七年級數(shù)學知識點總結與典型練習告別小學的輕松，步入初中的殿堂，七年級的數(shù)學學習如同為我們打開了一扇全新的大門。這一年，我們將接觸到更為系統(tǒng)和抽象的數(shù)學概念，它們是未來數(shù)學學習的基石。這份總結旨在幫助同學們梳理七年級數(shù)學的核心知識點，并通過典型練習鞏固所學，希望能為大家的數(shù)學之旅助一臂之力。一、有理數(shù)有理數(shù)是我們進入初中后首先接觸的重要概念，它將我們對數(shù)的認識從自然數(shù)、分數(shù)擴展到了更廣闊的范圍。1.1有理數(shù)的基本概念*正數(shù)與負數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加上“-”號的數(shù)叫做負數(shù)。0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，它是正數(shù)和負數(shù)的分界點。**小貼士：引入負數(shù)后，許多實際問題，如溫度、海拔高度、盈虧等，都能得到更簡潔的表示。**有理數(shù)的分類：有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)。整數(shù)又可分為正整數(shù)、0和負整數(shù)；分數(shù)可分為正分數(shù)和負分數(shù)。也可以按正負性分為正有理數(shù)、0和負有理數(shù)。**小貼士：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分數(shù)，因此它們都是有理數(shù)。**數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。**核心考點：利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的大。**相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。0的相反數(shù)是0。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點位于原點兩側，且到原點的距離相等。**表示方法：數(shù)a的相反數(shù)是-a。**絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。*性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。**即：當a>0時，|a|=a；當a=0時，|a|=0；當a<0時，|a|=-a。***注意：絕對值具有非負性，即|a|≥0。*1.2有理數(shù)的運算*有理數(shù)的加法：*同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。*異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。*一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。**運算律：加法交換律a+b=b+a；加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)。**有理數(shù)的減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+(-b)。*有理數(shù)的乘法：*兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。*幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)。**運算律：乘法交換律a×b=b×a；乘法結合律(a×b)×c=a×(b×c)；乘法分配律a×(b+c)=a×b+a×c。**有理數(shù)的除法：*除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。*兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。*有理數(shù)的乘方：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在a?中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。**注意：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。**有理數(shù)的混合運算順序：1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級運算，從左到右進行；3.如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。二、整式的加減代數(shù)式是代數(shù)的語言，而整式是其中最基礎的部分。整式的加減運算則是代數(shù)運算的入門。2.1整式的有關概念*單項式：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式。單獨的一個數(shù)或者一個字母也叫做單項式。*單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。*一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。*多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項。*多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。*整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。*同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。2.2整式的加減*合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。*合并同類項法則：同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。*去括號法則：*如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；*如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。*整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。*整式加減的結果還是整式。三、一元一次方程方程是解決實際問題的重要工具，一元一次方程是最簡單也是最基礎的方程。3.1從算式到方程*方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫做方程。*一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程。*方程的解：使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。3.2等式的性質(zhì)*等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。*等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。3.3解一元一次方程解一元一次方程的一般步驟：1.去分母：在方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)，注意不要漏乘不含分母的項。2.去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號。注意符號。3.移項：把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊。移項要變號。4.合并同類項：把方程化成ax=b(a≠0)的形式。5.系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。**提示：具體解方程時，步驟要根據(jù)方程的特點靈活運用，不必生搬硬套。*3.4一元一次方程的應用列一元一次方程解決實際問題的一般步驟：1.審：審題，理解題意。弄清題目中的數(shù)量關系，找出其中的等量關系。2.設：設未知數(shù)。根據(jù)題意，選擇適當?shù)奈粗獢?shù)，并用字母表示（設元）。3.列：列方程。利用題目中的等量關系，列出方程。4.解：解方程。求出未知數(shù)的值。5.驗：檢驗。檢驗所求得的未知數(shù)的值是否是原方程的解，同時是否符合實際意義。6.答：寫出答案（包括單位名稱）。**常見的應用類型：行程問題、工程問題、利潤問題、利息問題、數(shù)字問題、和差倍分問題等。關鍵在于找到“等量關系”。*四、圖形的初步認識從具體到抽象，從直觀感受到理性分析，圖形的初步認識將帶領我們進入幾何的世界。4.1多姿多彩的圖形*立體圖形：各部分不都在同一平面內(nèi)的圖形，如正方體、長方體、圓柱、圓錐、球等。*平面圖形：各部分都在同一平面內(nèi)的圖形，如線段、角、三角形、長方形、圓等。*從不同方向看立體圖形：可以得到不同的平面圖形（主視圖、左視圖、俯視圖）。*立體圖形的展開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖。4.2直線、射線、線段*直線：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。簡述為：兩點確定一條直線。*直線的表示方法：可以用一個小寫字母表示，也可以用這條直線上的兩個點來表示。*直線沒有端點，可以向兩端無限延伸，不可度量。*射線：直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。*射線的表示方法：用射線的端點和射線上另一點來表示，端點字母要寫在前面。*射線有一個端點，可以向一端無限延伸，不可度量。*線段：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。*線段的表示方法：可以用一個小寫字母表示，也可以用表示它的兩個端點的字母來表示。*線段有兩個端點，不能延伸，可以度量長度。*線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短。*兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。*線段的中點：點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫做線段AB的中點。則有AM=MB=1/2AB。4.3角*角的概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊。*角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。*角的表示方法：1.用三個大寫字母表示，頂點字母寫在中間；2.用一個大寫字母表示（頂點處只有一個角時）；3.用一個數(shù)字或一個希臘字母表示。*角的度量：度量單位是度、分、秒。1°=60'，1'=60''。*角的比較與運算：*可以用量角器量出角的度數(shù)，再比較大??；也可以把它們疊合在一起比較大小。*角的和、差、倍、分的運算，與線段的類似。*角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。*余角和補角：*如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角。*如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角。*性質(zhì)：等角的余角相等；等角的補角相等。*對頂角：兩條直線相交組成的四個角中，有公共頂點且沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。對頂角相等。典型練習題一、有理數(shù)1.計算：(-3)2-|-5|+(-1/2)×(-4)**思路點睛：先算乘方和絕對值，再算乘法，最后算加減。*2.已知|a|=3，|b|=5，且a<b，求a+b的值。**思路點睛：絕對值為3的數(shù)有±3，絕對值為5的數(shù)有±5。根據(jù)a<b確定a、b的可能取值組合。*二、整式的加減3.化簡求值：3x2y-[2xy2-2(xy-3/2x2y)+xy]+3xy2，其中x=3，y=-1/3。**思路點睛：先去小括號，再去中括號，然后合并同類項，最后代入求值。注意去括號時的符號變化。*4.若3x???y2與x3y?的和是單項式，求m?的值。**思路點睛：兩個單項式的和仍是單項式，則它們是同類項。根據(jù)同類項定義（字母相同，相同字母指數(shù)也相同）求出m、n。*三、一元一次方程5.解方程：(x-1)/2-(2x+1)/3=1**思路點睛：先去分母（兩邊同乘6），再去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。*6.某商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折（即按標價的80%）優(yōu)惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？**思路點睛：設成本價為x元。標價為(1+40%)x，售價為標價的80%。根據(jù)等量關系：售價-成本價=利潤（15元）列方程。*四、圖形的初步認識7.如圖，點C是線段AB上一點，點M是AC的中點，點N是BC的中點，若AB=10cm，求MN的長度。**(此處省略圖形，可自行繪制：線段AB，C在AB之間，M在AC中點，N在BC中點)***思路點睛：MN=MC+CN。因為M、N分別是AC、BC中點，所