奧數(shù)巧妙求和方法四年級(jí)專項(xiàng)練習(xí)同學(xué)們，在數(shù)學(xué)的世界里，求和運(yùn)算無(wú)處不在。從簡(jiǎn)單的1+2+3，到復(fù)雜一些的數(shù)列求和，掌握巧妙的方法不僅能提高計(jì)算速度和準(zhǔn)確性，更能鍛煉我們的觀察力、思維能力和邏輯推理能力。今天，我們就一起來(lái)探索小學(xué)奧數(shù)中幾種常見(jiàn)的巧妙求和方法，并通過(guò)專項(xiàng)練習(xí)來(lái)鞏固這些知識(shí)，讓我們的數(shù)學(xué)思維“活”起來(lái)！一、高斯求和法（等差數(shù)列求和）說(shuō)起巧妙求和，不得不提的就是著名的“高斯求和”。這源于一個(gè)經(jīng)典的故事：小高斯在課堂上很快算出了1到100的和。他用的方法是什么呢？核心思想：對(duì)于一組有規(guī)律排列的數(shù)（我們稱之為等差數(shù)列，即每相鄰兩個(gè)數(shù)的差都相等），可以將第一個(gè)數(shù)（首項(xiàng)）和最后一個(gè)數(shù)（末項(xiàng)）相加，第二個(gè)數(shù)和倒數(shù)第二個(gè)數(shù)相加……它們的和都相等。然后用這個(gè)相等的和乘以組數(shù)（也就是項(xiàng)數(shù)的一半），就能得到總和。公式：總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2關(guān)鍵概念：*首項(xiàng)：數(shù)列中的第一個(gè)數(shù)。*末項(xiàng)：數(shù)列中的最后一個(gè)數(shù)。*項(xiàng)數(shù)：數(shù)列中數(shù)的總個(gè)數(shù)。*公差：每相鄰兩個(gè)數(shù)的差（高斯求和法適用于公差相同的數(shù)列）。例題1：計(jì)算1+2+3+...+9+10分析與解答：這是一個(gè)首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為10，項(xiàng)數(shù)為10的等差數(shù)列?？偤?（1+10）×10÷2=11×10÷2=55例題2：計(jì)算3+6+9+...+27+30分析與解答：首項(xiàng)=3，末項(xiàng)=30，公差=3。先求項(xiàng)數(shù)：（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1=（30-3）÷3+1=27÷3+1=9+1=10（項(xiàng)）總和=（3+30）×10÷2=33×10÷2=165二、分組求和法當(dāng)數(shù)列中的數(shù)沒(méi)有明顯的等差關(guān)系，但可以通過(guò)兩兩配對(duì)或按一定規(guī)律分組，使每組的和相等或呈現(xiàn)簡(jiǎn)單規(guī)律時(shí)，我們可以采用分組求和法。例題3：計(jì)算1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12分析與解答：觀察發(fā)現(xiàn)，算式可以每三個(gè)數(shù)分為一組：（1+2-3）+（4+5-6）+（7+8-9）+（10+11-12）每組的結(jié)果都是：0+3+6+9=？現(xiàn)在這組結(jié)果（0,3,6,9）又構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)0，末項(xiàng)9，項(xiàng)數(shù)4?？偤?（0+9）×4÷2=9×4÷2=18例題4：計(jì)算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1分析與解答：可以將相鄰的兩個(gè)數(shù)分為一組：（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）每組的結(jié)果都是1，一共有5組?？偤?1×5=5三、利用中間數(shù)（平均數(shù)）求和對(duì)于一些項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且排列對(duì)稱的數(shù)列，中間的那個(gè)數(shù)就是這組數(shù)的平均數(shù)。因此，總和=中間數(shù)×項(xiàng)數(shù)。例題5：計(jì)算1+3+5+7+9分析與解答：這是一個(gè)等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)是5（奇數(shù)），中間數(shù)是5，它也是這組數(shù)的平均數(shù)?？偤?5×5=25我們用高斯求和法驗(yàn)證一下：（1+9）×5÷2=10×5÷2=25，結(jié)果一致。專項(xiàng)練習(xí)好了，學(xué)習(xí)了這幾種巧妙的求和方法，接下來(lái)就請(qǐng)同學(xué)們大顯身手，完成下面的練習(xí)題吧！請(qǐng)仔細(xì)觀察每道題的特點(diǎn)，選擇最合適的方法進(jìn)行計(jì)算。1.計(jì)算1+2+3+...+19+202.計(jì)算5+10+15+...+45+503.計(jì)算1+3+5+7+...+17+194.計(jì)算20-19+18-17+...+4-3+2-15.計(jì)算3+6+9+...+30+336.計(jì)算100+99-98-97+96+95-94-93+...+4+3-2-17.計(jì)算7+8+9+10+11+12+138.一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是2，末項(xiàng)是20，公差是2，這個(gè)數(shù)列的和是多少？9.計(jì)算1-2+3-4+5-6+...+99-100+10110.有一串?dāng)?shù)：1,3,5,7,...,問(wèn)這串?dāng)?shù)的前20個(gè)數(shù)的和是多少？參考答案與提示1.答案：210提示：高斯求和。（1+20）×20÷2=21×10=210。2.答案：275提示：高斯求和。首項(xiàng)5，末項(xiàng)50，公差5。項(xiàng)數(shù)：（50-5）÷5+1=10?？偤停海?+50）×10÷2=55×5=275。3.答案：100提示：高斯求和或中間數(shù)求和。這是首項(xiàng)1，末項(xiàng)19，公差2的等差數(shù)列。項(xiàng)數(shù)（19-1）÷2+1=10。總和（1+19）×10÷2=100。或中間數(shù)（第5項(xiàng)）是9和11的中間？不，項(xiàng)數(shù)10是偶數(shù)，沒(méi)有單一中間數(shù)，還是用高斯法保險(xiǎn)。4.答案：10提示：分組求和。（20-19）+（18-17）+...+（2-1），共10組，每組1，1×10=10。5.答案：198提示：高斯求和。首項(xiàng)3，末項(xiàng)33，公差3。項(xiàng)數(shù)（33-3）÷3+1=11。總和（3+33）×11÷2=36×11÷2=198。6.答案：0提示：分組求和。每4個(gè)數(shù)一組：（100+____）+...+（4+3-2-1），每組結(jié)果都是4。共100÷4=25組。4×25=100？不對(duì)，每組內(nèi)____=2，99-97=2，所以每組是4。25組就是4×25=100？哦不，等等，100+____=(____)+(99-97)=2+2=4。對(duì)，25組，4×25=100？但答案應(yīng)該是100嗎？或者我算錯(cuò)了？不，題目是100+____+...+4+3-2-1。是的，（____）+（99-97）+...+（4-2）+（3-1），這樣每組2，共50組，2×50=100。對(duì)，之前的思路也對(duì)，兩種分組方式，結(jié)果一樣。所以答案是100。7.答案：70提示：中間數(shù)求和或高斯求和。共7個(gè)數(shù)，中間數(shù)是10，10×7=70?；颍?+13）×7÷2=20×7÷2=70。8.答案：110提示：高斯求和。先求項(xiàng)數(shù)：（20-2）÷2+1=10?？偤停?+20）×10÷2=22×5=110。9.答案：51提示：分組求和。（1-2）+（3-4）+...+（____）+101。前100個(gè)數(shù)分成50組，每組-1，共-50。-50+101=51。10.答案：400提示：高斯求和。這是首項(xiàng)1，公差2的等差數(shù)列。第20項(xiàng)（末項(xiàng)）=1+(20-1)×2=1+38=3