哈三中2025—2026學(xué)年度上學(xué)期高二學(xué)年期中考試數(shù)學(xué)試卷考試說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線y的傾斜角為2．已知直線l1:mx+2y-2=0與直線l2:5x+(m+3)y-5=0，若l1//l2，則m=A．-5B．2C．2或-5D．53．有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)(x,y)數(shù)據(jù)中去掉D(3,10)后，下列說法正確的是A．解釋變量x與響應(yīng)變量y的線性相關(guān)性變?nèi)魾．方差變大C．決定系數(shù)R2變小D．殘差平方和變小4．已知的展開式系數(shù)和為729，則a的值為5．哈爾濱國際馬拉松賽項(xiàng)目分為全程馬拉松、半程馬拉松和迷你馬拉松．甲、乙、丙等5名馬拉松愛好者均計(jì)劃參加哈爾濱國際馬拉松賽，若每人只參加一個(gè)競賽項(xiàng)目，且甲和乙均參加迷你馬拉松，這5名馬拉松愛好者的競賽項(xiàng)目涵蓋了三個(gè)競賽項(xiàng)目，則不同的參賽方案有6．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X-2012Pm 16n若E(X)=0，則D(3X+1)=7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P(x0,y0)為第一象限內(nèi)的動點(diǎn)且在直線x+y-3=0上，則x的最小值為8．為研究不同性別學(xué)生對“deepseek”應(yīng)用程序的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件A="了解deepseek"，B=“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)P，P(B，將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生，設(shè)其中了解deepseek的學(xué)生的人數(shù)為X，則當(dāng)P(X=k)取得最大值時(shí)的k(k∈N*)值為A．14B．13C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．A．直線l2過定點(diǎn)(2,3)B．當(dāng)m=10時(shí)，l1//l2C．當(dāng)m=-1時(shí)，l1丄l2D．當(dāng)l1//l2時(shí)，兩直線l1，l2之間的距離為210．下列說法正確的是A．對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量χ2的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越小B．以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny，將其變換后得到線性方程z=3x+1，則c,k的值分別是e,3C．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為=0.4x+a，若其中一個(gè)散點(diǎn)坐標(biāo)為(-a,5.4)，則a=9D．將兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)調(diào)整為(x1,y1+3),(x2,y2+3),(xn,yn+3)，決定系數(shù)R2不變11．甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對方口袋中稱為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個(gè)紅球，1個(gè)紅球，2個(gè)紅球分別記為事件An，Bn，Cn，則第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上．14．已知直線kx-y+1-k=0(k∈R)恒過定點(diǎn)A，圓C:(x-1)2+y2=4上的兩點(diǎn)最小值為．四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.(1)求ΔABC外接圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l過點(diǎn)P(2,0)，且與圓E相交截得弦長為8，求直線l的方程．16．某種產(chǎn)品2020年到2024年的年份代碼x與年利潤y（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下，年份2020年2021年2022年2023年2024年xi12345yi6.45.55.04.83.8(1)求2020-2024年年份代碼xi與yi的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01(2)求回歸直線方程并預(yù)測該產(chǎn)品2026年的年利潤．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：=y-x．樣本相關(guān)系數(shù)r17．某零件生產(chǎn)車間，對甲乙兩臺機(jī)器生產(chǎn)的零件進(jìn)行檢驗(yàn)，現(xiàn)從兩臺機(jī)器生產(chǎn)的零件中抽查100個(gè)零件，檢驗(yàn)結(jié)果如下表所示：一等品非一等品合計(jì)30乙機(jī)器45合計(jì)(1)完成列聯(lián)表并依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該車間生產(chǎn)的零件是否是一等品與由哪臺機(jī)器生產(chǎn)是否有關(guān)聯(lián)；(2)已知這批零件的內(nèi)徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(200,36)，若該車間又新購一臺機(jī)器，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測量其內(nèi)徑（單位：mm）分別為：181，190，198，204，213.如果你是該車間的負(fù)責(zé)人，以原兩臺機(jī)器生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試根據(jù)3σ原則通過計(jì)算概率判斷這臺機(jī)器是否需要進(jìn)一步調(diào)試？并說明你的理由．參考數(shù)據(jù)：α0.150.10.050.0250.010.0050.001xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828若X～N(μ,σ2)，則P(X-μ<σ)≈0.6827，P(X-μ<2σ)≈0.9545，P(X-μ<3σ)≈0.9973，0.99734≈0.99．18．某自來水廠消毒系統(tǒng)原有4臺消毒裝置，為確保飲用水微生物安全性，該自來水廠進(jìn)行了設(shè)備升級，又引進(jìn)了2臺新型消毒裝置.據(jù)已有數(shù)據(jù)記錄，原消毒系統(tǒng)對每個(gè)大腸桿菌的滅活率均為99.2%，新消毒系統(tǒng)對每個(gè)大腸桿菌的滅活率均為99.8%，現(xiàn)檢驗(yàn)出一批未經(jīng)消毒的水中大腸桿菌含量為500個(gè)/升．（1）若從該廠6臺消毒裝置中隨機(jī)選擇3臺進(jìn)行檢測，記ξ為這3臺裝置中新型裝置的臺數(shù)，求ξ的分布列；（2）經(jīng)原消毒系統(tǒng)處理后，設(shè)一升水中大腸桿菌的個(gè)數(shù)為X，求X≤2的概率（結(jié)果保留3位小數(shù)）及X的數(shù)學(xué)期望；（3）經(jīng)新消毒系統(tǒng)處理后，試用泊松分布近似計(jì)算，一升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)不超出2個(gè)的概率（結(jié)果保留3位小數(shù)附：①泊松（Poissor）分布，是一種統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)里常見的離散型概率分布，是適合于描述單位時(shí)間或單位面積內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布.若隨機(jī)變量ξ的分布列為Pe-k=0,1,2,…,（其中e為自然對數(shù)則稱隨機(jī)變量ξ服從泊松分布．②設(shè)η~B(n,p)，當(dāng)p≤0.05且n≥20時(shí)，二項(xiàng)分布可近似看成泊松分布．即P=Cpkn-ke-其中λ=E(η)．參考數(shù)據(jù)：0.992500=0.018，C000.008×0.992499≈0.073，C000.0082×0.992498≈0.146，e≈2.72．19．組合恒等式是一類含有組合數(shù)的恒等式，其結(jié)構(gòu)工整精美，是數(shù)學(xué)園林中的一組瑰寶.其證明方法有很多，有構(gòu)造計(jì)數(shù)模型法（算兩次構(gòu)造函數(shù)法及數(shù)學(xué)歸納法等等.請根據(jù)條件解決以下問題：(2)設(shè)i≤n，求證：ni；