晉江學(xué)校2025年秋高三年第二階段質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（滿分150分考試時間：150分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.12.設(shè)集合，，若，則（）A.2 B.1 C.0 D.3.若，求（）A. B. C. D.4.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（）A. B.0 C.1 D.25.（）A. B. C.2 D.46.已知正三棱臺的高為4，的內(nèi)切圓和的外接圓的半徑均為1，則該正三棱臺的體積為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的漸近線上，與x軸垂直，點Q在x軸上，，若，則C的離心率為（）A. B. C.2 D.8.已知函數(shù)，有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上的取值范圍為10.設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，的前n項積為，若，，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.C. D.的最大值為11.已知正方體的棱長為2，點是的中點，點滿足（，），點F在AP上，，則下列說法正確的是（）A.若，，則平面B.若，則C.若，則二面角的正弦值為D.若，則三棱錐的體積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，則______．13.寫出一個與直線和x軸都相切且半徑為1的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程______．14.在平面四邊形ABCD中，，，，，則______；若點E是CD的中點，則當(dāng)BE取得最大值時，四邊形ABCD的面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.（本小題13分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為．（1）求；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．16.（本小題15分）如圖1，在矩形ABCD中，，，點分別在邊AD，BC上，且．將四邊形EFCD沿EF翻折至四邊形EFPQ，使得，如圖2所示．（1）證明：平面EFPQ；（2）求直線QB與平面PBF所成角的正弦值．17.（本小題15分）已知點為橢圓的上、下頂點，點，，其中，且，直線與交于點．（1）證明：點P在C上；（2）若直線交于兩點，且，求．18.（本小題17分）隨機(jī)數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)加密、安全通信、金融等領(lǐng)域．計算機(jī)中的隨機(jī)數(shù)是由算法產(chǎn)生的，其“隨機(jī)性”的優(yōu)劣取決于所采用的算法．某工廠計劃生產(chǎn)一種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，這種發(fā)生器的顯示屏能顯示1，2，3，4中的一個數(shù)字，每按一次數(shù)字更新按鈕后，顯示屏上的數(shù)字將等可能地更新為另三個數(shù)字中的一個，在生產(chǎn)階段，采用兩種不同算法，生產(chǎn)出相應(yīng)算法的甲、乙兩種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器．為評估兩種算法的優(yōu)劣，從這兩種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗，得到數(shù)據(jù)餅圖如下：（1）已知這150件發(fā)生器中，乙種發(fā)生器的三級品為2件．在答題卡中填寫列聯(lián)表：依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為甲、乙兩種發(fā)生器的一級品率存在差異？一級品非一級品合計甲乙合計（2）若發(fā)生器顯示屏的初始顯示數(shù)字為1，記按次數(shù)字更新按鈕后得到的數(shù)字為，．（?。┣螅?；（ⅱ）檢測一個發(fā)生器是否為一級品的方案為：每件被測發(fā)生器需進(jìn)行100輪測試，每輪測試共按10次數(shù)字更新按鈕：f表示100輪測試得到“”的頻率，規(guī)定滿足的被測發(fā)生器為一級品，若某件發(fā)生器經(jīng)100輪測試后得到，能否判斷該發(fā)生器為一級品？附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（本小題17分）將數(shù)組的某一個全排列記為，若滿足：，能被3整除，則稱為的一個“好排列”．例如：的“好排列”共有兩個：，．（1）寫出的所有“好排列”；（2）若中“好排列”至少有4個，求n的取值范圍；（3）記的“好排列”個數(shù)為，證明：．

晉江學(xué)校2025年秋高三年第二階段質(zhì)量監(jiān)測答案1.C【解析】解：由，，且，得，即，得．2.D【解析】解：由題意可得，解得或2．①當(dāng)時，，．滿足；②當(dāng)時，，，不滿足，舍去．3.A【解析】解：，．4.B【解析】解：∵函數(shù)為奇函數(shù)，，即．令，得，又已知，．5.D【解析】解：．6.A【解析】解：正三棱臺的上下底面均為等邊三角形，設(shè)邊長為，．由的內(nèi)切圓的半徑為1，可得，解得，故，由的外接圓的半徑為1，得，解得，故，又正三棱臺的高為4，故正三棱臺體積為：．7.B【解析】解：雙曲線的左、右焦點分別為，點在的漸近線上．與軸垂直．點在軸上，，，如圖，設(shè)點在第一象限．與x軸垂直，，且，．點坐標(biāo)為．．雙曲線的離心率為．8.A【解析】解：函數(shù)，有三個零點，可轉(zhuǎn)化為與直線有三個不同的交點．顯然時不滿足條件；當(dāng)時，若，設(shè)切點坐標(biāo)為，切線方程為：，切線過原點時解得，此時切線的斜率為．故當(dāng)時，，直線與有兩個交點；當(dāng)時，直線與有一個交點．9.AD【解析】解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．對于A，由題意可得，所以的最小正周期為，故A正確；對于B，，，所以，故B錯誤；對于C，，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，，則，則，所以在區(qū)間上的取值范圍為，故D正確．10.ACD【解析】解：設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，的前n項積為，，．對于A，設(shè)公比為，，．，由為常數(shù)，故A正確．對于B，，，解得或（舍），，故B錯誤．對于C，，故C正確．對于D，，，其圖象對稱軸為，，或時，的最大值為，故D正確．11.BCD【解析】解：以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角系，則，，，，，，所以，，．則，對于A，若，，．設(shè)平面的法向量為，則由，．所以，，則．令，得，，所以，因為，所以AP與平面不平行，故A錯誤；對于B，因為，，所以，所以，故B正確；對于C，若，，設(shè)，，由，得，得，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，令，得，故，因為平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，故C正確；對于D，若，則，，，由，得，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因為平面的一個法向量為，所以點到平面的距離，所以，故D正確．12.【解析】解：，．13.，或，或，或．（答案不唯一）【解析】解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意有，圓心到直線的距離為，當(dāng)時，或；當(dāng)時，或，所以滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，或，或，或．故答案為：，或，或，或．（答案不唯一）．利用待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求出滿足條件的即可．本題主要考查圓的方程求解，考查計算能力，屬于中檔題．14.【答案】10，52【解析】在中，由余弦定理得，即，整理得，結(jié)合，解得．取中點，連接、，根據(jù)，是的中位線，可得，，在中，，，可得，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，所以當(dāng)取得最大值時，，即，可得，所以四邊形的面積．故答案為：10；52．15.【答案】解：（1），所以，又，所以在點處的切線方程為，即．當(dāng)時，；當(dāng)時，．因為與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為且，所以，所以．（2）由（1）得，．由得或．當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；因為，，，，且，所以在上的最大值為，最小值為．16.【答案】解：（1）證明：，，，，，，，，，又，平面，，平面EFPQ，（2）連結(jié)．，，，，過點作，則，又平面，則，，，以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，則，即，取，可得，設(shè)直線QB與平面PBF所成的角為，則．故直線QB與平面PBF所成角的正弦值為．17.（1）證明：解法一：由題可知，，（?。┤?，則，經(jīng)檢查符合橢圓的方程，所以點在上．（ⅱ）若，則直線的方程為，直線的方程為（*），由消去，得，代入（*）式得，所以．因為，符合橢圓的方程，所以點在上．解法二：由題可知，，（ⅰ）若，則，，此時，經(jīng)檢查符合橢圓的方程，所以點在上．（ⅱ）若，則直線的方程為，直線的方程為，由可得①②，消去，得，即，所以點P在C上．（2）解：解法一：因為直線的斜率，所以直線的方程為，即．由方程組消去，得．由得，解得．設(shè)，，則，．則，，所以．又，所以，解得，或者．由，又，所以，或者．解法二：由于直線的斜率，設(shè)直線的方程為（為參數(shù)），代入橢圓方程，得，即，由，，得，解得，或者．由，又，所以，所以，或者．18.【答案】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：一級品非一級品合計甲262450乙7030100合計9654150零假設(shè)為：甲、乙兩批發(fā)生器的一級品率沒有差異．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以可以認(rèn)為甲、乙兩批發(fā)生器的一級品率存在差異，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．（2）（?。┮李}意可得．記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，由全概率公式，得．（ⅱ）由全概率公式，得，所以，即，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即．所以．因為，所以該發(fā)生器為一級品．19.【答案】解：（1）將數(shù)組的某一個全排列記為，若滿足：，能被3整除，則稱為的一個“好排列”，的“好排列”共有兩個：，，的所有“好排列”為：，，，的所有“好排列”有：，，，（2）當(dāng)時，只有2個，不符合要求；當(dāng)時，由（1）可知，只有3個“好排列”，不符合要求；當(dāng)時，的“好排列”有：，，，，至少有4個，符合要求；當(dāng)時，的“好排列”至少有，，，，至少4個，符合要求；∴當(dāng)時，中“好排列”至少有4個．，，中“好排列”至少有4個時，正整數(shù)的取值范圍為．（3）證明：的“好排列”個數(shù)為，（?。┛紤]中“好排列”個數(shù)：是的一個排列，考慮除以3的余數(shù)，共有個1，個2，個0，考慮由余數(shù)形成的排列，其中為個1，個2，個0的全排列，滿足“好排列”的條件要求，排列中每個1的右邊必為2，∴“好排列”的最后一個數(shù)為1，形如，其中的排法數(shù)即為個0與個的排法