第三章

圓錐曲線的方程3.2.1

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)

認(rèn)識雙曲線巴西利亞大教堂法拉利主題公園北京摩天大樓廣州塔－小蠻腰(一)

認(rèn)識雙曲線

實驗(拉鏈繪制雙曲線):1.取一條拉鏈，拉開一部分；2.在拉鏈的兩邊，按一長一短固定在點

F1、F2處；(注意：拉鏈兩邊的長度之差小于|F1F2|)3.將筆尖放在拉鏈張開處

P

點，隨著拉鏈的拉開

或閉攏，使筆尖慢慢移動，畫出一條曲線.4.再把拉鏈兩邊交換位置分別固定在

F1和

F2處，

用同樣的方法可以畫出圖形的另一部分.(一)

認(rèn)識雙曲線通過剛才的實驗畫出的圖像就是雙曲線，它由兩條曲線組成，其中一條叫作雙曲線的一支．整個實驗過程，我們可以發(fā)現(xiàn)細(xì)繩兩端始終固定在兩個定點

F1、F2

上，而且動點

P

到兩定點

F1、F2

的距離之差始終保持不變，等于拉鏈原長短邊的長度之差．我們根據(jù)這個幾何性質(zhì)來得出雙曲線的定義．雙曲線由這兩支共同組成．(二)

雙曲線的定義定義：平面內(nèi)與兩個定點

F1、F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)

的點的軌跡叫作雙曲線．F2F1P(小于|F1F2|)通常把焦距記為2c(c＞0)，常數(shù)記為2a(a＞0)，則雙曲線定義還可以描述為：若滿足

|PF1|－|PF2|

＝2a＜2c，則點

P的軌跡為雙曲線.★

這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.(二)

雙曲線的定義思考1

如果定義中去掉“絕對值”三個字會有什么影響？如果不加“絕對值”，得到的軌跡只是雙曲線的一支當(dāng)|PF1|－|PF2|＝2a

時，表示靠近

F2的一支，即雙曲線的右支當(dāng)|PF2|－|PF1|＝2a

時，表示靠近

F1的一支，即雙曲線的左支PF1F2PF1F2(二)

雙曲線的定義思考2

定義中為什么要求“常數(shù)2a＜2c且2a＞0”？①若常數(shù)2a＝2c：②若常數(shù)2a＞2c：③若常數(shù)2a＝0：此時軌跡不存在此時軌跡為線段

F1F2的垂直平分線此時軌跡為以

F1、F2為端點的兩條射線.F1●F2●F1F2●●例1

已知兩定點

F1(-5，0)、F2(5，0)，動點

P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，

則當(dāng)

a＝3時，P點的軌跡為(

)

A．雙曲線

B．一條射線

C．雙曲線的一支D．軌跡不存在【答案】C.

例題講解練1

若動點

P到點

M(1，0)，N(-1，0)的距離之差的絕對值為

2，則點

P的軌跡是(

)A.

雙曲線

B.

雙曲線的一支C.

兩條射線

D.

一條射線【答案】C.

變式訓(xùn)練(三)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)雙曲線的定義，如何用坐標(biāo)法來探究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？①建立平面直角坐標(biāo)系：如圖，以F1、F2所在直線為

x

軸，線段F1

F2的垂直平分線為

y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系。由于雙曲線的焦距

|F1F2|＝2c，所以F1、F2的坐標(biāo)分別為(－c，0)、(c，0)(三)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程②設(shè)點：設(shè)雙曲線上任意一點的坐標(biāo)為P(x，y)③限制：動點滿足的幾何條件|PF1|－|PF2|＝±2a，④代點：由兩點間的距離公式可得⑤化簡：將左邊的一個根式移到右邊，得兩邊平方得

兩邊平方并整理得

整理得

(三)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)c2－a2＝b2

，則b2

x2－a2y2＝a2b2兩邊同時除以a2b2，得⑤化簡：式子表示的雙曲線焦點在

x軸上，焦點坐標(biāo)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)(三)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程此時，焦點坐標(biāo)分別為

F1(0，－c)，F(xiàn)2

(0，c)如果焦點在

y軸上，則雙曲線的方程為：★

焦點在

x軸上：

★

焦點在

y

軸上：

左邊是兩個分式的平方差，右邊是1；三個參數(shù)

a、b、c滿足c2＝a2＋b2；

如果

x2的系數(shù)是正的，則焦點在

x軸上，該項的分母就是a2；如果

y2的系數(shù)是正的，則焦點在

y軸上，該項的分母就是a2。(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2雙曲線

的兩個焦點分別是

F1、F2，雙曲線上一點

P到

F1的距離是12，則點

P到

F2的距離是(

)A.17 B.7C.7或17 D.2或22例題講解

∴||PF1|－|PF2|

|＝2×5＝10

又

|PF1|＝12，

∴|PF2|＝2或22【解析】由雙曲線方程

得

a＝5，D【答案】【答案】17變式訓(xùn)練練2

設(shè)

P是雙曲線

上一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝_______.【解析】c2＝a2＋b2＝16＋20＝36，∴c＝6，∵雙曲線上一點到兩焦點距離之差的絕對值為2a，則|PF1|－|PF2|

＝±8，∴|PF2|＝17或1.當(dāng)P在右頂點時，|PF2|取最小值

c－a

＝6－4＝2

∴|PF2|≥2，舍去1，故|PF2|＝17

例題講解例3求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點為(－4，0)和(4，0)，雙曲線上任一點到兩個焦點的距離之差的絕對值等于

6；(2)焦點為(0，－2)和(0，2)，且經(jīng)過點(3，-2)．(1)解：由于雙曲線的焦點在

x

軸上，

因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由雙曲線的定義知

2a＝6，又因為c＝4，所以

b2＝c2－a2＝16－9＝7．所以

a＝3．例題講解例3求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)焦點為(0，－2)和(0，2)，且經(jīng)過點(3，-2)．(2)法一：由于雙曲線的焦點在

y軸上，因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由雙曲線的定義知因此a

=1．又因為

c

=2，所以

b2

=

c2－a2

=4－1=3．(2)法二：由于雙曲線的焦點在

y軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

因為雙曲線經(jīng)過點

P(3，－2)，所以又因為

c＝2，所以

a2＝c2－b2＝4－b2

，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為化簡得

b4＋9b2－36＝0，即(b2＋13)(b2－3)＝0，解得

b2＝3，因此

a2＝4－b2

＝1．練3

求下列雙曲線的焦點坐標(biāo)，以及雙曲線上任一點到兩個焦點的距離之差的絕對值：(1)解：依題意，可知雙曲線的焦點在

x軸上，且

a2

=4，b2

=5，所以

c2

=

a2＋b2

=9，即c

=3．因此雙曲線的焦點坐標(biāo)為(－3，0)、(3，0)．

雙曲線上任一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為2a

=4．變式訓(xùn)練練3

求下列雙曲線的焦點坐標(biāo)，以及雙曲線上任一點到兩個焦點的距離之差的絕對值：(2)解：依題意，可知雙曲線的焦點在

y

軸上，且

a2

=1，b2

=3，所以

c2

=

a2＋b2

=4，即c

=2．因此雙曲線的焦點坐標(biāo)為(0，－2)、(0，2)．

雙曲線上任一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為2a

=2．變式訓(xùn)練練3

求下列雙曲線的焦點坐標(biāo)，以及雙曲線上任一點到兩個焦點的距離之差的絕對值：(3)解：雙曲線的方程可化為：

可知雙曲線的焦點在

y軸上，且

a2

=b2

=8，所以c2=a2＋b2

=16，即c

=4．因此雙曲線的焦點坐標(biāo)為(0，－4)、(0，4)．

雙曲線上任一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為

變式訓(xùn)練解：設(shè)雙曲線的方程為mx2

＋ny2=1（mn<0）

例4已知雙曲線經(jīng)過點

，

，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．因為雙曲線經(jīng)過點

，

，所以

，解得

，例題講解所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.變式訓(xùn)練

(1)解：由已知得c＝5，2a＝8，∴a＝4，b2＝c2－a2＝9，∵焦點在x

軸上，∴所求方程為.變式訓(xùn)練

(2)解：由題設(shè)所求方程為，

解得b2＝16，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.變式訓(xùn)練

(3)解：設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1，則有

，解得

，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.(1)解：設(shè)|MF1|＝16，根據(jù)雙曲線的定義知||MF1|－16|＝6，

即|MF1|－16＝±6，解得|MF2|＝10或|MF2|＝22例5若F1、F2是雙曲線

的兩個焦點.(1)若雙曲線上一點

M到它的一個焦點的距離等于16，求點

M到另一個焦點的距離；(2)若點

P是雙曲線上的一點，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積.例題講解例5若F1、F2是雙曲線

的兩個焦點.(2)若點

P是雙曲線上的一點，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積.例題講解(2)解：由

，得a＝3，b＝4，c＝5由定義和余弦定理得，|PF1|－|PF2|

＝±6|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|

·cos60°∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|

∴|PF1|·|PF2|

＝64∴S△

＝|PF1|·|PF2|

·sin∠F1PF2＝例6

如圖，點A、B的坐標(biāo)分別是(-5，0)、(5，0)，直線AM、BM

相交于點M，且它們的斜率之積是