廣東省廣州第四中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式可化簡(jiǎn)集合A，B，據(jù)此可得答案.【詳解】或，.則或，，，或.故選：A2.樣本數(shù)據(jù)：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位數(shù)為（）A.6 B.6.5 C.7 D.7.5【答案】C【解析】【分析】首先明確上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)的求法求解即可.【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)共有10個(gè)，上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)，由，該樣本數(shù)據(jù)是從小到大排列的，故樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)據(jù)7.故選：C3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)運(yùn)算的周期性和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算直接化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】，.

故選：A.4.正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（）A6 B.9 C.8 D.11【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列求和公式求得，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則即，解得：，又，解得，則，故選：B5.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】由可得，根據(jù)基本不等式可得，再由的單調(diào)性計(jì)算即可求解.【詳解】已知函數(shù)，則函數(shù)定義域?yàn)椋?，則，由于，設(shè)，則，即，，而，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以取最小值時(shí)，有最小值，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以故選：B6.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.“”的必要條件是“”B.“”的必要條件是“”C.“”的充分條件是“”D.“”的充分條件是“”【答案】D【解析】【分析】通過(guò)集合間關(guān)系與充分必要條件的聯(lián)系判斷選項(xiàng)A、B；通過(guò)充分條件的定義判斷C、D.【詳解】若，則，解得或，若，則，解得，對(duì)于A：因?yàn)?，所以“”是“”的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以“”是“”的充分不必要條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，所以，所以與不垂直，即“”不是“”的充分條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，即“”是“”的充分條件，D正確；故選：D.7.若圓上到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則半徑的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定圓心到直線的距離，再由題意得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】由圓，圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，所以，解得，即r的取值范圍是．故選：C．8.已知函數(shù)，將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若，總存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)圖象平移及伸縮變換得到，由，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得：，當(dāng)，可得，則，因?yàn)榇嬖谖ㄒ粚?shí)數(shù)，使得，即是的子集，且唯一，由圖像可知，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B二、多選題9.下列說(shuō)法中正確的有（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差，則所有的都相等B.在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)均勻分布在橫軸兩側(cè)，且分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好C.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和D.樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)方差的公式即可判斷選項(xiàng)A，結(jié)合殘差分析法判斷回歸模型的擬合效果，即可判斷選項(xiàng)B，結(jié)合非線性回歸方程和線性方程的表達(dá)式，即可判斷選項(xiàng)C，利用平均數(shù)的公式求法即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，令數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則由，可得，所以，所以，即所有的都相等，A正確；對(duì)于B，在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)均勻分布在橫軸兩側(cè)，且分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明選用的模型擬合精度越高，表示回歸效果越好，B正確；對(duì)于C，，左右兩邊取對(duì)數(shù)得，設(shè)，求得線性回歸方程為，則，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則對(duì)于樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，故D正確.故選：ABD10.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（）A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為6C.以線段為直徑的圓與軸相切D.以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑的圓與準(zhǔn)線相切【答案】CD【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷B，由拋物線的定義計(jì)算圓心到直線的距離等于半徑可判斷C和D.【詳解】對(duì)于A，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可得，可得，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因的中點(diǎn)為

該點(diǎn)到軸的距離為，故以線段為直徑的圓與軸相切，故C正確．對(duì)于D，因，故以為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑的圓與準(zhǔn)線相切，即D正確．故選：CD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面的邊界及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B.點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)作正方體的截面，則截面周長(zhǎng)為C.與交于，則四面體的外接球的表面積為D.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體體積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直性質(zhì)和勾股定理可分別證得，，根據(jù)線面垂直的判定可知A正確；作出截面圖形后，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可求得B錯(cuò)誤；根據(jù)外接球的性質(zhì)可確定球心位于過(guò)點(diǎn)且平行于的直線上，利用可構(gòu)造方程組求得，代入球的表面積公式可知C正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得點(diǎn)到平面距離的最大值，結(jié)合三棱錐體積公式可求得D正確.【詳解】對(duì)于A，由題意知：，平面，平面，，，，平面，平面，又平面，；，，，，；，平面，平面，A正確；對(duì)于B，連接，分別為中點(diǎn)，，又，，四點(diǎn)共面，則過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面為梯形，，，，梯形的周長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，過(guò)作的平行線平面，為的外接圓圓心，四面體的外接球球心在過(guò)點(diǎn)的的平行線上，作，垂足為，設(shè)，則，設(shè)四面體的外接球半徑為，由得：，解得：，即四面體的外接球球心即為點(diǎn)，半徑，四面體外接球表面積，C正確；對(duì)于D，，，，，；若三棱錐體積最大，則點(diǎn)到平面的距離最大，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，則點(diǎn)到平面的距離，，當(dāng)時(shí)，，四面體體積的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題12.已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為_____.【答案】【解析】【分析】取正棱臺(tái)過(guò)側(cè)棱且過(guò)上下底面中心的截面，利用勾股定理得到高，然后求體積即可.【詳解】如圖，取正四棱臺(tái)過(guò)側(cè)棱且過(guò)上下底面中心截面，為側(cè)棱，，則，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L(zhǎng)分別為2和4，所以，，，所以，即棱臺(tái)的高為，棱臺(tái)的體積=.故答案為：.13.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第二象限），為的中點(diǎn)，直線為雙曲線的一條漸近線，且，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，連接，由題及雙曲線對(duì)稱性，雙曲線定義可得.設(shè)，由直線為雙曲線漸近線可得，據(jù)此可得，將B坐標(biāo)代入經(jīng)化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)，連接，由題可得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，則，由雙曲線定義.因?yàn)橹悬c(diǎn)，O為中點(diǎn)，則.設(shè)，因直線為雙曲線漸近線，則，則，從而.又，為中點(diǎn)，則，將B坐標(biāo)代入，可得.則，則.故答案為：14.已知函數(shù)，，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，則___若，對(duì)于任意都成立，則的最大值為_____.【答案】①.0②.e【解析】【分析】運(yùn)用兩切線斜率相等列式及對(duì)數(shù)運(yùn)算公式可求得第一空的結(jié)果；同構(gòu)函數(shù)，研究其單調(diào)性將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再由求導(dǎo)得出函數(shù)在上的最小值即可.詳解】由得，由得，依題意得，即，所以，則；又，即時(shí)，對(duì)于任意都成立，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，由函?shù)的單調(diào)性，可得對(duì)于任意恒成立，又因?yàn)椋礊樵谏虾愠闪?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最大值為，故答案為：.四、解答題15.已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)（1）求的解析式及最小正周期（2）三角形中，角所對(duì)的邊分別為，為的角平分線，，.若，求的面積【答案】（1），最小正周期為（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算、二倍角公式和輔助角公式可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期求法可求得結(jié)果；（2）由，結(jié)合的范圍可求得或；當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦定理和勾股定理可證得，根據(jù)角度關(guān)系可求得，進(jìn)而求得；當(dāng)時(shí)，根據(jù)正弦定理可求得，結(jié)合兩角和差正弦公式和三角形面積公式可求得.【小問(wèn)1詳解】，，，則的最小正周期.【小問(wèn)2詳解】，，，，則或，或；當(dāng)時(shí)，，，，，，，又為的角平分線，，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，為的角平分線，，在中，由正弦定理得：，，在中，由正弦定理得：，，.綜上所述：的面積為或.16.如圖，在四棱錐中，平面，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若.①求平面與平面夾角的正弦值；②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為1？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析（2）①②存在，【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)線線平行證明線面平行；（2）①建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求正弦值；②設(shè)，利用向量法表示點(diǎn)到平面的距離，列方程，解方程即可.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，且，又，，，且，四邊形為平行四邊形，即，平面，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】①平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向?yàn)檩S，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得，，，，，，，，，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，平面與平面所成角的正弦值為；②存在點(diǎn)滿足題意，易知，，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以點(diǎn)到平面的距離，化簡(jiǎn)可得，解得或（舍去），即.17.人工智能，是引領(lǐng)新一輪科技革命與產(chǎn)業(yè)變革的戰(zhàn)略技術(shù)，其研發(fā)過(guò)程融合了算法創(chuàng)新與工程實(shí)踐的深度智慧.某科技公司計(jì)劃開發(fā)三款不同的大語(yǔ)言模型.每款模型的研發(fā)分為兩個(gè)主要階段：算法設(shè)計(jì)評(píng)審和工程部署驗(yàn)收.只有算法設(shè)計(jì)評(píng)審?fù)ㄟ^(guò)后，才能進(jìn)入工程部署驗(yàn)收，兩個(gè)階段相互獨(dú)立.只有同時(shí)通過(guò)這兩個(gè)階段，模型才能正式上線發(fā)布.已知三款模型通過(guò)算法設(shè)計(jì)評(píng)審的概率依次為，通過(guò)工程部署驗(yàn)收的概率依次為.（1）求三款中恰有兩款通過(guò)算法設(shè)計(jì)評(píng)審的概率；（2）若已知三款中恰有一款通過(guò)算法設(shè)計(jì)評(píng)審，求通過(guò)的模型為的概率；（3）經(jīng)過(guò)算法設(shè)計(jì)評(píng)審和工程部署驗(yàn)收兩個(gè)階段后，三款模型能成功上線的數(shù)量為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)出事件，利用獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式進(jìn)行求解；（2）由條件概率求解公式可得；（3）先求出A，B，C三款模型能成功上線的概率，求出的可能取值及對(duì)應(yīng)概率，得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)A，B，C三款模型通過(guò)算法設(shè)計(jì)評(píng)審為事件，A，B，C三款中恰有兩款通過(guò)算法設(shè)計(jì)評(píng)審為事件，則；【小問(wèn)2詳解】設(shè)A，B，C三款中恰有一款通過(guò)算法設(shè)計(jì)評(píng)審為事件，則；由條件概率公式可得；【小問(wèn)3詳解】設(shè)A，B，C三款模型能成功上線為事件，則，，，的可能取值為，則，，，，所以X的分布列如下：0123數(shù)學(xué)期望為.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）證明：對(duì)任意的；（3）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，證明：方程無(wú)實(shí)數(shù)根.【答案】（1）極大值，無(wú)極小值；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.（2）等價(jià)變形給定不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可推理得證.（3）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)有唯一零點(diǎn)的條件求出的大致范圍，再利用一元二次方程判別式推理得證.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，無(wú)極小值.【小問(wèn)2詳解】不等式，令函數(shù)，依題意，，求導(dǎo)得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以對(duì)任意的.【小問(wèn)3詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由，即，得，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)在處取得最大值，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，得，即，消去得，令函數(shù)，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，則，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，方程中，，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根.19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，；數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）將數(shù)列和數(shù)列各取前項(xiàng)，按從小到大排成一個(gè)新的數(shù)列，其中重復(fù)的數(shù)按照出現(xiàn)的個(gè)數(shù)重復(fù)排列，求的前