積的大小，你還能圍出面積更大的長方形嗎？解：(1)中長方形的面積為18×12=216(cm2)，∵221＞216，∴（2）中長方形的面積比(1)中長方形的面積大.同理，我們可計算當(dāng)寬比長少2cm時，S=224cm2；當(dāng)寬比長少1cm時，S=224.75cm2；當(dāng)寬與長相等時，S=225cm2；∴還可以圍出面積更大的長方形.由此可以得到：長方形的長與寬相差越小，長方形的面積越大；當(dāng)長與寬相等(相差為0)時，長方形的面積最大.討論：每小題中如何設(shè)未知數(shù)？在小題（2）中，能不能直接設(shè)長方形的面積為x

cm2？若不能，該怎么辦？在每小題中均可設(shè)長方形的長或?qū)挒槲粗獢?shù).小題（2）中，因為已知長與寬的關(guān)系，而不是面積的關(guān)系，所以不能直接設(shè)出長方形的面積.只能間接地設(shè)出長方形的長或?qū)挘蟪鲩L方形的長或?qū)捄螅龠M一步計算.[典型例題]例1用兩根等長的鐵絲分別繞成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長比圓的半徑長2(π－2)m，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計算說明誰的面積大．分析：比較兩個圖形的面積大小，關(guān)鍵是通過題中的等量關(guān)系列方程求得圓的半徑和正方形的邊長，本題的等量關(guān)系為：正方形的周長＝圓的周長．解：設(shè)圓的半徑為rm，則正方形的邊長為[r＋2(π－2)]m.根據(jù)題意，得2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.∴鐵絲的長為2πr＝8π(m)．∴圓的面積是π×42＝16π(m2)，正方形的面積為[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，∴圓的面積大．答：鐵絲的長為8πm，圓的面積較大．[歸納總結(jié)](1)兩個圖形的形狀、面積不同，但周長相同；兩個圖形的形狀、面積不同，但是根據(jù)題意可以找出它們的周長之間的關(guān)系，把這個關(guān)系作為等量關(guān)系．解決問題的關(guān)鍵是通過分析變化過程，挖掘其等量關(guān)系，從而可列出方程．（二）立體圖形的形狀變化[課件展示]問題2某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4m的圓柱形儲水箱．現(xiàn)對該樓進行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4m減少為3.2m．那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4m變?yōu)槎嗌倜祝?.如果設(shè)水箱的高變?yōu)閤m，填寫下表：2.根據(jù)表格中的分析，找出等量關(guān)系；舊水箱的容積=新水箱的容積.3.列出方程并求解.π×22×4=π×1.62x.解得x=6.25.因此，水箱的高度變成了6.25m.[典型例題]例2一種牙膏出口處直徑為5mm，小明每次刷牙都擠出1cm長的牙膏，這樣一支牙膏可以用36次，該品牌牙膏推出新包裝，只是將出口處直徑改為6mm，小明還是按習(xí)慣每次擠出1cm的牙膏，這樣，這一支牙膏能用多少次？解：設(shè)這一支牙膏能用x次，根據(jù)題意，得解這個方程，得x＝25.經(jīng)檢驗，符合題意.答：這一支牙膏能用25次．思考：你認(rèn)為列一元一次方程解應(yīng)用題的主要步驟有哪些？1.審——通過審題找出等量關(guān)系.2.設(shè)——設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱.3.列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程.4.解——求出方程的解(對間接設(shè)的未知數(shù)牢記繼續(xù)求解).5.檢——檢驗求出的值是否為方程的解，并檢驗是否符合實際問題.6.答——注意單位名稱.三、課堂小結(jié)1.應(yīng)用一元一次方程解決形積問題:（1）平面圖形的形狀變化;（2）立體圖形的形狀變化.2.應(yīng)用一元一次方程解決實際問題的步驟：審、設(shè)、列、解、檢、答.四、課堂訓(xùn)練1.一個長方形的周長是40cm，若將長減少8cm，寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為(B)A.6cmB.7cm

C.8cmD.9cm2.一個梯形的面積是60cm2、高為5cm，它的上底比下底短2cm，求這個梯形上底和下底的長度.設(shè)下底長為xcm，則下面所列方程正確的是(C)3.根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是(A)A.π×42x=π×32×(x+5)B.π×42x=π×32×(x-5)C.π×82x=π×62×(x+5)D.π×82x=π×62×(x-5)4.要鍛造一個直徑為8厘米、高為4厘米的圓柱形毛坯，則至少應(yīng)截取直徑為4厘米的圓鋼__16___厘米.5.鋼錠的截面是正方形，其邊長是20厘米，要鍛造成一個長、寬、高分別為40厘米、30厘米、10厘米的長方體，則應(yīng)截取這種鋼錠多長？解：設(shè)應(yīng)截取這種鋼錠x厘米.根據(jù)題意，得20×20x=40×30×10.解這個方程，得x=30.答：應(yīng)截取這種鋼錠30厘米.五、布置作業(yè)教學(xué)過程中，通過對問題的探討，使學(xué)生在動手、獨立思考的過程中，進一步體會方程模型的作用，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，激發(fā)學(xué)生的好奇心和主動學(xué)習(xí)的欲望.第2課時和、差、倍、分問題及商品銷售問題1.掌握用一元一次方程解決和、差、倍、分問題.（重點）2.掌握商品銷售問題中的相關(guān)概念及數(shù)量關(guān)系.（重點）3.掌握解決商品銷售問題的一般思路.（難點）一、新課導(dǎo)入[復(fù)習(xí)導(dǎo)入]列一元一次方程解應(yīng)用題的主要步驟有哪些？1.審——通過審題找出等量關(guān)系.2.設(shè)——設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱.3.列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程.4.解——求出方程的解(對間接設(shè)的未知數(shù)牢記繼續(xù)求解).5.檢——檢驗求出的值是否為方程的解，并檢驗是否符合實際問題.6.答——注意單位名稱.二、新知探究（一）和、差、倍、分問題[典型例題]例1希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上記載著：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須；又度過了一生的七分之一，他結(jié)了婚；再過五年，他有了孩子，感到很幸福；可是孩子只活到了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了．”（1）求：丟番圖的壽命；（2）求：丟番圖開始當(dāng)爸爸時的年齡．分析：（1）設(shè)丟番圖的壽命是x歲，則孩子的壽命是12（2）利用丟番圖開始當(dāng)爸爸時的年齡=16×丟番圖的壽命+112×丟番圖的壽命+解：（1）設(shè)丟番圖的壽命是x歲，則孩子的壽命是12根據(jù)題意，得16x+112x+17解得x=84．答：丟番圖的壽命是84歲．根據(jù)題意，得16×84+112×84+答：丟番圖開始當(dāng)爸爸時的年齡是38歲．[典型例題]例2有一群鴿子和一些鴿籠，如果每個鴿籠住6只鴿子，則剩余3只鴿子無鴿籠可住，如果再飛來5只鴿子，連同原來的鴿子，每個鴿籠剛好住8只鴿子，原有多少只鴿子和多少個鴿籠？分析：設(shè)原有x個鴿籠，則鴿子有（6x+3）個，根據(jù)如果再飛來5只鴿子，連同原來的鴿子，每個鴿籠剛好住8只鴿子列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．解：設(shè)原有x個鴿籠，則鴿子有（6x+3）個.根據(jù)題意,得8x=6x+3+5.解得x=4.可得6x+3=24+3=27（個）．答：原有27個鴿子，4個鴿籠．[歸納總結(jié)]和、差、倍、分問題：①基本量及關(guān)系：增長量=原有量×增長率，現(xiàn)有量=原有量+增長量，現(xiàn)有量=原有量-降低量；②尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍、增長率等．（二）銷售利潤問題[課件展示]填空：1.進價為100元的商品提價40%后，標(biāo)價為___140__元，若按標(biāo)價的八折銷售，則售價為__112___元，此商品的利潤為___12___元，利潤率是__12％___；2.某商品原價是a元，現(xiàn)在每件打九折銷售，則此時的售價是0.9a元；3.一件商品打x折出售，就是用原價乘以x10思考1：上面商品銷售中的盈虧問題里有哪些量?成本價(進價);標(biāo)價;利潤;盈利;虧損;利潤率.思考2：上面這些量有何關(guān)系?[歸納總結(jié)]銷售中的盈虧：1.售價、進價、利潤的關(guān)系式：商品利潤=商品售價-商品進價.2.進價、利潤、利潤率的關(guān)系：利潤率=商品利潤商品進價3.標(biāo)價、折扣數(shù)、商品售價關(guān)系：商品售價＝標(biāo)價×折扣數(shù)104.商品售價、進價、利潤率的關(guān)系：商品售價=商品進價×(1+利潤率).[典型例題]例3一件服裝先將進價提高25%標(biāo)價，后進行促銷活動，又按標(biāo)價的8折出售,此時售價為60元.請問商家是盈是虧，還是不盈不虧？分析：設(shè)這件衣服的進價是x元.則有以下等量關(guān)系：（1）標(biāo)價=進價×（1+利潤率）；（2）促銷時的售價=標(biāo)價×折扣數(shù)10，解：設(shè)這件衣服的進價是x元，則標(biāo)價是(1＋25%)x元，促銷時的售價是(1＋25%)x×0.8元.依題意，得(1＋25%)x×0.8＝60.解得x＝60.因為售價60=成本60，答：這家商店不盈不虧.[典型例題]例4某商場購進一批服裝，一件服裝的標(biāo)價為400元.（1）若按標(biāo)價的六折銷售，則實際售價是多少？（2）在（1）的條件下銷售這種服裝仍可獲利20%，問這種服裝每件的進價為多少元？分析：（1）根據(jù)售價=標(biāo)價×折扣數(shù)10（2）設(shè)這種服裝每件的進價為a元，根據(jù)等量關(guān)系：售價=標(biāo)價×折扣數(shù)10解：（1）實際售價是400×610答：實際售價是240元.（2）設(shè)這種服裝每件的進價為a元.根據(jù)題意，得（1+20%）a=400×0.6.解得a=200.經(jīng)檢驗，符合題意.答：這種服裝每件的進價為200元.[針對訓(xùn)練]1.某商品在原價的基礎(chǔ)上提高25%標(biāo)價，若想調(diào)回原價，應(yīng)降價的百分率為20%.2.我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品在2021年漲價30%后，2023年降價70%至a元，則這種藥品在2021年漲價前價格為100a39三、課堂小結(jié)1.和、差、倍、分問題：①基本量及關(guān)系：增長量=原有量×增長率，現(xiàn)有量=原有量+增長量，現(xiàn)有量=原有量-降低量；②尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍、增長率等．2.商品銷售問題：商品利潤=商品售價-商品進價；利潤率=商品利潤商品進價商品售價＝標(biāo)價×折扣數(shù)10商品售價=商品進價×(1+利潤率).四、課堂訓(xùn)練1.通常情況下，體積相等的冰和水，冰的質(zhì)量比水的質(zhì)量少110，現(xiàn)有一塊9千克的冰，如果一桶水的體積和這塊冰的體積相等，這桶水重（AA．10千克B．9千克C．109千克D．9.9千克2.某種商品按進價提高40%后標(biāo)價，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件商品仍獲利15元.此種商品的進價為___125___元.3.某商場把進價為1980元的商品按標(biāo)價的八折出售，仍獲利20%,則該商品的標(biāo)價為2970元.4.某班分兩組志愿者去社區(qū)服務(wù)，第一組20人,第二組25人.現(xiàn)第一組發(fā)現(xiàn)人手不夠,需第二組支援,問從第二組調(diào)多少人去第一組才能使第一組的人數(shù)是第二組的2倍?設(shè)抽調(diào)x人,則可列方程(D)A.20=2(25-x)C.2(20+x)=25-xB.20+x=2×25D.20+x=2(25-x)5.一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?解：①設(shè)盈利25%的衣服進價是x元，依題意，得（1＋0.25）x＝60.解得x＝48.②設(shè)虧損25%的衣服進價是y元，依題意，得（1-0.25）y＝60.解得y＝80.兩件衣服的總成本：48＋80＝128(元).因為120－128＝－8(元)，所以賣這兩件衣服共虧損了8元.答：賣這兩件衣服共虧損了8元.五、布置作業(yè)本節(jié)課從生活中的實際問題入手，讓學(xué)生在具體情境中感受到數(shù)學(xué)在生活實際中的應(yīng)用，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列一元一次方程解決與和、差、倍、分、打折銷售有關(guān)的實際問題．審清題意，找出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．第3課時工程問題及行程問題1.學(xué)會利用線段圖分析行程問題，尋找等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型.（難點）2.能利用行程中的速度、路程、時間之間的關(guān)系列方程解應(yīng)用題.（重點）3.能利用工程中的數(shù)量關(guān)系列方程解應(yīng)用題.（重點）一、新課導(dǎo)入[復(fù)習(xí)導(dǎo)入]1.行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系是什么?路程＝速度×?xí)r間;速度=路程時間;時間=路程2．（1）一件工作，如果甲單獨做2小時完成，那么甲單獨做1小時，完成全部工作量的多少?（2）一件工作，如果甲單獨做3小時完成，那么甲單獨做1小時，完成全部工作量的多少?

（3）工作量、工作效率、工作時間之間有怎樣的關(guān)系?（1）12；（2）13；（3）工作量＝工作效率×工作時間、工作效率=工作量工作時間二、新知探究（一）工程問題[課件展示]問題1某工廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人.已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天.（1）兩人合作需幾天完成？（2）如果師傅先工作了2天，然后與徒弟合作，問還需幾天完成？（3）現(xiàn)由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得報酬900元.如果按各人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配？試解答這一系列問題，并和同學(xué)們一起交流各自的做法.提示：工作量之和等于總工作量1.解：（1）設(shè)兩人合作完成需要x天.列表分析：可列方程14x+1解得x=2.4.答：兩人合作完成需要2.4天.（2）設(shè)還需y天完成.列表分析：可列方程14(y+2)+1解得y=1.2.答：還需1.2天完成.（3）設(shè)完成這項工作總共用了z天.列表分析：可列方程14(z?1)+1解得z=3.徒弟完成工作量的16×3=1師傅完成工作量的14×(3?1)=1答：徒弟與師傅平分報酬，每人分得900×12[歸納總結(jié)]解決工程問題的思路：1.三個基本量：工程問題中的三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.它們之間的關(guān)系是：工作量=工作效率×工作時間.若把工作量看作1，則工作效率=1工作時間2.相等關(guān)系：(1)按工作時間：各時間段的工作量之和=完成的工作量.(2)按工作者：若一項工作有甲、乙兩人參與，則甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.[針對訓(xùn)練]1.一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設(shè)需要12天，由乙工程隊單獨鋪設(shè)需要24天.如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線？分析：把工作量看作單位“1”，則甲的工作效率為112,乙的工作效率為1解：設(shè)要x天可以鋪好這條管線.由題意,得.解方程，得x=8.答：要8天可以鋪好這條管線.（二）行程問題相遇問題[課件展示]問題2小明家與樂樂家相距20km，小明從家里出發(fā)騎自行車去樂樂家，兩人商定樂樂到時候從家里出發(fā)騎自行車去接小明.已知小明騎車的速度為13km/h，樂樂騎車的速度是12km/h.（1）如果兩人同時出發(fā)，那么他們經(jīng)過多少小時相遇？（2）如果小明先走30min，那么樂樂騎車要走多少小時才能與小明相遇？分析：由于小明與樂樂都從家里出發(fā)，相向而行，所以（1）如果兩人同時出發(fā)，如圖1，相遇時，他們走的路程的和等于兩家之間的距離.即小明走的路程+樂樂走的路程=兩家之間的距離(20km).（2）如果小明先走30min，如圖2，相遇時，他們走的路程的和等于兩家之間的距離.即小明先走的路程+樂樂出發(fā)后小明走的路程+樂樂走的路程=兩家之間的距離(20km).解：（1）設(shè)他們經(jīng)過xh相遇.則根據(jù)題意，得13x+12x=20.解得x=0.8.答：經(jīng)過0.8h他們兩人相遇.（2）設(shè)樂樂騎車走了th后與小明相遇.則根據(jù)題意，得13(0.5+t)+12t=20.解得t=0.54.答：樂樂騎車走0.54h后與小明相遇.[歸納總結(jié)]相遇問題：1.路程＝速度×?xí)r間.2.甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離.注意相向而行的始發(fā)時間和地點.追及問題[課件展示]問題3小明早晨要在7：20以前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶歷史作業(yè)，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．問：爸爸追上小明用了多長時間？分析：當(dāng)爸爸追上小明時，兩人所走的路程相等.解：設(shè)爸爸追上小明用了x分鐘，則此題的數(shù)量關(guān)系可用線段圖表示如下.根據(jù)題意，得80×5＋80x=180x.解得x=4.答：爸爸追上小明用了4分鐘．[歸納總結(jié)]追及問題：1.路程＝速度×?xí)r間.2.s快-s慢=s原來距離.注意同向而行的始發(fā)時間和地點.[針對訓(xùn)練]2.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行．已知A、B兩地的距離為480km，且甲車以65km/h的速度行駛．若兩車4h后相遇，則乙車的行駛速度是多少？解：設(shè)乙車的行駛速度是xkm/h.則根據(jù)題意，得4(65+x)=480.解得x=55.答：乙車的行駛速度是55km/h.3.一隊學(xué)生步行去郊外春游，每小時走4km，學(xué)生甲因故推遲出發(fā)30min，為了趕上隊伍，甲以6km/h的速度追趕，問甲用多長時間就可追上隊伍？