第=page22頁，共=sectionpages22頁2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題四川一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如果2是方程的一個(gè)根，那么c的值是（

）A.3 B.2 C. D.2.2025年3月21日,神舟十九號(hào)航天員乘組圓滿完成第三次出艙活動(dòng).如圖(1)為中國空間站示意圖,其中的核心艙可看作由兩個(gè)圓柱體組成.由核心艙抽象出的幾何體如圖(2)所示,則這個(gè)幾何體的俯視圖為()

A.???????

B.

C.

D.3.某學(xué)校食堂準(zhǔn)備了A，B，C，D四種營養(yǎng)套餐，如果小明和小亮每人隨機(jī)選擇其中一種營養(yǎng)套餐，則他們恰好選到同一種營養(yǎng)套餐的概率是（）A. B. C. D.4.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接CE并延長交BA的延長線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A. B. C. D.5.如圖所示，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=6，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是（）

?A.10

B.2

C.8

D.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸正半軸上，頂點(diǎn)C、D位于第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)若的面積為，正方形邊長為3，則k的值為（

）

A.2 B. C.3 D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.若是關(guān)于的一元二次方程，則的值是

．8.如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形的位似圖形（四邊形），若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是

．

9.二胡是中國古老的民族拉弦樂器之一，如圖，一把二胡的琴弦的長為，千斤線綁在黃金分割點(diǎn)處（即），則點(diǎn)下方的琴弦的長為

．

10.已知，是一元二次方程的兩根，則

．11.如圖，已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接、交軸于點(diǎn)，若，則

．

12.定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則稱此三角形為“完美三角形”．如圖，在矩形中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，若是“完美三角形”，則的長為

．

三、解答題：本題共11小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.(1)解方程：；(2)如圖，直線，直線分別交、、于點(diǎn)、、，直線分別交、、于點(diǎn)、、．若，，求線段的長．

14.(本小題6分)如圖，在下列的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中，在邊上找一點(diǎn)P，連接，使；(2)在圖2中，在邊上找一點(diǎn)Q，連接，使．15.(本小題6分)萍鄉(xiāng)作為贛西紅色熱土與生態(tài)勝地，以“工運(yùn)搖籃、戶外天堂、花炮故里、中國辣都”四張城市名片詮釋著城市的獨(dú)特底蘊(yùn)．為了更好的向游客展示萍鄉(xiāng)的城市形象，小亮和他朋友設(shè)計(jì)了如下圖正面印有這四張名片的四款明信片用來送給游客，它們除正面圖案外其余完全相同，將這四款明信片背面朝上充分洗勻．

(1)若游客從中隨機(jī)抽取一款，抽到的明信片上印有“中國辣都”的概率是

；(2)若游客從中隨機(jī)抽取兩款，利用畫樹狀圖或列表的方法，求游客抽取的明信片中剛好有一款是“戶外天堂”明信片的概率．16.(本小題6分)已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a、b，且a、b是矩形兩條對(duì)角線的長，求矩形對(duì)角線的長．17.(本小題6分)為了增強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，歡歡想在書房里掛一張測試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．歡歡通過學(xué)習(xí)，決定使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．在相距的兩面墻上分別懸掛視力表（）與平面鏡（），根據(jù)平面鏡成像原理作出了如圖所示光路圖，視力表（）的上下邊A、B反射發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡（）反射后射入人眼C處，是關(guān)于平面鏡所成的像．

(1)根據(jù)平面鏡成像原理：為了達(dá)到測試距離的要求，歡歡應(yīng)站在距離平面鏡______

__m的C處；(2)如果視力表（）的長為，請(qǐng)計(jì)算圖示中平面鏡（）的長度．18.(本小題6分)

2024年10月，萍鄉(xiāng)市榮獲“中國辣都”稱號(hào)后，辣味食品產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．已知2023年某辣味食品企業(yè)年產(chǎn)值為5億元，得益于品牌效應(yīng)，該企業(yè)的年產(chǎn)值連續(xù)兩年保持相同的增長率，預(yù)計(jì)2025年年產(chǎn)值將達(dá)到7.2億元．(1)求該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率；(2)2024年10月，該企業(yè)的線上辣味食品銷售額為3200萬元，按計(jì)劃第四季度（月）的線上總銷售額需達(dá)到12200萬元，求11、12兩個(gè)月銷售額的月均增長率．19.(本小題6分)如圖，在中，于E，于F，與分別相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是菱形．20.(本小題6分)為了測量路燈的的高度，小明從燈桿底部點(diǎn)沿人行道垂直方向拉一卷尺到處，在，之間水平放置一平面鏡；移動(dòng)鏡子的位置，當(dāng)鏡子在點(diǎn)時(shí)，小明能在鏡中看到燈的點(diǎn)；當(dāng)鏡子在點(diǎn)，小明能在鏡中看到燈的點(diǎn)；其視線如圖所示；，，三點(diǎn)共線，且，．已知小明的眼睛離地面的高度，，，，．

(1)求線段和燈桿的高度；(2)求長．21.(本小題5分)如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，若，，求的長．22.(本小題5分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的邊在軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，平行四邊形的面積為．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)連接，點(diǎn)為邊與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．23.(本小題6分)某數(shù)學(xué)興趣小組在課余時(shí)間開展綜合與實(shí)踐探究活動(dòng)：如圖1，已知四邊形為正方形，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，以為邊構(gòu)造正方形，連接．

(1)特例感知：直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．(2)操作發(fā)現(xiàn)：將正方形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接．①與之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化．若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)就圖2的情況給出證明．②當(dāng)，時(shí)，求四邊形的面積．(3)類比探究：將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，以為斜邊在的上方作等腰，連接．如圖3，若，直接寫出的取值范圍．

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】1

8.【答案】18

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】或1或3

13.【答案】【小題1】，將左邊因式分解，得，移項(xiàng)，得，提取公因式，得，即，則或，解得，；【小題2】，，∵，，∴，解得，．

14.【答案】【小題1】解：如圖所示，線段即為所求；∵四邊形是矩形，∴，【小題2】解：如圖所示，即為所求，∵∴∴，∴．

15.【答案】【小題1】???????【小題2】將“工運(yùn)搖籃、戶外天堂、花炮故里、中國辣都”四張城市名片分別記為A、B、C、D，根據(jù)題意，列表如下：ABCDABCD共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的明信片中剛好有一款是“戶外天堂”名片的明信片的結(jié)果有6種，所以，抽取的明信片中剛好有一款是“戶外天堂”明信片的概率為．

16.【答案】【小題1】解：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根理由：，∵，∴，∴這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；【小題2】解：∵a，b是矩形兩條對(duì)角線的長，∴，∵該一元二次方程的兩根為a，b，∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴這個(gè)一元二次方程為，∴，解得．∴這個(gè)矩形對(duì)角線的長是4．

17.【答案】【小題1】2【小題2】解：如下圖，過點(diǎn)C作，垂足為D，并延長交于E，，，，又，，，，，平面鏡長為．

18.【答案】【小題1】解：設(shè)該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率為，由題意得，解得：，(不符合題意，舍去)．答：該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率為．【小題2】解：設(shè)、兩個(gè)月銷售額的月均增長率為，由題意得，整理得：，解得：(不符合題意，舍去)，．答：、兩個(gè)月銷售額的月均增長率為．

19.【答案】【小題1】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，，∴，在和中，，∴．【小題2】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∵，，∴．∴，即，∵，∴，∵，∴．∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．

20.【答案】【小題1】解：∵，，，∴，∴，根據(jù)反射可得：，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小題2】解：如圖，過作于，則四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∴，解得，∴，∴，答：路燈的長約為．

21.【答案】【小題1】證明：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，則，∵四邊形是菱形，∴，則，∴四邊形是平行四邊形．【小題2】解：取的中點(diǎn)H，連接，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，在中，，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，．

22.【答案】【小題1】解：∵四邊形是平行四邊形，在軸上，∴，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，∴平行四邊形的底邊上的高為3．∵已知平行四邊形面積為，∴，解得．∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．∵點(diǎn)在反比例函數(shù)上，將代入得，解得．∴反比例函數(shù)的解析式為；【小題2】解：由（1）知：，點(diǎn)到軸的距離為3，∴．∵設(shè)點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，∴∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，∴將，代入得，∴，，解得，∴．設(shè)，則，的邊邊上的高為，∴．解得或．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

23.【答案】【小題1】；如圖所示，過點(diǎn)F作，交于點(diǎn)H，∵四邊形是正方形，∴∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是正方形，∴．根據(jù)勾股定理，得，即，∴；