高二綜合性考試試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增的是（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=x^2-x$C.$y=2^x$D.$y=\log_{\frac{1}{2}}x$2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,-4)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則實(shí)數(shù)$m$的值為（）A.-2B.2C.-8D.83.拋物線$y=4x^2$的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.$(0,1)$B.$(1,0)$C.$(0,\frac{1}{16})$D.$(\frac{1}{16},0)$4.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_3+a_5+a_7=15$，則$a_5$的值為（）A.3B.5C.7D.95.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\lg(x+1)$的定義域是（）A.$(-1,1]$B.$(-1,1)$C.$[-1,1)$D.$[-1,1]$6.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，則$\cos\alpha$的值為（）A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$-\frac{3}{4}$7.直線$x-\sqrt{3}y+1=0$的傾斜角為（）A.$30^{\circ}$B.$60^{\circ}$C.$120^{\circ}$D.$150^{\circ}$8.若$x\gt0$，$y\gt0$，且$x+y=1$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是（）A.2B.3C.4D.59.已知函數(shù)$f(x)$是定義在$R$上的奇函數(shù)，當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$f(x)=x^2-x$，則$f(-2)$的值為（）A.2B.-2C.6D.-610.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的一條漸近線方程為$y=\frac{3}{4}x$，則雙曲線的離心率為（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{3}{2}$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列說(shuō)法正確的是（）A.若直線$l_1\parallell_2$，則它們的斜率相等B.若直線$l_1\perpl_2$，則它們的斜率之積為-1C.直線的傾斜角的范圍是$[0,\pi)$D.過(guò)點(diǎn)$P(x_0,y_0)$且斜率為$k$的直線方程為$y-y_0=k(x-x_0)$2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2+1$B.$y=\cosx$C.$y=\frac{1}{x^2}$D.$y=\log_2|x|$3.關(guān)于橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$），下列說(shuō)法正確的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為$2a$B.短軸長(zhǎng)為$2b$C.焦距為$2c$（$c^2=a^2-b^2$）D.離心率$e=\frac{c}{a}$4.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，公比為$q$，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若$a_1\gt0$，$q\gt1$，則數(shù)列$\{a_n\}$是遞增數(shù)列B.若$a_1\lt0$，$0\ltq\lt1$，則數(shù)列$\{a_n\}$是遞增數(shù)列C.若$q\lt0$，則數(shù)列$\{a_n\}$是擺動(dòng)數(shù)列D.若$q=1$，則數(shù)列$\{a_n\}$是常數(shù)列5.下列不等式中，正確的是（）A.$x^2+1\geq2x$B.$a+b\geq2\sqrt{ab}$（$a\gt0$，$b\gt0$）C.$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（$a\gt0$，$b\gt0$）D.$x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}$6.已知向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則下列運(yùn)算正確的是（）A.$\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)$B.$\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)$C.$\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)$（$\lambda\inR$）D.$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2$7.函數(shù)$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的性質(zhì)正確的是（）A.最小正周期為$\pi$B.圖象關(guān)于點(diǎn)$(-\frac{\pi}{6},0)$對(duì)稱C.在區(qū)間$[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]$上單調(diào)遞增D.圖象關(guān)于直線$x=\frac{\pi}{12}$對(duì)稱8.已知函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有定義，下列說(shuō)法正確的是（）A.若$f(x)$在$[a,b]$上是增函數(shù)，則$f(a)\ltf(b)$B.若$f(x)$在$[a,b]$上是減函數(shù)，則$f(a)\gtf(b)$C.若$f(x)$在$[a,b]$上有最大值$M$和最小值$m$，則$m\leqf(x)\leqM$D.若$f(x)$在$[a,b]$上是單調(diào)函數(shù)，則$f(x)$在$[a,b]$上有最值9.對(duì)于直線$Ax+By+C=0$（$A$，$B$不同時(shí)為0），下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)$A=0$，$B\neq0$時(shí)，直線平行于$x$軸B.當(dāng)$B=0$，$A\neq0$時(shí)，直線平行于$y$軸C.直線的斜率為$-\frac{A}{B}$（$B\neq0$）D.直線在$x$軸上的截距為$-\frac{C}{A}$（$A\neq0$）10.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿足$S_n=2a_n-1$，則下列說(shuō)法正確的是（）A.$a_1=1$B.$a_2=2$C.數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列D.$a_n=2^{n-1}$三、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)$f(x)$在$x=x_0$處的導(dǎo)數(shù)為0，則$f(x)$在$x=x_0$處取得極值。（）2.直線$x=1$的斜率不存在。（）3.若$\sin\alpha=\sin\beta$，則$\alpha=\beta+2k\pi$，$k\inZ$。（）4.數(shù)列$1,2,3,4,5$與數(shù)列$5,4,3,2,1$是同一個(gè)數(shù)列。（）5.函數(shù)$y=\log_2x$與函數(shù)$y=2^x$的圖象關(guān)于直線$y=x$對(duì)稱。（）6.若向量$\vec{a}$與向量$\vec$的夾角為$90^{\circ}$，則$\vec{a}\cdot\vec=0$。（）7.橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的焦點(diǎn)在$x$軸上。（）8.不等式$x^2-2x+1\gt0$的解集是$R$。（）9.若函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，則$f(0)=0$。（）10.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$在區(qū)間$[0,3]$上的最值。答案：對(duì)$f(x)$配方得$f(x)=(x-1)^2+2$。對(duì)稱軸為$x=1$，在區(qū)間$[0,3]$內(nèi)。$f(1)=2$為最小值，$f(3)=6$為最大值。2.已知$\tan\alpha=2$，求$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$的值。答案：分子分母同時(shí)除以$\cos\alpha$，則原式變?yōu)?\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}$，把$\tan\alpha=2$代入得$\frac{2+1}{2-1}=3$。3.求過(guò)點(diǎn)$P(2,-1)$且與直線$2x-3y+1=0$平行的直線方程。答案：與直線$2x-3y+1=0$平行的直線設(shè)為$2x-3y+c=0$，將點(diǎn)$P(2,-1)$代入得$4+3+c=0$，解得$c=-7$，直線方程為$2x-3y-7=0$。4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=n^2$，求$a_n$。答案：當(dāng)$n=1$時(shí)，$a_1=S_1=1$；當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1$，$n=1$時(shí)也滿足，所以$a_n=2n-1$。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的單調(diào)性與極值。答案：求導(dǎo)得$f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$f^\prime(x)\gt0$，得$x\lt-1$或$x\gt1$，函數(shù)遞增；令$f^\prime(x)\lt0$，得$-1\ltx\lt1$，函數(shù)遞減。$x=-1$取極大值$f(-1)=2$，$x=1$取極小值$f(1)=-2$。2.在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$）中，如何根據(jù)$a$，$b$的值確定焦點(diǎn)位置以及離心率？答案：若$a^2\gtb^2$，焦點(diǎn)在$x$軸；若$a^2\ltb^2$，焦點(diǎn)在$y$軸。離心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，$c\gt0$。通過(guò)$a$，$b$求出$c$進(jìn)而確定離心率。3.討論等差數(shù)列與等比數(shù)列在通項(xiàng)公式、性質(zhì)等方面的異同。答案：相同點(diǎn)：都是數(shù)列。不同點(diǎn)：通項(xiàng)公式上，等差數(shù)列$a_n=a_1+(n-1)d$，等比數(shù)列$a_n=a_1q^{n-1}$。性質(zhì)上，等差數(shù)列有等差中項(xiàng)，等比數(shù)列有等比中項(xiàng)，運(yùn)算規(guī)律也不同，如等差數(shù)列是加減法規(guī)律，等比數(shù)列是乘除法規(guī)律。4.已知直線與圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離，如何通過(guò)幾何方法和代數(shù)方法判斷它們的位置關(guān)系？答案：幾何方法：比較圓心到直線的距離$d$與圓半徑$r$的大小，$d\ltr$相交，$d=r$相切，$d\gtr$相離。代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得一元二次方程，根據(jù)判別式$\Delta$判斷，$\Delta\gt0$相交，$\Delta