正比例函數(shù)教學(xué)導(dǎo)學(xué)案與習(xí)題解析一、教學(xué)導(dǎo)學(xué)案（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：理解正比例函數(shù)的概念，能準(zhǔn)確判斷一個(gè)函數(shù)是否為正比例函數(shù)；掌握正比例函數(shù)的圖像特征和基本性質(zhì)；能夠根據(jù)已知條件確定正比例函數(shù)的解析式，并運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。2.過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的觀察、分析、歸納，經(jīng)歷正比例函數(shù)概念的形成過(guò)程；在探究正比例函數(shù)圖像和性質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)觀察、分析和概括能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在合作與探究中，體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。（二）重點(diǎn)與難點(diǎn)*重點(diǎn)：正比例函數(shù)的概念、解析式、圖像及性質(zhì)。*難點(diǎn)：理解正比例函數(shù)中兩個(gè)變量之間的正比例關(guān)系，以及利用正比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。（三）知識(shí)回顧1.什么是常量？什么是變量？2.什么是函數(shù)？函數(shù)有哪幾種表示方法？（四）新知探究1.正比例函數(shù)的概念問(wèn)題情境1：汽車以60千米/小時(shí)的速度勻速行駛，行駛路程為s千米，行駛時(shí)間為t小時(shí)。*填寫下表：t（小時(shí)）123...:-------:--:--:--:--s（千米）...*s與t之間的關(guān)系式是什么？*在這個(gè)關(guān)系式中，哪些是常量？哪些是變量？s是t的函數(shù)嗎？問(wèn)題情境2：一種筆記本每本定價(jià)為2元，購(gòu)買x本筆記本的總價(jià)為y元。*寫出y與x之間的關(guān)系式。*這個(gè)關(guān)系式中，常量和變量分別是什么？y是x的函數(shù)嗎？觀察與思考：上述兩個(gè)問(wèn)題中得到的函數(shù)關(guān)系式（s=60t，y=2x）有什么共同特點(diǎn)？歸納總結(jié)：形如y=kx（k是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)。其中，k叫做比例系數(shù)。*自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)（在實(shí)際問(wèn)題中，需根據(jù)具體情況確定）。*正比例函數(shù)y=kx也可以說(shuō)成“y與x成正比例”，k是比例系數(shù)。即時(shí)練習(xí)：判斷下列函數(shù)是否為正比例函數(shù)？若是，請(qǐng)指出比例系數(shù)k。(1)y=3x(2)y=-0.5x(3)y=x2(4)y=2(5)y=(a2+1)x(a為常數(shù))（五）正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.繪制正比例函數(shù)的圖像動(dòng)手操作：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出下列正比例函數(shù)的圖像。(1)y=x(2)y=2x(3)y=-x(4)y=-0.5x步驟提示：1.列表：選取適當(dāng)?shù)膞值，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值。2.描點(diǎn)：在坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)。3.連線：用平滑的直線將描出的點(diǎn)連接起來(lái)。觀察與發(fā)現(xiàn)：正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)的直線。因此，畫正比例函數(shù)圖像時(shí)，只需確定兩點(diǎn)（通常取原點(diǎn)和點(diǎn)(1,k)），即可畫出其圖像。2.探究正比例函數(shù)的性質(zhì)思考與討論：觀察你所畫的四個(gè)函數(shù)圖像，思考以下問(wèn)題：(1)當(dāng)k>0時(shí)（如y=x,y=2x），函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)哪些象限？y隨x的增大如何變化？(2)當(dāng)k<0時(shí)（如y=-x,y=-0.5x），函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)哪些象限？y隨x的增大如何變化？(3)|k|的大小對(duì)函數(shù)圖像的“傾斜程度”有何影響？歸納總結(jié)：正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的性質(zhì)：*當(dāng)k>0時(shí)：*圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限（從左向右上升）。*y隨x的增大而增大。*當(dāng)k<0時(shí)：*圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限（從左向右下降）。*y隨x的增大而減小。*|k|的值越大，直線y=kx離y軸越近，即圖像越“陡”；|k|的值越小，直線y=kx離x軸越近，即圖像越“平緩”。即時(shí)練習(xí)：(1)函數(shù)y=3x的圖像經(jīng)過(guò)第______象限，y隨x的增大而______。(2)函數(shù)y=-√2x的圖像經(jīng)過(guò)第______象限，y隨x的增大而______。(3)若正比例函數(shù)y=(m-1)x的圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，則m的取值范圍是______。（六）應(yīng)用與拓展1.確定正比例函數(shù)的解析式例1：已知正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式。分析：因?yàn)辄c(diǎn)(2,4)在函數(shù)圖像上，所以其坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，將x=2,y=4代入y=kx即可求出k的值。解：（過(guò)程略）方法提煉：若已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)(x?,y?)，則將該點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx，得到y(tǒng)?=kx?，從而求出k=y?/x?(x?≠0)，即可確定函數(shù)解析式。2.解決實(shí)際問(wèn)題例2：某水庫(kù)的水位在5小時(shí)內(nèi)持續(xù)上漲，初始水位高度為6米，每小時(shí)上漲0.3米。(1)寫出水庫(kù)的水位高度y（米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出它是否為正比例函數(shù)。(2)經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，水庫(kù)的水位高度是多少米？分析：（1）水位高度=初始水位+上漲的高度。上漲的高度=每小時(shí)上漲高度×?xí)r間。（2）將x=2代入關(guān)系式計(jì)算。解：（過(guò)程略）思考：例2中的函數(shù)是正比例函數(shù)嗎？為什么？它與我們今天學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)有何區(qū)別與聯(lián)系？（為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)做鋪墊）（七）課堂小結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？（正比例函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用）2.正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像有何特征？其性質(zhì)是如何隨k的符號(hào)變化的？3.如何確定一個(gè)正比例函數(shù)的解析式？4.學(xué)習(xí)過(guò)程中，你用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（如：數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、歸納總結(jié)等）（八）作業(yè)布置1.必做題：教材對(duì)應(yīng)練習(xí)題中關(guān)于正比例函數(shù)概念、圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)題。2.選做題：(1)已知y與x成正比例，且當(dāng)x=-3時(shí)，y=6，求當(dāng)x=4時(shí)y的值。(2)已知正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像上有一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A向x軸作垂線，垂足為B，若△AOB的面積為8，求k的值。3.思考題：正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是一條直線，那么任意一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線是否都是某個(gè)正比例函數(shù)的圖像？為什么？二、習(xí)題解析（一）基礎(chǔ)鞏固1.判斷下列函數(shù)是否為正比例函數(shù)，若是，請(qǐng)指出其比例系數(shù)k。(1)y=0.8x(2)y=5/x(3)y=x2+1(4)y=-(√3)x(5)y=0解析：(1)是正比例函數(shù)，比例系數(shù)k=0.8。符合y=kx(k≠0)的形式。(2)不是正比例函數(shù)。其形式為y=5/x，是反比例函數(shù)，不符合y=kx的形式。(3)不是正比例函數(shù)。含有x的二次項(xiàng)，不符合y=kx的形式。(4)是正比例函數(shù)，比例系數(shù)k=-√3。符合y=kx(k≠0)的形式。(5)不是正比例函數(shù)。當(dāng)k=0時(shí)，y=0，此時(shí)函數(shù)圖像為x軸，不符合k≠0的條件。2.已知正比例函數(shù)y=(m+2)x，若y隨x的增大而減小，求m的取值范圍。解析：正比例函數(shù)y=kx(k≠0)，當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。依題意，得m+2<0解得m<-2所以，m的取值范圍是m<-2。3.若正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,3)，求這個(gè)函數(shù)的解析式，并判斷點(diǎn)(2,-6)是否在該函數(shù)的圖像上。解析：(1)因?yàn)檎壤瘮?shù)y=kx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,3)，所以將x=-1,y=3代入y=kx，得3=k*(-1)解得k=-3所以，這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為y=-3x。(2)判斷點(diǎn)(2,-6)是否在該函數(shù)圖像上，只需將x=2代入解析式，看得到的y值是否為-6。當(dāng)x=2時(shí)，y=-3*2=-6，與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等。所以，點(diǎn)(2,-6)在該函數(shù)的圖像上。4.已知正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的正比例函數(shù)解析式。解析：正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限時(shí)，k>0。因此，只要寫出一個(gè)比例系數(shù)k為正數(shù)的正比例函數(shù)即可。例如：y=2x(答案不唯一，k>0即可)。（二）能力提升5.在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=k?x與y=k?x的圖像如圖所示（假設(shè)圖中一條經(jīng)過(guò)第一、三象限且較陡，另一條經(jīng)過(guò)第二、四象限），則k?、k?的大小關(guān)系是（）A.k?>k?>0B.k?>k?>0C.k?>0>k?D.k?>0>k?解析：圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限的正比例函數(shù)，其比例系數(shù)k>0；圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限的正比例函數(shù)，其比例系數(shù)k<0。由圖可知，一條經(jīng)過(guò)第一、三象限（設(shè)為y=k?x），則k?>0；另一條經(jīng)過(guò)第二、四象限（設(shè)為y=k?x），則k?<0。因此，k?>0>k?，答案選C。（注：題目中提到“較陡”，是指|k|較大，但在此題選項(xiàng)設(shè)置下，無(wú)需考慮|k|大小即可選出正確答案。若有涉及|k|比較的選項(xiàng)，則需進(jìn)一步判斷。）6.已知y與x成正比例，當(dāng)x=3時(shí)，y=-9。(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。(2)當(dāng)y=12時(shí)，求x的值。(3)當(dāng)x為何值時(shí)，y=x？解析：(1)因?yàn)閥與x成正比例，所以可設(shè)y=kx(k≠0)。將x=3,y=-9代入，得-9=3k，解得k=-3。所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-3x。(2)當(dāng)y=12時(shí)，代入y=-3x，得12=-3x，解得x=-4。(3)當(dāng)y=x時(shí)，即x=-3x，移項(xiàng)得x+3x=0，4x=0，解得x=0。所以，當(dāng)x=0時(shí)，y=x。7.一輛汽車以恒定的速度在高速公路上行駛，行駛路程s（千米）與行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示（圖像是一條過(guò)原點(diǎn)的直線）。(1)求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式。(2)若這輛汽車行駛了2.5小時(shí)，它行駛了多少千米？(3)若A地到B地的距離為360千米，這輛汽車從A地到B地需要多少小時(shí)？解析：(1)由題意知，s與t成正比例關(guān)系（速度恒定），故設(shè)s=kt(k≠0)。觀察圖像（假設(shè)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,90)，具體點(diǎn)需根據(jù)實(shí)際圖像確定，此處為假設(shè)以便計(jì)算），則當(dāng)t=1時(shí)，s=90。代入s=kt，得90=k*1，解得k=90。所以，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為s=90t。（注：若圖像經(jīng)過(guò)的點(diǎn)不同，k值會(huì)不同，方法一致。）(2)當(dāng)t=2.5小時(shí)時(shí)，s=90*2.5=225（千米）。所以，行駛了225千米。(3)當(dāng)s=360千米時(shí)，代入s=90t，得360=90t，解得t=4（小時(shí)）。所以，從A地到B地需要4小時(shí)。（三）拓展探究8.已知正比例函數(shù)y=kx(k≠0)，點(diǎn)P(a,b)是其圖像上一點(diǎn)。(1)求證：b/a=k(a≠0)。(2)若點(diǎn)P到x軸的距離是到y(tǒng)軸距離的2倍，求k的值。解析：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)P(a,b)在正比例函數(shù)y=kx的圖像上，所以將x=a,y=b代入y=kx，得b=ka。因?yàn)閍≠0（若a=0，則b=0，此時(shí)b/a無(wú)意義，但題目中已隱含a≠0