試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2026年茂名市高三年級(jí)第一次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答策信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)城內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的：1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3．已知向量，且，則（

）A．4 B． C．9 D．4．已知函數(shù)則（

）A．0 B．2 C．4 D．165．已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，到軸的距離為2，則到原點(diǎn)的距離為（

）A．2 B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，則（

）A．15 B．31 C．63 D．1277．已知分別為直線，圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．58．從1至13的整數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，則能被2整除的概率為（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．為的周期B．是圖象的對(duì)稱(chēng)中心C．當(dāng)時(shí)，的值域是D．的單調(diào)遞增區(qū)間是10．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和記為，則下列結(jié)論可能正確的是（

）A． B．C． D．11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在使得B．若，則的軌跡長(zhǎng)度為C．若平面，則四棱錐的外接球的體積的最大值為D．若，則的面積的最小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若某圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為．13．已知關(guān)于的方程的兩根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為和，若是等邊三角形，則.14．已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，且，則的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15．中，角所對(duì)的邊分別為.(1)若，求；(2)若，求的面積.16．如圖，在四棱錐中，平面分別為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17．已知甲?乙兩個(gè)盒子均裝有1個(gè)白球和1個(gè)黑球，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：從這兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球放入對(duì)方的盒子中.重復(fù)這樣的操作，第次操作后甲盒中白球的個(gè)數(shù)記為.(1)求；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)求的數(shù)學(xué)期望.18．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)若的平分線垂直于軸.（i）求實(shí)數(shù)的值；（ii）以為半徑的圓的面積分別記為的面積為，求的取值范圍.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值；(2)若對(duì)任意，且存在.（i）用含的式子表示，并證明：；（ii）將在區(qū)間上從小到大排列的第個(gè)極大值點(diǎn)記為，求.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】直接進(jìn)行交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)榧希?，所以，故選：A.2．C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及不等式的性質(zhì)和充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，則，即充分性成立；若，可得，，即必要性成立.故“”是“”的充分必要條件.故選：C.3．A【分析】直接根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得，故選：A4．B【分析】利用分段函數(shù)，結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算求函數(shù)值.【詳解】由題意得：，故選：B5．D【分析】根據(jù)拋物線的定義，得到焦半徑公式，結(jié)合點(diǎn)到軸的距離即可解決問(wèn)題.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義可得，又到軸的距離為2，，又，，即，故拋物線方程為，將代入拋物線得，，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得.故選：D.6．C【分析】根據(jù)的關(guān)系得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，，兩式作差得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以故選：C7．B【分析】先求出圓的圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解即可．【詳解】由題意知圓，其圓心為，半徑為，則圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，則可知與的中點(diǎn)在直線上，所以有解之可得，則，而圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為，則與之間距離為，圓上點(diǎn)關(guān)于直線在上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以.故選：

8．B【分析】根據(jù)題意首先分析能被2整除時(shí)，的取值要求，再結(jié)合排列組合及古典概型可求解.【詳解】因?yàn)?至13的整數(shù)中有6個(gè)偶數(shù)，7個(gè)奇數(shù)，若能被2整除，則只需能被2整除，的取值異于即可，當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，的取法有種；當(dāng)都為偶數(shù)時(shí)，的取法有種，所以能被2整除的概率為.故選：B.9．BD【分析】根據(jù)圖象中兩點(diǎn)距離求周期，進(jìn)一步得出，代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)求，從而確定函數(shù)的解析式，再根據(jù)周期、對(duì)稱(chēng)中心性質(zhì)、范圍對(duì)應(yīng)函數(shù)值范圍、單調(diào)區(qū)間求法判斷各選項(xiàng)對(duì)錯(cuò).【詳解】對(duì)于A，由圖象可知，，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于B，又因?yàn)?，所以，將點(diǎn)代入，可得，即，又因?yàn)?，所以，解得，即，因?yàn)?，所以是圖象的對(duì)稱(chēng)中心，所以B選項(xiàng)正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D，令，，解得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：BD.10．BCD【分析】利用迭代可判斷A，B，D；對(duì)于C，舉例即可.【詳解】由得，故A錯(cuò)誤；，，，，故B正確；，故D正確；，取此時(shí)，故C正確.故選：BCD11．BCD【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系求得的最大值，可判斷A錯(cuò)誤；由求得的軌跡為直線在四邊形內(nèi)的線段，可得其長(zhǎng)度為，即B正確；由線面平行的向量證明可得與重合時(shí)，其外接球的體積最大為，即C正確；由可得的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在側(cè)面內(nèi)的部分，再由圓上點(diǎn)到定直線距離的最值問(wèn)題可得的面積的最小值為，即D正確.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，因?yàn)闉閭?cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），設(shè),對(duì)于A：易知，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為2，此時(shí)與重合，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí)與重合，因?yàn)椋圆淮嬖邳c(diǎn)使得，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B：易知，所以由得，即；因此的軌跡為直線在四邊形內(nèi)的線段，因,可得，所以的軌跡為的中點(diǎn)到點(diǎn)的線段，因此的軌跡長(zhǎng)度為，即B正確；對(duì)于C：又，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，可得,令，則，則平面的法向量,因平面，則,又，即，解得，顯然當(dāng)時(shí)，即與重合時(shí)，滿足題意，此時(shí)四棱錐的外接球與正方體的外接球相同，其半徑滿足，即；此時(shí)外接球的體積為，即C正確；對(duì)于D，若，由正方體性質(zhì)可得平面，又平面，所以，利用勾股定理可得，即，解得，所以此時(shí)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在側(cè)面內(nèi)的部分，此時(shí)點(diǎn)到的最小距離為，所以的面積的最小值為，即D正確.故選：BCD12．【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，則，求得，進(jìn)而得到圓錐的母線與底面所成的角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，則，可得，設(shè)圓錐的母線與底面所成的角為，則，，所以圓錐的母線與底面所成的角為.故答案為：.13．【分析】由題可知，方程的兩根應(yīng)為虛根，可設(shè)方程的兩復(fù)根為，，根據(jù)條件可得邊長(zhǎng)之間關(guān)系式，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)題意設(shè)方程的兩虛根為，，為實(shí)數(shù)，方程的兩根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為和，軸，又是等邊三角形，高為2，則，解得，則；則.故答案為．14．【分析】易知，當(dāng)時(shí)將方程變形可得，再由函數(shù)與方程思想可知與有兩個(gè)交點(diǎn)，再由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可得，代入表達(dá)式再由二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】易知，因此1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，可得；令，顯然此時(shí)；所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，若要函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則須滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，的最小值為.故答案為：.15．(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理可得；（2）利用輔助角公式化簡(jiǎn)求出，然后利用正、余弦定理，結(jié)合三角形面積公式求解可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，由正弦定理得，解?（2）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理可得，由余弦定理得，即，解得，所?16．(1)詳見(jiàn)解析；(2)存在，【分析】（1）取PD的中點(diǎn)H，易證，得到是平行四邊形，從而，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的一個(gè)法向量，根據(jù)平面，由求解.【詳解】（1）如圖：取PD的中點(diǎn)H，連接FH，AH，因?yàn)?，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面?）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，所以，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，設(shè)，則，若平面，則，所以，解得，所以，則，所以在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，的長(zhǎng)為.17．(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)1【分析】（1）列出所有的取球情況，利用古典概型可得答案；（2）利用全概率公式，建立遞推公式，然后利用等比數(shù)列的定義可證明；（3）利用期望的計(jì)算公式以及第（2）小問(wèn)得到的，可得答案.【詳解】（1）初始時(shí)甲、乙兩盒均裝有1個(gè)白球和1個(gè)黑球，第一次操作時(shí)，從兩盒中各取一球交換，共有4種等可能情況：甲取白、乙取白：交換后甲盒白球數(shù)為1；甲取白、乙取黑：交換后甲盒白球數(shù)為0；甲取黑、乙取白：交換后甲盒白球數(shù)為2；甲取黑、乙取黑：交換后甲盒白球數(shù)為1。故（2）記，則，由全概率公式得：，，，所以，，由（1）和（3）知，結(jié)合初始值，可得對(duì)任意有，代入中，得：，將（4）代入（2）式得：，整理得，即：，又，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（3）由題意知：的取值為：，分布列為：012，由(2)知，因此.18．(1)(2)（i）4，（ii）【分析】（1）依條件列關(guān)于的方程，解方程即可；（2）（i）設(shè)直線方程與，，聯(lián)立橢圓的方程，得到的值，由的平分線垂直于軸，得：，再代入坐標(biāo)，代入韋達(dá)定理可得答案；（ii）分別計(jì)算三角形與圓的面積，代入，可把表示成關(guān)于的函數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）由已知，右焦點(diǎn)為，故，離心率，解得，由，得橢圓的方程為（2）（i）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，設(shè)，，則的平分線垂直于軸，等價(jià)于，且直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，由得，將韋達(dá)定理代入：，化簡(jiǎn)得：，解得：.因此，實(shí)數(shù)的值為；（ii）由（i）知，直線方程為（），聯(lián)立橢圓方程得則由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)得：，三角形的面積，，又，所以，于是，，故，令，則：考慮函數(shù)，，由，得，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?，因此，的取值范圍是?9．(1)(2)（i），證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）由的值得到，利用導(dǎo)數(shù)法求出的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求出在區(qū)間上的最大值；（2）（i）由對(duì)任意，且存