江門市2025-2026學(xué)年第一學(xué)期普通高中高三調(diào)研測試數(shù)學(xué)答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案DCACCDBB8.【解析】取AD的中點O，連接OD,OB，由二面角DACB是直二面角得OD丄OB，以O(shè)為原點，OA,OB,OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A，從而E，所以，所以設(shè)直線EF的單位方向向量為，則，所以點A到直線EF的距離為本題還可以轉(zhuǎn)化為求△AEF的EF邊上的高。二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。題號9答案BCACDAC11.【解析】對于A選項，當(dāng)AB丄CD時，AB是四面體ABCD的高，此時，四面體ABCD體積最大，最大值為VA-BCDS△BCDABBCCDAB，故A正確；對于B選項，Q=++,:2=(++)2=2+2+2+2ABBC2BCCD2ABCD4+4+4+0+0+222cosAB,CD>=12+對于C選項，不妨取CD的中點E，連接OE,OD，則OE丄CD，:.=(+).=.+.=2=2，22同理可得:CO.CB=2CB,CO.CA=2CA，所以.=.(-)=2-2=(CA2-CB2)AB2=2，從而.=.，故C正確；對于D選項，以BC、CD為鄰邊作平行四邊形BCDF，則口BCDF是矩形，故四棱錐A-BCDF的各頂點都在球O的球面上，如右圖所示：則BF丄BC，又因為BC丄AB，AB∩BF=B，AB、BF平面ABF，所以，BC丄平面ABF，且BF=CD=2，因為CD//BF，故異面直線AB、CD所成的角為上ABF或其補角.可將將三棱錐C-ABF置于圓柱O1O2內(nèi)，使得△ABF的外接圓為圓O2，如右圖所示：△ABF為等邊三角形，則該三角形外接圓直徑為2r 設(shè)球O的半徑為R，則(2R)2=2+BC（此時球O也是圓柱的外接球此時，球O的表面積為4πR2=；則△ABF外接圓直徑為2r此時，球O的表面積為4πR2=20π.綜上所述，球O的表面積為或20π,D錯誤.D選項還可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，建立方程組確定球O的半徑。故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。題號答案6注意：填空題要么正確，要么錯誤。13題用近似值表示，不給分。14.【解析】設(shè)D為BC邊中點，連接OD,作OH丄AC于H，即H為AC中點，,)(b2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且asinB=bcosA．（1）求A；（2）若a=2，且△ABC的面積為，求b,c．解1）解法一: 在△ABC中，由正弦定理得：sinA=sinB=sinC，………………1分 所以sinBcosA=sinAsinB，………………2分因為B∈(0,π)，所以sinB≠0．………………3分所以cosA=sinA，………………4分即tanA=，………………5分因為A∈(0,π)，………………6分3所以A=π.………………7分3解法二:在△ABC中，由正弦定理得：因為bcosA=asinB所以sinBcosA=sinAsinB，………………2分因為B∈(0,π)，所以sinB≠0．………………3分所以cosA=sinA，………………4分即cosAsinA=0，即=2cos………………5分所以A………………6分所以A所以A.………………7分（2）因為S△ABCbcsinAbc，………………8分所以b2+c2bc=4②,………………11分………………13分如圖，在三棱錐P-ABC中，BC丄PC，PA丄平面ABC.（1）求證：平面PAC丄平面PBC；（2）若AC=BC=PA=2，M是PB的中點，點N在線段PC上，且PN=2NC，求直線BC與平面AMN所成角的余弦值.（1）證明：QPA丄平面ABC,BCC平面ABC，………………1分:PA丄BC，…2分QBC丄PC,PCC平面PAC，PAC平面PAC，PA∩PC=P，…3分:BC丄平面PAC，……………4分QBCC平面PBC，……………5分:平面PAC丄平面PBC.…………6分（2）解：取AB的中點O，連接OM,OC，則MO//PA，從而MO丄平面ABC.…………7分由（1）知BC丄平面PAC,ACì平面PAC，所以△ABC是等腰直角三角形，+BC分別以O(shè)C,OB,OM為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，…………8分則O(0,0,0),A(0,-,0),B(0,,0),C(,0,0),M(0,0,1),P，…………9分 0,,2)（不唯一………………12分設(shè)直線BC與平面AMN所成角為θ(θ∈[0,])，則sinθ=cos…………………14分故直線BC與平面AMN所成角的余弦值為…………………15分如果建立空間直角坐標(biāo)系不同，只要合理，計算正確，則給相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1+an=32n（nN+).（1）求證：{an-2n}是等比數(shù)列；（i）求λ的值；(ⅱ)記數(shù)列{n2bn}的前n項和為Sn.若Si.Si+2=15Si+1(i∈N+)，求i的值.解1）證明：Qan+1+an=3×2n，………………2分:{an-2n}是公比為-1的等比數(shù)列.……………3分:a1-21=-1，由（1）知an-2n=(-1)×(-1)n-1=(-1)n，從而an=2n+(-1)n，…………………4分所以a1=2=5,a3=7,a4=17，…………………5分23λ24λa3因為{bn}是等比數(shù)列，整理得λ2λ2=0，…………………7分所以λ=2.…………………8分故{bn}是等比數(shù)列，符合題意.所以λ=2.……………9分2bn=3×(-1)n+1n2，………10分當(dāng)n為偶數(shù)時，2-22+32-42+…+(n-1)2-n2]=3×[(1+2)×(1-2)+(3+4)×(3-4)+…+(n-1+n)(n-1-n)]=-3×[3+7+…+(2n-1)]………11分當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=Sn+1-(n+1)2bn+1=-(n+1)(n+2)+3(n+1)n(n+1),……12分綜上，Sn數(shù)………13分易知Si.Si+2>0，故Si+1>0，所以i為偶數(shù).………14分從而整理得i2+3i-10=0，解得i=-5（舍去）或i=2，所以i的值為2.…………15分如圖,在六面體ABCDEF中，側(cè)面ADEF是直角梯形，AD丄DE，AF//DE，DE=2AF=2，底為V.（1）求證：BF//平面CDE；（2）當(dāng)t=2時，求V關(guān)于α的函數(shù)解析式，并求V的最大值；（3）若平面BEF丄平面BCE，當(dāng)α取得最大值時，求V的值．（1）證明：方法一：因為底面ABCD是矩形，所以AB//CD，又AB丈平面CDE,CD平面CDE，故AB//平面CDE，………………1分直角梯形ADEF中，AF//DE，同理可得AF//平面CDE，……2分因為AB∩AF=A，AB,AF平面ABF，所以平面ABF//平面CDE，……3分又因為BF平面ABF，所以BF//平面CDE.…………4分方法二：取DE的中點G，連接CG,FG.所以四邊形ADGF是矩形，且AD//FG,AD=FG，……1分又因為底面ABCD是矩形，所以AD//BC,AD=BC，……2分從而FG//BC,FG=BC，所以四邊形BCGF是平行四邊形，所以BF//CG，…………3分又因為BF丈平面CDE,CG平面CDE,所以BF//平面CDE.……4分（2）解：解法一（切割法取DE的中點G，連接CG,FG，CF。在直角梯形ADEF中，AD丄DE，因為CD∩DE=D,CD平面CDE,DE平面CDE，所以AD丄平面CDE，同理，AD丄平面ABF，從而FG丄平面CDE，ABF一DCG是直三棱柱。……………6分α,…………9分當(dāng)α=時，V取得最大值.…………………10分解法二（補形法如圖，延長AF到P，使得AF=FP，連接EP,BP.則由題易知四邊形ADEP是矩形，AD//EP,AD=EP，在直角梯形ADEF中，AD丄DE，因為CD∩DE=D,CD平面CDE,DE平面CDE，所以AD丄平面CDE，同理，AD丄平面ABF，從而EP丄平面CDE，ABP—DCE是直三棱柱?！?分當(dāng)t=2時，由題意得SΔCDECD.DEsin上CDEsinα=2sinα,……8分所以V三棱柱CDE—BAPV三棱錐EBPFSΔBPF.EPsinα,……………9分當(dāng)α=時，V取得最大值.……………10分解法三（切割法在直角梯形ADEF中，AD丄DE，因為CD∩DE=D,CD平面CDE,DE平面CDE，所以AD丄平面CDE，同理，AD丄平面ABF，……………6分過點E作CD的垂線，交直線CD于H，由AD丄平面CDE，EH平面CDE，所以AD丄EH，且AD∩DC=D，所以EH丄平面ABCD，即EH是四棱錐E一ABCD的高，…………7分由AF//DE，DE丈平面ABF，AF平面ABF，所以DE//平面ABF，又因為AD丄平面ABF，且AF=1，ABCD當(dāng)時，V取得最大值.…………………10分（3）過點D作DC的垂線，交直線CE于點G，分別以DA,DC,DG為x,系如圖所示，………………11分F(3t,cosα,sinα)，……………12分設(shè)平面BEF的一個法向量為=(x1,y1,z1)，nz1所以…………………13分設(shè)平面EBC的一個法向量為=(x2,y2,z2)，因為平面BEF和平面BCE垂直，整理可得cos……15分所以cos，當(dāng)且僅當(dāng)t=時，等號成立，故當(dāng)α取得最大值時，即cosα取得最小值，……16分ABF則V………………17分如果建立空間直角坐標(biāo)系不同，只要合理，計算正確，則給相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。,（1）當(dāng)t=1時，求關(guān)于x的不等式f(x)≥解集的“區(qū)間長度”；（2）設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)≥0解集的“區(qū)間長度”為I．（i）若I=π,求t的值；解1）t=1時，2x所以f(x)≤0解集的“區(qū)間長度”為++-=；………………3分,所以cosx≥或cosx≤-，其中<<所以設(shè)cosx=的兩個根為x1,x2，其中-<x1<0<x2<，且x1+x2=0，………5分同理，設(shè)cosx=-的兩個根為x3,x4，(π)1即cosx1cos|(2-x1,=-4(π)1由誘導(dǎo)公式得cosx1.sinx1=-，即sin2x1=-，又-<x1<0，解得2x1=-或2x1=-，故x1=-或x1=-，