高中數學函數專題精講與練習函數，作為高中數學的核心內容，貫穿了整個高中數學的學習過程，也是后續(xù)學習高等數學的重要基礎。它不僅僅是一種數學工具，更是一種重要的數學思想方法。理解函數的概念，掌握其性質，并能靈活運用，對同學們數學思維的培養(yǎng)和數學成績的提升至關重要。本專題將帶你系統(tǒng)梳理函數的核心知識，并通過針對性練習鞏固深化。一、函數的核心概念與表示方法1.1函數的概念：從“變量依賴”到“對應關系”在初中階段，我們對函數的認知多停留在“兩個變量之間的依賴關系”。進入高中，我們需要從更本質的“對應關系”角度來理解函數。函數的嚴格定義是：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A。這里的關鍵詞是“非空數集”、“任意”、“唯一確定”。集合A稱為函數的定義域，即自變量x的取值范圍；集合{f(x)|x∈A}稱為函數的值域，它是B的子集。定義域和對應法則f是確定函數的兩個基本要素，而值域則由定義域和對應法則共同確定。理解要點：*定義域是函數的“靈魂”，研究函數必先考慮定義域。*“唯一確定”體現了函數的單值性，即一個x只能對應一個y（但一個y可以對應多個x）。*兩個函數相同，當且僅當它們的定義域和對應法則完全一致，與表示自變量和因變量的字母無關（即函數的“字母無關性”）。1.2函數的表示方法：解析法、列表法與圖像法函數的表示方法是我們認識和研究函數的橋梁。*解析法：用數學表達式（解析式）來表示兩個變量之間的對應關系，如y=2x+1，y=x2-3x+2等。其優(yōu)點是簡潔、準確，便于進行理論分析和運算。我們遇到的大部分函數都是用解析法給出的。*列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的對應關系，如數學用表中的平方表、平方根表，以及生活中常見的工資表、成績表等。其優(yōu)點是直觀、快捷，能直接找到對應值。*圖像法：用平面直角坐標系中的圖形來表示兩個變量之間的對應關系。圖像是函數的“可視化”，能直觀地反映函數的變化趨勢和某些性質（如單調性、奇偶性）。繪制函數圖像通常采用“列表、描點、連線”的基本步驟，但對于一些基本函數，我們應能熟練畫出其大致圖像。注意：在用解析法表示函數時，可能會遇到分段函數。分段函數是指在定義域的不同子集上，對應法則用不同解析式表示的函數。分段函數是一個函數，而非多個函數，其圖像可能由幾段不同的曲線（或直線）組成。二、函數的基本性質深度剖析函數的性質是函數特征的具體體現，掌握這些性質是運用函數解決問題的關鍵。2.1函數的單調性：函數的“增減趨勢”單調性描述的是函數值隨自變量變化而變化的趨勢。*增函數：設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?，當x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是增函數。*減函數：類似地，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?，當x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是減函數。如果函數y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數或減函數，我們就說函數y=f(x)在這個區(qū)間上具有（嚴格的）單調性，這個區(qū)間叫做y=f(x)的單調區(qū)間。理解與應用：*單調性是函數在某個區(qū)間上的局部性質，談單調性必須指明區(qū)間。*定義中的“任意”二字至關重要，不能用特殊值代替。*判斷或證明函數單調性的基本方法是定義法：取值（在區(qū)間內任取x?<x?）、作差（f(x?)-f(x?)）、變形（因式分解、配方等）、定號（判斷差的正負）、下結論。*對于基本初等函數，我們可以通過觀察圖像直接得到其單調區(qū)間。對于復合函數的單調性，遵循“同增異減”的法則（后續(xù)專題會詳細探討）。*單調性的應用非常廣泛，如比較大小、解不等式、求函數最值等。2.2函數的奇偶性：函數圖像的“對稱性”奇偶性是函數的一種整體性質，反映了函數圖像關于原點或y軸的對稱性。*奇函數：設函數f(x)的定義域為D，如果對于定義域D內的任意一個x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。其圖像關于原點對稱。*偶函數：設函數f(x)的定義域為D，如果對于定義域D內的任意一個x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。其圖像關于y軸對稱。理解與應用：*函數具有奇偶性的前提條件是其定義域關于原點對稱。如果定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數。*判斷函數奇偶性的步驟：首先檢查定義域是否關于原點對稱；若對稱，再判斷f(-x)與f(x)或-f(x)的關系。*既是奇函數又是偶函數的函數只有一種形式：f(x)=0，且其定義域關于原點對稱。*奇函數若在x=0處有定義，則必有f(0)=0。*利用函數的奇偶性可以簡化函數圖像的繪制（只需畫出一半，另一半利用對稱性畫出），也可以簡化函數性質的研究。2.3函數的周期性：函數值的“重復出現”周期性主要考察函數值是否有規(guī)律地重復出現。*周期函數：對于函數y=f(x)，如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數y=f(x)叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期。*最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期。理解與應用：*周期函數的定義域通常是無界的（除非是常函數）。*T是周期，則kT（k∈Z，k≠0）也是周期（若函數有最小正周期，則通常我們所說的周期指最小正周期）。*并非所有周期函數都有最小正周期，例如常函數f(x)=C，任何非零常數都是它的周期，但沒有最小正周期。*三角函數是最典型的周期函數（后續(xù)三角函數專題會詳細探討）。*利用周期性可以將不在已知區(qū)間內的自變量轉化到已知區(qū)間內，從而利用已知條件求解。三、幾類重要的基本初等函數我們高中階段學習的函數主要是基本初等函數及其復合函數。3.1一次函數與二次函數：最基礎的“冪函數”*一次函數：形如y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的函數。其圖像是一條直線，k為斜率，b為y軸截距。當b=0時，即y=kx（k≠0），為正比例函數，是奇函數。一次函數在整個定義域R上具有單調性，當k>0時為增函數，當k<0時為減函數。*二次函數：形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的函數。它是高中階段研究最為深入、應用最為廣泛的函數之一。*圖像：拋物線。a決定開口方向（a>0開口向上，a<0開口向下）和開口大?。▅a|越大，開口越窄）。*頂點式：y=a(x-h)2+k，其中(h,k)為拋物線的頂點坐標。對稱軸為直線x=h。*零點式（兩根式）：若二次函數有兩個零點x?，x?，則可表示為y=a(x-x?)(x-x?)。*性質：*定義域：R。*值域：當a>0時，值域為[k，+∞)；當a<0時，值域為(-∞，k]，其中k是頂點的縱坐標。*單調性：當a>0時，在(-∞，h]上單調遞減，在[h，+∞)上單調遞增；當a<0時，在(-∞，h]上單調遞增，在[h，+∞)上單調遞減。*奇偶性：當b=0時，二次函數為偶函數；當b≠0時，為非奇非偶函數。二次函數的應用極其廣泛，如求解最值問題、不等式問題、方程根的分布問題等，常常需要結合其圖像和性質進行分析。3.2冪函數：形式多樣的“家族”冪函數：形如y=x^α（α為常數，α∈R）的函數。我們主要學習α為有理數的情形，如y=x，y=x2，y=x3，y=x^(1/2)（即y=√x），y=x^(-1)（即y=1/x）等。*圖像與性質：冪函數的圖像和性質與指數α密切相關，需要分別討論：*當α>0時：圖像過原點(0,0)和點(1,1)；在(0,+∞)上單調遞增。*當α<0時：圖像不過原點，但過點(1,1)；在(0,+∞)上單調遞減；圖像以坐標軸為漸近線。*研究方法：對于具體的冪函數，要能畫出其在第一象限的圖像，并結合定義域、奇偶性等分析其他象限的圖像。3.3指數函數與對數函數：“互逆”的函數對*指數函數：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函數。*圖像與性質：*定義域：R。*值域：(0,+∞)。*圖像恒過定點(0,1)。*單調性：當a>1時，在R上是增函數；當0<a<1時，在R上是減函數。*函數值變化：當a>1且x>0時，y>1；x<0時，0<y<1。當0<a<1且x>0時，0<y<1；x<0時，y>1。*對數函數：形如y=log?x（a>0且a≠1）的函數，它是指數函數y=a^x的反函數。*圖像與性質：*定義域：(0,+∞)。*值域：R。*圖像恒過定點(1,0)。*單調性：當a>1時，在(0,+∞)上是增函數；當0<a<1時，在(0,+∞)上是減函數。*函數值變化：當a>1且x>1時，y>0；0<x<1時，y<0。當0<a<1且x>1時，y<0；0<x<1時，y>0。指數函數與對數函數的關系：它們互為反函數，因此它們的圖像關于直線y=x對稱。它們的定義域與值域互換，單調性一致（即a>1時都為增函數，0<a<1時都為減函數）。運算性質：指數運算和對數運算是學習這兩類函數的基礎，必須熟練掌握。*指數運算：a^m·a^n=a^(m+n)；(a^m)^n=a^(mn)；(ab)^n=a^nb^n(a,b>0,m,n∈R)。*對數運算：log?(MN)=log?M+log?N；log?(M/N)=log?M-log?N；log?M?=nlog?M(a>0且a≠1,M,N>0,n∈R)。*換底公式：log_bN=log?N/log?b(a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0)，常用log_ba=1/log_ab，以及l(fā)og_(a^n)b^m=(m/n)log_ab。四、函數專題練習與解析4.1基礎鞏固練習1.求函數定義域：（1）f(x)=√(x+2)+1/(x-1)（2）g(x)=log?(x2-4x+3)2.判斷函數奇偶性：（1）f(x)=x3+x（2）g(x)=|x-1|+|x+1|3.求函數解析式：已知f(x)是一次函數，且f(f(x))=4x+3，求f(x)的解析式。4.利用單調性比較大小：已知a=log?2，b=log?6，c=log?10，比較a，b，c的大小。4.2綜合提升練習5.二次函數最值問題：已知函數f(x)=x2-2ax+2，x∈[-1,1]。求函數f(x)的最小值g(a)的表達式，并求g(a)的最大值。6.函數性質綜合應用：已知定義在R上的奇函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，且f(1)=0。解不等式f(x-1)>0。---練習思路點撥與簡要解答：1.求函數定義域：（1）要使根式有意義，則x+2≥0；分式有意義，則x-1≠0。聯立解得x≥-2且x≠1。（2）對數的真數必須大于0，即x2-4x+3>0。解不等式(x-1)(x-3)>0，得x<1或x>3。2.判斷函數奇偶性：（1）定義域為R，f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x)，故為奇函數。（2）定義域為R，g(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=g(x)，故為偶函數。3.求函數解析式：設f(x)=kx+b(k≠0)。則f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+3。所以有k2=4且kb+b=3。解得k=2,b=1或k=-2,b=-3。故f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3。4.利用單調性比較大小：a=log?2<log?3=1。b=log?6=1+log?(6/5)，c=log?10=1