（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第Ⅰ部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，且，則等于（）A.－3或－1 B.-3 C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列式求解，再代入檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)榧希?，則或，所以或；當(dāng)時(shí)，不合題意舍；當(dāng)時(shí)，符合題意；故選：B.2.設(shè)，則“”是的（）條件.A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】首先求得的充要條件，然后即可判斷.【詳解】由題意或，而若，則有，所以肯定有或，取，即滿足或，但是不滿足，所以“”是的充分而不必要條件.故選：A.3.已知集合，，若為的真子集，則m的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分集合是否是空集進(jìn)行討論即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足為的真子集，此時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，則或，解得.綜上，，即m的取值范圍是.故選：C.4.已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.【詳解】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值9．故選：D.5.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先求得函數(shù)的定義域?yàn)?，然后結(jié)合抽象函數(shù)定義域與求解即可；【詳解】由題意可知，所以，要使函數(shù)有意義，則解得.故選：D6.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，參賽的各國運(yùn)動(dòng)員在比賽、訓(xùn)練之余，都愛逛逛杭州亞運(yùn)會(huì)特許商品零售店，開啟“買買買”模式.某商店售賣的一種亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念章，每枚的最低售價(jià)為15元，若每枚按最低售價(jià)銷售，每天能賣出45枚，每枚售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少3枚，為了使這批紀(jì)念章每天獲得600元以上的銷售收入，則這批紀(jì)念章的銷售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中條件列出不等式，解出即可.【詳解】由題意，得，即，∴，解得.又每枚的最低售價(jià)為15元，∴.故選：B.7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A.2 B. C.1 D.-1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出當(dāng)時(shí)的解析式，再求出及目標(biāo)值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，，因此當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)是上的奇函數(shù)，，得，則，解得，所以.故選：C8.定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過已知，求出函數(shù)在上的解析式，然后畫出圖像，將函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，觀察圖像可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則.因?yàn)闀r(shí)，，所以.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最大值為時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于直線與函數(shù)在上的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合的圖象（如圖），直線與函數(shù)在上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn).故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，其中將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題你二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）A.命題“”的否定是“”B.“至少有一個(gè)，使成立”是全稱量詞命題C.“”是真命題D.“”的否定是真命題【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定判斷A，根據(jù)全稱命題及特稱命題定義判斷B，根據(jù)全稱命題及特稱命題的真假判斷C，D.【詳解】命題“”的否定是“”，A選項(xiàng)正確；“至少有一個(gè)，使成立”是特稱量詞命題，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以“”是假命題，命題的否定是真命題，D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)可判斷A；，利用“乘1法”可判斷B；根據(jù)可判斷C；可化為，利用基本不等式可判斷D.【詳解】∴，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，解得錯(cuò)誤；，由題意知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選:ABD.11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.在上為減函數(shù)C.為奇函數(shù) D.方程有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知得到、，進(jìn)而有，再利用對(duì)稱性、周期性判斷A、B、C，結(jié)合區(qū)間解析式及對(duì)稱性和周期性化為函數(shù)與的大致圖象，數(shù)形結(jié)合確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D.【詳解】由，則函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，得，由，則函數(shù)為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱，得，兩式相加可得，則，即，A，，故A正確；B，由周期性知，函數(shù)在區(qū)間與上圖象相同，由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則函數(shù)在區(qū)間與上的單調(diào)性相同，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；C，由，則函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；D，由題意，作圖如下：則函數(shù)與有且僅有個(gè)交點(diǎn)，所以有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：ACD第Ⅱ部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解.【詳解】依題意，，故.故答案為：.13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于，正數(shù)都滿足：．則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】先求出定義域，再把恒成立轉(zhuǎn)化為最值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出最大值，最后應(yīng)用一元二次不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于，正數(shù)都滿足：．所以．因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是或，又，所以.故答案為：.14.定義，函數(shù)，若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知得，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)值域端點(diǎn)值求出對(duì)應(yīng)的自變量，討論確定的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，由題意可得當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，作出的圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，，令，解得，令，無解，當(dāng)時(shí)，，令，解得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，令，解得，令，解得，由圖知：當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)椋藭r(shí)的最大值為；當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)?，此時(shí)，因?yàn)?，所以最大值?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根據(jù)集合并集運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）由題可知，列出不等式進(jìn)行計(jì)算即可．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，或；∵，∴或；【小問2詳解】∵“”是“”的充分條件，∴，∵，即，∴或，∴或，而，要使得，需有或，∴或．16.已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．（1）求冪函數(shù)的表達(dá)式；（2）令，求滿足不等式的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)得到，再驗(yàn)證其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱進(jìn)行求值；（2）利用（1）中得出函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得，又因，所以或或，當(dāng)或時(shí)，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意；綜上所述，【小問2詳解】由（1）得為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則由得，即，所以滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.某企業(yè)擁有一臺(tái)大功率的耗電設(shè)備，每天至少運(yùn)行1小時(shí)，但不超過20小時(shí)．假設(shè)該設(shè)備每天運(yùn)行小時(shí)，且每小時(shí)的平均耗電量千瓦與每天的運(yùn)行時(shí)間滿足如下函數(shù)關(guān)系：（1）當(dāng)時(shí)，若該設(shè)備每小時(shí)的平均耗電量不超過2千瓦，求的取值范圍；（2）求該設(shè)備一天的耗電總量的最小值及設(shè)備當(dāng)天的運(yùn)行時(shí)間．【答案】（1）（2）耗電總量最小值為8千瓦，設(shè)備當(dāng)天運(yùn)行6小時(shí)【解析】【分析】（1）由題意列不等式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可.（2）當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求解最小值，當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最小值，然后比較即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，由題意得，，即，解得，又，所以的取值范圍為．【小問2詳解】由題意得，設(shè)設(shè)備一天的耗電總量為，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取得最小值15；因?yàn)?，所以最小值為．答：設(shè)備一天的耗電總量最小值為8千瓦，設(shè)備當(dāng)天運(yùn)行6小時(shí)．18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的零點(diǎn)；（3）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)，對(duì)數(shù)運(yùn)算求解；（3）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解值域；【小問1詳解】由題意知，代入得；解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，故為奇函數(shù).【小問2詳解】，令得：，綜上的零點(diǎn)為.【小問3詳解】,設(shè)，，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，對(duì)稱軸，圖象開口向上，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，綜上函數(shù)值域?yàn)?19.定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)于，，成立；當(dāng)時(shí)，恒成立.（1）求的值；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式.【答案】（1）（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）令可得；（2）令結(jié)合已知等量關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義即可確定的奇偶性；任取且，結(jié)合已知條件，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可確定的單調(diào)性；（3）由題設(shè)，將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得，再討論的大小關(guān)系，即可求解集.【小問1詳解】令，則,可得；【小問2詳解】在上單調(diào)遞減，證明如下：由已知，對(duì)于有成立，，令，則，所以，對(duì)有，故是奇函數(shù)，任取且，則，由已知有，又，得所以在上是減函數(shù)；【小問3詳解】因?yàn)?，所以，即，?/p>