第3講空間向量與立體幾何A組基礎(chǔ)題組1.(2017云南第一次統(tǒng)一檢測)如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=1,BB1=1,P是AB的中點,則異面直線BC1與PD所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°2.(2017云南第一次統(tǒng)一檢測)已知三棱錐PABC的所有頂點都在表面積為16π的球O的球面上,AC為球O的直徑.當(dāng)三棱錐PABC的體積最大時,二面角PABC的大小為θ,則sinθ=()A.23 B.53 C.63 3.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,若動點P在線段BD1上運(yùn)動,則DC·AP的取值范圍是.

4.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=4,點D在棱BB1上,若BD=3,則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為.

5.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,18,12分)如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角APBC的余弦值.

6.(2017安徽兩校階段性測試)已知四棱錐PABCD中,底面ABCD是梯形,BC∥AD,AB⊥AD,且AB=BC=1,AD=2,頂點P在平面ABCD內(nèi)的射影H在AD上,PA⊥PD.(1)求證:平面PAB⊥平面PAD;(2)若直線AC與PD所成角為60°,求二面角APCD的余弦值.B組提升題組1.(2017貴州適應(yīng)性考試)如圖1,在等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,將△ABC沿中位線DE翻折得到如圖2所示的空間圖形,使二面角ADEC的大小為θ0<θ(1)求證:平面ABD⊥平面ABC;(2)若θ=π3

2.如圖,正方形ADEF所在的平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.(1)求證:AC⊥BF;(2)在線段BE上是否存在一點P,使得平面PAC⊥平面BCEF?若存在,求出|BP

答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.C如圖,取A1B1的中點E,連接D1E,AD1,AE,則∠AD1E即為異面直線BC1與PD所成的角.因為AB=2,所以A1E=1,又BC=BB1=1,所以D1E=AD1=AE=2,所以△AD1E為正三角形,所以∠AD1E=60°,故選C.2.C設(shè)球O的半徑為R,由4πR2=16π,得R=2,設(shè)點P到平面ABC的距離為d,則0<d≤2,因為AC為球O的直徑,所以AB2+BC2=AC2=16,則V三棱錐PABC=16AB·BC·d≤16·AB2+BC22·2=83,當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC=22,d=2時,V三棱錐PABC取得最大值,此時平面PAC⊥平面ABC,連接PO,易知PO⊥平面ABC,過點P作PD⊥AB于D,連接OD,則易知AB⊥平面POD,則AB⊥OD,所以∠PDO為二面角PABC的平面角,因為OD=12BC=3.答案[0,1]解析依題意,設(shè)BP→=λBD1→,其中λ∈[0,1],DC→·AP→=AB→·(AB→+BP→)=AB→·(AB→+λBD1→)=4.答案2解析取AC的中點E,連接BE,如圖,可得AD→·EB→=(AB→+BD→)·EB→=AB→·EB→=4×23×32=12=5×23×cosθ(θ為AD→與EB→的夾角),所以cosθ=5.解析(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,又AP∩PD=P,從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,又AD∩AB=A,可得PF⊥平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點,FA的方向為x軸正方向,|AB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Fxyz.由(1)及已知可得A22P0,0,22所以PC=-22,1,-22,CB=(2設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,則n·PC可取n=(0,1,2).設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,則m·PA可取m=(1,0,1).則cos<n,m>=n·m|易知二面角APBC為鈍二面角,所以二面角APBC的余弦值為336.解析(1)證明:∵PH⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PH⊥AB.∵AB⊥AD,AD∩PH=H,AD,PH?平面PAD,∴AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.(2)以A為原點,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,如圖,∵PH⊥平面ABCD,∴z軸∥PH.則A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),設(shè)AH=a,PH=h(0<a<2,h>0),則P(0,a,h),∴AP=(0,a,h),DP=(0,a2,h),AC=(1,1,0).∵PA⊥PD,∴AP·DP=a(a2)+h2=0.①∵AC與PD所成的角為60°,∴|cos<AC,DP>|=|a-2∴(a2)2=h2,②由①②得(a2)(a1)=0,∵0<a<2,∴a=1,∵h(yuǎn)>0,∴h=1,∴P(0,1,1).∴AP=(0,1,1),AC=(1,1,0),PC=(1,0,1),DC=(1,1,0),設(shè)平面APC的法向量為n=(x1,y1,z1),由n·AP=y設(shè)平面DPC的法向量為m=(x2,y2,z2).由m·PC=x∴cos<m,n>=m·n|∵二面角APCD的平面角為鈍角,∴二面角APCD的余弦值為13B組提升題組1.解析(1)證明:在等腰直角三角形ABC中,AB⊥BC,且DE為△ABC的中位線,∴DE∥BC,∴DE⊥AB.由翻折,可知DE⊥AD,DE⊥DB,AD∩DB=D,∴DE⊥平面ADB,∴BC⊥平面ADB,而BC?平面ABC,∴平面ABD⊥平面ABC.(2)由(1)可知,∠ADB為二面角ADEC的平面角,∴∠ADB=θ=π3又AD=DB,∴△ADB為等邊三角形,如圖,O為DB的中點,連接OA,過點O作OF∥BC交CE于點F,則AO⊥BD,OF⊥BD,由(1)知BC⊥平面ADB,∴AO⊥BC,∴AO⊥平面BCED,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,OF,OA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BD=2,則A(0,0,3),B(1,0,0),C(1,4,0),E(1,2,0),∴AB=(1,0,3),AC=(1,4,3),AE=(1,2,3),設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB令z=1,則n=(3,0,1)是平面ABC的一個法向量.設(shè)AE與平面ABC所成的角為α,則sinα=|AE·n2.解析(1)證明:∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,AF?平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD.∵AC?平面ABCD,∴AF⊥AC.過A作AH⊥BC于H,則BH=1,AH=3,CH=3,∴AC=23,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB,∵AB∩AF=A,∴AC⊥平面FAB,∵BF?平面FAB,∴AC⊥BF.(2)存在.由(1)知,AF,AB,AC兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點,AB,AC,AF的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0)