定安中學(xué)2026屆高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的運(yùn)算規(guī)律即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，，故選：.2.若復(fù)數(shù)滿足：，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由，則.故選：B3.，點(diǎn)P在邊AB上，，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用向量的四邊形法則計(jì)算即可.【詳解】依題意，.答案：B.4.已知等差數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以.故選：.5.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可求答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，由正弦定理可得，即，因?yàn)辄c(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，所以.故選：C6.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：C.7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用奇偶性可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，排除CD；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸的上方，顯然A不滿足，B滿足.故選：B8.已知正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4和16，側(cè)棱長為，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C.56 D.【答案】A【解析】【分析】作出輔助線，求出棱臺(tái)的高，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】如圖所示的正四棱臺(tái),連接,作平面，由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可知在上.因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面面積分別為4和16，所以正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和4，所以.易知四邊形為等腰梯形，所以，由勾股定理得，所以四棱臺(tái)的體積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，，則（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示判斷A、B、C，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算判斷D；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，，所以，，則，，故A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；在方向上的投影向量為，故D正確；故選：AD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到【答案】ABD【解析】【分析】由圖象可求得，即可判斷A；再由函數(shù)過點(diǎn)，可求得，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B，C；利用誘導(dǎo)公式得，根據(jù)圖象的平移法則可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故A正確；而，則，又因?yàn)檫^點(diǎn)，則，即，所以，對(duì)于B，因?yàn)?，所以是函?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于C，，所以直線不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以函數(shù)圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，故D正確．故選：ABD．11.如圖，正方體的棱長為1，且分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面B.⊥C.三棱錐的體積為D.點(diǎn)A到平面的距離為【答案】AB【解析】【分析】ABD選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量判斷線線，線面位置關(guān)系，點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，由比例關(guān)系得到.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，A選項(xiàng)，，平面的一個(gè)法向量為，則，故，故平面，A正確；B選項(xiàng)，，故，故⊥，B正確；C選項(xiàng)，由于分別為的中點(diǎn)，其中，所以，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，故，令，則，故，則點(diǎn)A到平面的距離為，D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.角的終邊過點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義和兩角和的正切公式求解.【詳解】的終邊過點(diǎn)，，.故答案為：.13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】【分析】由基本量表示已知解出，再根據(jù)通項(xiàng)公式求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知可得，解得，所以，故答案為：.14.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，且AP⊥平面ABC，，.若點(diǎn)到底面的距離為1，則球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的判定定理來確定線面垂直關(guān)系，再利用長方體的體對(duì)角線與外接球直徑的關(guān)系求出球的直徑，進(jìn)而求出球的半徑和表面積.【詳解】因?yàn)榈酌妫尹c(diǎn)到底面的距離為1．所以．因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，故，，即該球的直徑為所以球的半徑為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列和通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等差、等比數(shù)列基本量表示已知條件求出，得到通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則，且，即，解得，所以；【小問2詳解】由（1），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，已知，且（1）求；（2）若的面積為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求出，即可得解；（2）根據(jù)三角形的面積公式求出，再利用正弦定理求出，再根據(jù)正弦定理即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所以；【小?詳解】，由，得，由正弦定理，得，則，解得，所以.17.如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由等邊三角形三線合一得到，在直角梯形中通過已知邊和角求得長，由勾股定理得到長，再由勾股定理逆定理得到，結(jié)合面面垂直，得到平面，然后得到，然后得證平面；（2）由（1）得到三條兩兩垂直的直線，以這三條線建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)和向量坐標(biāo)，從而求得平面的法向量的坐標(biāo)，由軸⊥平面直接寫出平面法向量，由空間向量的關(guān)系求得面面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．過作，垂足為，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?，，，，所以，則，由得，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，平面，所以平面．【小?詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，過且平行于直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．18.設(shè)向量，函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值與最小正周期；（2）求使不等式成立的x的取值集合及函數(shù)的對(duì)稱中心.【答案】（1），（2）；【解析】【分析】（1）將利用數(shù)量積和三角函數(shù)的公式整理為，利用正弦函數(shù)的圖像求出的最大值和最小正周期.（2）由（1）知，由和得到，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求出此不等式的解就是的解，令從中解出，即可得到的對(duì)稱中心.【小問1詳解】由題意知，，即，當(dāng)，即時(shí)，，故的最大值為，最小正周期.【小問2詳解】由（1）知，，，，即，，解得，即成立的取值集合是.令，則，的對(duì)稱中心.19.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線．求；（2）若且函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求解即可；（2）化簡(jiǎn)得，根據(jù)和分類討論單調(diào)性，時(shí)，在上單調(diào)的遞增，不存在極值；時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可求解；（3）參變分離得，設(shè)，則，同構(gòu)后換元，利用導(dǎo)數(shù)法求得的最小值為0，即可求解，【小問1詳解】由題意，得，則，由題意，解得；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)的遞增，所以函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，令即，得，令，則恒成立，則在上單調(diào)的遞增，又，，所以存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以僅在處取到極小值，符合題意.綜上，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】由，參變分離得，設(shè)，則，因?yàn)椋?，令，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即的最小值為0，即，所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)