21/222.1離散型隨機(jī)變量及其分布列（第3課時(shí)）（冉啟陽）一、教學(xué)目標(biāo)【核心素養(yǎng)】通過初步對兩點(diǎn)分布、超幾何分布的概念及特征的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模以及歸納能力，以此指導(dǎo)解決實(shí)際問題.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌握分布列的運(yùn)用.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】1.實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的劃歸思想.2.超幾何分布的概率運(yùn)算.【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】1.兩點(diǎn)分布、超幾何分布題型及解題方法.2.排列組合思想及概率的加法原則在離散型隨機(jī)變量分布列中的靈活應(yīng)用.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)通過前兩課時(shí)對隨機(jī)變量概率分布列的學(xué)習(xí)和習(xí)題演練，總結(jié)隨機(jī)變量分布列常規(guī)考題及技巧.2.預(yù)習(xí)自測1.設(shè)運(yùn)動(dòng)員投籃命中（記為1）的概率為0.8，則他一次投籃時(shí)命中次數(shù)X的概率分布列是（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)分布】解：A2在一批n個(gè)產(chǎn)品中，有m個(gè)次品，從這批產(chǎn)品中任取k個(gè)產(chǎn)品，則恰有個(gè)（）次品的概率是（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布】解：B3.已知10個(gè)晶體管中有6個(gè)正品和4個(gè)次品，現(xiàn)從中任意取出5個(gè)晶體管，若以X表示取出的正品個(gè)數(shù)，則顯然X服從超幾何分布，即X~H(n，M，N),則n,M,N的值分別為（）A.5,4,10B.6,5,10C.4,5,10D.5,6,10【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布】解：D（二）課堂設(shè)計(jì)問題探究一超幾何分布的應(yīng)用★例.生產(chǎn)方提供一批50箱的產(chǎn)品，其中有2箱不合格產(chǎn)品，采購方接收該產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品.問：該批產(chǎn)品被接手的概率是多少？分析：5箱中不合格的產(chǎn)品的箱數(shù)X服從參數(shù)為N=50，M=2,n=5的超幾何分布.被接手的隨機(jī)變量X≤1，即可根據(jù)超幾何分布的運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算.詳解：以50箱為一批產(chǎn)品，從中隨機(jī)抽取5箱，用X表示“5箱中不合格產(chǎn)品數(shù)量”，則服從參數(shù)為N=50，M=2,n=5的超幾何分布.這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中沒有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率為P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.解題策略：理解接收該產(chǎn)品的要求所包含的信息；將信息轉(zhuǎn)化成隨機(jī)變量取值；概率加法原則的應(yīng)用.問題探求二、離散型隨機(jī)變量的綜合應(yīng)用▲排列組合在分布列中的應(yīng)用▲例、一袋子中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率是，現(xiàn)在甲乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，然后乙再取，取后不放回.以此取球方式進(jìn)行下去.直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止.每球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用表示取球終止時(shí)所需的取球次數(shù).求：袋中原有白球的個(gè)數(shù)；隨機(jī)變量的概率分布列；甲取到白球的概率.分析：根據(jù)題意計(jì)數(shù)原理可解決概率問題；理清取球的條件是無論甲或乙任一人取到白球即止.當(dāng)前4次取球都為黑色之時(shí)，剩下全為白球.此時(shí)，第5次取球即為最后可能情況；由于甲先取球，總共白球數(shù)量為3.所以甲取到白球的順序次數(shù)在第1、3、5.詳解：（1）設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題可知，所以=6.解得n=3(n=-2舍去)，即袋中原有3個(gè)白球.（2）由題可知，的可能取值為1,2,3,4,5.P(=1)=;P(=2)=;P(=3)=;P(=4)=;P(=5)=;所以取球次數(shù)的分布列為（3）因?yàn)榧紫热?，所以只有可能在第一次、第三次和第五次取球，記“甲取到白球”為事件A，則P（A）=P(=1，3，5)因?yàn)槭录?1”，“=3”，“=5”兩兩排斥,所以P（A）=P(=1)+P(=3)+P(=5)=.解題策略：本題結(jié)合了概率的乘法、加法原則重點(diǎn)考察了組合及分布計(jì)數(shù)原理.在解決該類問題之前需弄清楚這幾大原則的使用條件及運(yùn)算法則.特定的數(shù)學(xué)關(guān)系載體在分布列中的應(yīng)用▲載體對象：函數(shù)、方程、不等式、立體幾何等問題.例、設(shè)b和c分別是先后拋擲的一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù).用隨機(jī)變量X表示方程的不等實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，求X的分布列.分析：隨機(jī)變量的取值為0，1，2；的正負(fù)情況的判定.詳解：由題意可知X的取值為0，1，2.隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合為，元素總個(gè)數(shù)為36.X=0對應(yīng)的結(jié)果構(gòu)成的集合為，元素的個(gè)數(shù)為17個(gè).X=1對應(yīng)的結(jié)果構(gòu)成的集合為，元素的個(gè)數(shù)為2個(gè).X=2對應(yīng)的結(jié)果構(gòu)成的集合為，元素的個(gè)數(shù)為17個(gè).由此可知，P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列為解題策略：根據(jù)一元二次方程判別式對根的個(gè)數(shù)的判斷著手；骰子的總共可能情況的計(jì)數(shù)原則；根據(jù)分布列求取方法的常規(guī)步驟.3.選取合適的分布列進(jìn)行解題例.某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列.分析：根據(jù)題意可知隨機(jī)變量X服從超幾何分布且其可能取值是0，1，2，3，4.根據(jù)超幾何分布的求法，結(jié)合變量對應(yīng)的事件概率，列出分布列即可.解：X可能的取值為0，1，2，3，4,P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=;P(X=4)=.所以X的分布列為解題策略：解決該題的關(guān)鍵點(diǎn)是了解隨機(jī)變量的取值及那幾點(diǎn)可以說明變量服從超幾何分布.例、已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示求：（1）5X+1的分布列；（2）的分布列.分析：由問題不難看出，此題考查的是對第一課時(shí)隨機(jī)變量的概念的認(rèn)識(shí).盡管給出了新的變量的與原變量的關(guān)系式，但是新變量的取值是與原變量的取值是一一對應(yīng)關(guān)系.所以試驗(yàn)中新變量取值的發(fā)生概率與對應(yīng)的原變量取值發(fā)生的概率是一樣的.另外，取得的相同結(jié)果對應(yīng)了兩個(gè)原變量的取值，所以發(fā)生的概率對應(yīng)了兩原變量發(fā)生的概率之和.詳解：由分布列的性質(zhì)可知a=0.3.（1）5X+1的所有取值為11,21,26,36.故5X+1的分布列為的所有取值為1,2,4.且P（=1）=P(X=2)+P(X=4)=0.5，P（=2）=P(X=5)=0.2，P（=4）=P(X=7)=0.3.故的分布列為解題策略：理解型隨機(jī)變量變量與原變量的關(guān)系.掌握概率加法原則的應(yīng)用.課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】1.超幾何分布概率公式的應(yīng)用.2.函數(shù)、方程、不等式、立體幾何等章節(jié)為載體的問題，需借助對應(yīng)章節(jié)知識(shí)點(diǎn)分析X分布列.3.如何選取合適的（滿足某些分布列的適用條件）分布列解決實(shí)際問題.【重難點(diǎn)突破】1.典型的離散型隨機(jī)變量分布列題型分析及解題策略探究.★★★2.熟練掌握應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化成離散型隨機(jī)變量分布列問題的技巧.★★★三、隨堂檢測1、一批產(chǎn)品共50件，次品率為4%，從中任取10件，則抽的1件次品的概率是（）A.0.078B.0.78C.0.0078D.0.078【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布;數(shù)學(xué)思想：組合】解：A2、從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9張卡片中任取2張，則兩數(shù)之和是奇數(shù)的概率是________________.【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布；數(shù)學(xué)思想：組合】解：3、已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．（Ⅰ）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（Ⅲ）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列．【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布，獨(dú)立事件概率：數(shù)學(xué)思想：組合】（Ⅰ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件．由于事件相互獨(dú)立，且，．故取出的4個(gè)球均為黑球的概率為．（Ⅱ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件．由于事件互斥，且，．故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為．（Ⅲ）解：可能的取值為．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，．從而．的分布列為：4、某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布，互斥事件概率；數(shù)學(xué)思想：組合】Ⅰ）用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列；Ⅱ）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品級用戶拒絕的概率．解：（1）所以的分布列為（2）P()=四、課后作業(yè)智能提升★基礎(chǔ)型自主突破1．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（）A．取到產(chǎn)品的件數(shù)B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù)D．取到次品的概率【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量】解：C2．下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（）A．盒子里有除顏色不同，其他完全相同的紅球和白球各5個(gè)，從中摸出3個(gè)球，白球的個(gè)數(shù)XB．小明回答20道選擇題，答對的題數(shù)XC．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間XD．某人投籃10次投中的次數(shù)X【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量】解：C3．下列變量中，是離散型隨機(jī)變量的是()A．到2013年5月1日止，我國被確診的愛滋病人數(shù)B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C．某人在車站等出租車的時(shí)間D．某人投籃10次，可能投中的次數(shù)【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量】解：D4.將一顆骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是（）A．兩次點(diǎn)數(shù)之和B．兩次點(diǎn)數(shù)差的絕對值C．兩次的最大點(diǎn)數(shù)D．兩次的點(diǎn)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量】解：D5．一串鑰匙有5枚，只有一把能打開鎖，依次試驗(yàn)，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗(yàn)次數(shù)ξ的最大值可能為（）A．5B．2C．3D．4【知識(shí)點(diǎn)：；離散型隨機(jī)變量】解：D6.拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之積記為ξ，那么ξ＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（）A．2枚都是4點(diǎn)B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是4點(diǎn)C．2枚都是2點(diǎn)D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是4點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量】解：D★★能力型師生共研7.隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則的值為（）A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)【知識(shí)點(diǎn)：分布列性質(zhì)、互斥事件概率；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：D8.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為若η＝2ξ－3，則寫出η的分布列．【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量、分布列；數(shù)學(xué)思想：類比】解：有5支不同標(biāo)價(jià)的圓珠筆，分別標(biāo)有10元、20元、30元、40元、50元．從中任取3支，若以ξ表示取到的圓珠筆中的最高標(biāo)價(jià)，試求ξ的分布列．【知識(shí)點(diǎn)：分布列；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：設(shè)ξ表示取到圓珠筆中的最高標(biāo)價(jià)，則有當(dāng)，抽取情況：10，20，30.當(dāng)，抽取情況：10，20，40；10，30，40；20，30，40.當(dāng)，抽取情況：10，20，50；10，30，50；10，40，50；20，30，50；20，40，50;30,40,50..其分布列為10．已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值：x1、x2、x3，其概率依次成等差數(shù)列，求公差d的取值范圍．【知識(shí)點(diǎn)：分布列性質(zhì)，等差數(shù)列,不等式】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由等差數(shù)列性質(zhì)可知.由分布列的概率性質(zhì)可知.于是有，，.,.因此，.★★★探究型多維突破11．袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球．(1)求得分X的概率分布列；(2)求得分大于6分的概率．【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：(1)從袋中隨機(jī)取4個(gè)球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅四種情況，分別得分為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8.P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).故所求分布列為(2)根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列，可以得到得分大于6的概率為：P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).12．隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ，求ξ的分布列．【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：ξ的所有可能取值有6,2,1，－2.P(ξ＝6)＝eq\f(126,200)＝0.63，P(ξ＝2)＝eq\f(50,200)＝0.25，P(ξ＝1)＝eq\f(20,200)＝0.1，P(ξ＝－2)＝eq\f(4,200)＝0.02，故ξ的分布列為六、自助餐1.袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號碼之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ所有可能取值的個(gè)數(shù)是（）A.5B.9C.10D.25【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：B2.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：則常數(shù)c的值為（）A.eq\f(2,3)或eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.1【知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)分布】解：C3.①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為ξ②某無線電臺(tái)一天收到的尋呼次數(shù)為ξ③一天之內(nèi)的溫度為ξ④一射手射擊,擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,用ξ表示射手一次射擊中的得分.上述問題中的ξ是離散型隨機(jī)變量的是（）A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量】解：B4.在15個(gè)村莊中,有7個(gè)村莊交通不方便,現(xiàn)從中任選10個(gè)村莊,用ξ表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率中等于的是（）A.P(ξ=2)B.P(ξ≤2)C.P(ξ=4)D.P(ξ≤4)【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布】解：C在8件產(chǎn)品中，有3件次品，5件正品，從中任取一件，取到次品就停止，抽取次數(shù)為X，則X＝3表示的試驗(yàn)結(jié)果是________．【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布】解：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．在考試中，需回答三個(gè)問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分ξ的所有可能取值是________________．【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量】解：300,100，－100，－300甲進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,2)，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，則X的可能取值為________．【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量】解：0,1,2,3.8.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為求2X＋1的分布列．【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的拓展，分布列】解：由分布列的性質(zhì)知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表為：從而由上表得2X＋1的分布列：小王錢夾中只剩有50元、20元、10元、5元和1元的人民幣各一張．他決定隨機(jī)抽出兩張，用來買晚餐，用X表示這兩張金額之和．寫出X的可能取值，并說明所取值表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果．【知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：X的可能取值為6,11,15,21,25,30,51,55,60,70.其中，X＝6，表示抽到的是1元和5元；X＝11，表示抽到的是1元和10元；數(shù)字1,2,3,4任意排成一排，若數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)ξ的分布列．【知識(shí)點(diǎn)：分布列應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：ξ取值為0,1,2,3,4.ξ＝0，沒有巧合，若1—2—3—4為四個(gè)數(shù)都巧合，則沒有一個(gè)巧合的情況有以下幾種：所以P(ξ＝0)＝eq\f(9,A\o\al(4,)4)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8)；ξ＝1，只有一個(gè)巧合，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,)4×2,A\o\al(4,)4)＝eq\f(1,3)；ξ＝2，只有兩個(gè)巧合，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,)4×1,A\o\al(4,)4)＝eq\f(1,4)；ξ＝3，只有三個(gè)巧合，不存在，P(ξ＝3)＝0；ξ＝4，四個(gè)數(shù)位置都巧合，P(ξ＝4)＝eq\f(1,A\o\al(4,)4)＝eq\f(1,24).所以ξ的分布列為11．生產(chǎn)方提供50箱的一批產(chǎn)品，其中有2箱不合格產(chǎn)品．采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品．問：該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？【知識(shí)