第04講隨機變量的數(shù)字特征內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材·學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型·強知識：核心題型舉一反三精準練【題型01離散型隨機變量的均值（期望）】【題型02離散型隨機變量的方差與標準差】【題型03均值、方差性質(zhì)的應(yīng)用】【題型04方差的期望表示】【題型05兩點分布的均值與方差】【題型06二項分布的均值與方差】【題型07超幾何分布的均值與方差】【題型08利用均值與方差進行決策】第二步：記串知識·識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測·穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點1：離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：X……P……（1）稱為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．（2）稱為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機變量X的標準差．方差的變形：知識點2：均值與方差的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量，則知識點3：特殊分布的均值與方差（1）兩點分布若,則;（2）二項分布若,則;（3）超幾何分布若離散型隨機變量x服從超幾何分布，則有若，則【題型01離散型隨機變量的均值（期望）】1．已知隨機變量X的分布列如表所示（其中）：X012P則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望等于（

）A． B． C． D．2．設(shè)隨機變量的分布列如表所示，且，則（

）0123P0.1ab0.1A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.43．已知隨機變量X的分布列如下圖，若，則.x235Pab4．一個將輸入計算機的正整數(shù)“歸零”的程序執(zhí)行規(guī)則如下：按回車鍵，計算機等可能地用中的任意一個整數(shù)替換的值并輸出替換后的值，重復(fù)以上操作，直到輸出0后終止操作.若輸入的初始值為3，終止操作時按回車鍵的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（

）A． B． C． D．5．定義：表示三個數(shù)中最大的數(shù).將個蘋果分配給個孩子，每個孩子至少分得一個蘋果，記三個孩子分得的蘋果數(shù)分別為，從所有可能的分配方案中隨機選擇一種，記，則的數(shù)學(xué)期望.6．某企業(yè)招聘方式分筆試、面試兩個環(huán)節(jié)進行，先進行筆試，筆試合格后才能參加面試，面試合格后便正式錄取，且這兩個環(huán)節(jié)能否通過相互獨立．現(xiàn)有甲、乙、丙三名大學(xué)生參加了該企業(yè)的招聘，假設(shè)甲通過筆試、面試的概率分別為，；乙、丙通過筆試的概率均為，通過面試的概率均為．(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被該企業(yè)正式錄取的概率；(2)為鼓勵優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作，該企業(yè)決定給報名參加應(yīng)聘的大學(xué)生一定的補貼，補貼標準如下表：參與環(huán)節(jié)筆試面試補貼（元）100150記甲、乙、丙三人獲得的所有補貼之和為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【題型02離散型隨機變量的方差與標準差】7．已知隨機變量的分布列為12450.20.350.3由表可得.8．隨機變量的分布列如表所示，且，則．a(chǎn)03Pb9．袋中有2個白球，3個紅球，從中隨機連續(xù)抽取4次，每次取一個球.若每次抽取后都不放回，設(shè)取到紅球的個數(shù)為X，則X的方差為（

）A． B． C． D．10．已知條試題中有條選擇題，甲無放回地依次從中抽取條題，乙有放回地依次從中抽取條題，甲?乙每次均抽取一條試題，抽出的條題中選擇題的條數(shù)分別為，的期望分別為，方差分別為，則（

）A．B．C．D．11．設(shè)為互不相等的正實數(shù)，隨機變量X和Y的分布列如下表．若記分別為X，Y的期望，，分別為X，Y的方差，則，．（填“>”“<”或“=”）XYP12．甲、乙兩名同學(xué)與同一臺圍棋機器人“阿爾法”進行圍棋比賽，記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得3分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分．設(shè)甲贏機器人的概率為0.5，乙贏機器人的概率為0.4．求：(1)在一輪比賽中，甲的得分X的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差．【題型03均值、方差性質(zhì)的應(yīng)用】13．已知隨機變量X滿足，，下列說法正確的是（

）A．， B．，C．， D．，14．設(shè)離散型隨機變量的分布列為012340.10.40.20.2若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．15．已知隨機變量X的分布列如下：X012Pmn若，則（

）A． B．7 C．21 D．2216．已知隨機變量的分布列如表，則.X12Pm0.50.217．已知隨機變量的分布列為，又的均值，且．18．已知盒中有個白球和個黑球，一次性不放回地任取個球，記是摸到黑球的個數(shù)，則，若變量，則．【題型04方差的期望表示】19．已知隨機變量的分布列為12450.20.350.150.3下列結(jié)論正確的是（

）（多選）A． B．C． D．20．（多選）已知離散型隨機變量X的分布列如下，則下列選項中正確的是（

）X012P0.36A． B．C． D．21．已知隨機變量的分布列如下：0120.6若，則；當時，最大．22．為了加強學(xué)生的交通安全意識，貴溪一中開展了“安全頭盔守護生命”主題教育活動.學(xué)校為此次活動準備了10道關(guān)于安全頭盔重要性?正確佩戴方法及相關(guān)法律法規(guī)的題目.在活動的知識競答環(huán)節(jié)中，會從這10道題目中隨機抽取3道讓學(xué)生回答.已知該校學(xué)生小曾同學(xué)中午與家長一同認真學(xué)習(xí)了相關(guān)知識，能夠準確回答其中的6道題目.(1)求抽到的題目中他能答對的題目數(shù)的分布列；(2)求的期望和方差.23．如圖所示，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位.設(shè)移動次后質(zhì)點位于位置.(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)求和的值.【題型05兩點分布的均值與方差】24．若隨機事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為，用隨機變量X表示A在一次試驗中發(fā)生的次數(shù)，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．325．已知某人每次投籃命中率為，投進一球得1分，投不進得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為（

）．A． B．0 C． D．126．籃球比賽中每次發(fā)球命中得1分，不中得0分.已知某運動員罰球命中率為0.7，則他一次罰球得分的期望為（

）A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.2127．（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中，EX，DX分別為隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．28．（多選）已知隨機變量服從兩點分布，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【題型06二項分布的均值與方差】29．若隨機變量，則．30．設(shè)隨機變量服從二項分布，若，則（

）A． B． C． D．31．某次期末數(shù)學(xué)考試共9道單項選擇題（每個題有4個選項），某同學(xué)全都不會做，記該同學(xué)做對的題目數(shù)為，且服從二項分布，則以下說法錯誤的是（

）A． B．C． D．32．某研究院種植了一種特殊作物，為了解該種特殊作物成熟期的高度，隨機調(diào)查了1000棵成熟期作物的高度并繪制成如下頻率分布直方圖.

(1)求的值及這1000棵成熟期作物的平均高度（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；(2)以這1000棵成熟期作物的高度的頻率估計所有該特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的該種特殊作物中隨機抽取20棵，記高度在區(qū)間內(nèi)的棵數(shù)為，求的期望和方差.33．近年來，中國機器人科技水平在政策支持、技術(shù)創(chuàng)新及市場需求的多重驅(qū)動下實現(xiàn)了顯著提升，尤其在工業(yè)機器人、服務(wù)機器人及特種機器人領(lǐng)域表現(xiàn)突出.國內(nèi)某科技公司致力于服務(wù)機器人的發(fā)展與創(chuàng)新，近期公司生產(chǎn)了甲、乙、丙三款不同的智能送餐機器人，并對這三款機器人的送餐成功率進行了測試，獲得數(shù)據(jù)如下表：甲款機器人乙款機器人丙款機器人測試次數(shù)50100100成功次數(shù)206080假設(shè)每款機器人的測試結(jié)果相互獨立，用頻率估計概率.(1)估計甲款機器人單次送餐成功的概率；(2)若讓這三款機器人分別執(zhí)行1次送餐任務(wù)，求恰好成功兩次的概率；(3)若讓這三款機器人分別執(zhí)行10次送餐任務(wù)，設(shè)成功的次數(shù)分別為，，，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.34．為了普及冬奧知識，某校組織全體學(xué)生進行了冬奧知識答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機選取了20名學(xué)生作為樣本，得到他們的成績統(tǒng)計如下表.分數(shù)段人數(shù)1228331規(guī)定60分以下為不及格，60分及以上至70分以下為及格，70分及以上至80分以下為良好，80分及以上為優(yōu)秀.(1)從這20名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，2名學(xué)生的成績恰好都是優(yōu)秀的概率是多少？(2)將上述樣本統(tǒng)計中的頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，用X表示這2名學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列、期望與方差.【題型07超幾何分布的均值與方差】35．已知隨機變量，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．536．某地7個貧困村中有3個村是深度貧困，現(xiàn)從中任意選3個村，用表示這3個村莊中深度貧困村數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．37．3名男生和3名女生中隨機選擇兩人，設(shè)選到男生的人數(shù)為，則的方差為.38．某醫(yī)院派出16名護士?4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去A城市支援，設(shè)表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)，則的期望為.39．某一零件加工廠在最后包裝的環(huán)節(jié)中，由于操作失誤，在8個裝盒的零件中不慎混入了2個次品.現(xiàn)從中不放回地任選2個零件，則取到次品零件個數(shù)的期望為．40．我區(qū)舉辦“中小學(xué)生國防知識競賽”中，隨機抽查了100名學(xué)生，其中共有4名男生和2名女生的成績在90分以上，從這6名同學(xué)中每次隨機抽1人在全校作經(jīng)驗分享，每位同學(xué)最多分享一次（不放回抽樣），記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B．(1)求，；(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為：從這6名學(xué)生中隨機抽取3人進行經(jīng)驗分享，記被抽取的3人中女生的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．【題型08利用均值與方差進行決策】41．第31屆世界大學(xué)生夏季運動會的三個吉祥物是“蓉寶”、“嘟嘟”和“飛飛”深受大家喜愛.某經(jīng)銷商提供如下兩種購買方式：·方式一：購買盲盒，每個盲盒售價20元，內(nèi)部隨機放有“蓉寶”、“嘟嘟”和“飛飛”三款中的一款或者為空盒，只有拆開才會知道購買情況，買到各種盲盒是等可能的；·方式二：直接購買吉祥物，每個30元(1)小明若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并拆開．求他第3次購買時恰好首次出現(xiàn)與已買到的吉祥物款式相同的概率；(2)為了集齊三款吉祥物，現(xiàn)有兩套方案待選：方案一：先購買一個盲盒，再按方式二補齊剩下的款式：方案二：先購買兩個盲盒，再按方式二補齊剩下的款式．若以所需費用的期望值為決策依據(jù)，小明應(yīng)選擇哪套方案？42．甲參加一檔電視知識競賽節(jié)目，該節(jié)目采用三輪兩勝制（三輪兩勝制是指在一場比賽中，參賽者進行三輪比賽，其贏得兩輪比賽即為獲勝）.在每輪比賽中，甲需要回答一個知識問題，回答正確的概率為，回答錯誤的概率為，每輪比賽的結(jié)果是獨立的，即每輪比賽甲回答正確的概率不受其他輪次結(jié)果的影響.(1)當時，求甲最終獲勝的概率；(2)為了增加比賽的趣味性，節(jié)目組設(shè)置兩種積分獎勵方案.方案一：最終獲勝者得4分，失敗者得3分；方案二：最終獲勝者得2分，失敗者得1分.請討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數(shù)學(xué)期望更大.43．已知一道數(shù)學(xué)多項選擇題有4個選項，其中有3個是正確選項，每選對1個得2分，全選對得滿分6分，但是有選錯的得0分．學(xué)生甲對這4個選項都無法判斷是否正確，故其只能猜答案．他有3個方案：（1）猜1個選項；（2）猜2個選項；（3）猜3個選項．若甲猜每一個選項都是等可能的，請你根據(jù)得分期望的大小幫他確定哪一個方案最好．44．已知某科技公司的某型號芯片分為Ⅰ級品和Ⅱ級品，兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值，按規(guī)定須將該指標大于的產(chǎn)品應(yīng)用于型手機，小于或等于的產(chǎn)品應(yīng)用于型手機．若將級品中該指標小于或等于臨界值的芯片錯誤應(yīng)用于型手機會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元；若將級品中該指標大于臨界值的芯片錯誤應(yīng)用于型手機會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)設(shè)臨界值時，將2個不作該指標檢測的級品芯片直接應(yīng)用于型手機，求芯片生產(chǎn)商的損失（單位：元）的分布列及期望；(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片級品、級品，分別應(yīng)用于型手機、型手機各1萬部的生產(chǎn)：方案一：將芯片不作該指標檢測，Ⅰ級品直接應(yīng)用于型手機，Ⅱ級品直接應(yīng)用于型手機；方案二：重新檢測芯片Ⅰ級品，Ⅱ級品的該項指標，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機型號，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要130萬元；請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費用的估計值（單位：萬元），并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．45．某商場設(shè)置了兩種促銷方案：方案一，直接贈送消費金額的代金券（例如：消費200元，則贈送元的代金券）；方案二，消費每滿100元可進行一次抽獎（例如：消費370元可進行三次抽獎），每次抽獎抽到10元代金券的概率為，抽到4元代金券的概率為，每次抽獎結(jié)果互不影響．每人只能選擇一種方案．(1)若甲的消費金額為210元，他選擇方案二且抽到14元代金券的概率為，求；(2)若乙消費了一定的金額并選擇方案二，設(shè)他抽到的代金券總額為元，當最大時，求；(3)若，請你根據(jù)顧客消費金額（消費金額大于0）的不同，以代金券的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，幫助顧客選擇方案．一、單選題1．一個不透明的袋子中有10件外觀一樣的產(chǎn)品，其中有6件正品，4件次品．現(xiàn)進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出2件產(chǎn)品，記取得次品的件數(shù)為，期望方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出2件產(chǎn)品，記取到次品的件數(shù)為，期望和方差分別為，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．2．已知隨機變量的分布列如下表，且．123若，則（

）A． B． C． D．3．已知隨機變量服從兩點分布，且，則（

）A． B． C． D．4．已知在的二項展開式中，第項為常數(shù)項，若在展開式中任取項，其中無理項的個數(shù)為，則（

）A． B． C． D．5．互不相等的正實數(shù)是的任意順序排列，設(shè)隨機變量滿足：，則（

）A． B．C． D．6．為迎接五一假期，某公司開展抽獎活動，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的5個紅球和4個白球，每位員工從中摸出2個小球．若摸到一紅球一白球，可獲得價值a百元代金券；摸到兩紅球，可獲得價值b百元代金券；摸到兩白球，可獲得價值ab百元代金券（a，b均為整數(shù)）．已知每位員工平均可得6百元代金券，則運氣最好者獲得至多（

）百元代金券A．12 B．16 C．18 D．20二、多選題7．已知隨機變量，則（

）A． B．當取最大值時，C． D．8．某項團隊建設(shè)活動，每場活動固定進行兩輪，每輪結(jié)束后可得4分或7分.任意一場活動，第一輪得4分或7分的概率均為；在同一場活動中，若第一輪得4分，則第二輪得4分的概率為，得7分的概率為；若第一輪得7分，則第二輪得4分的概率為，得7分的概率為.若一場活動結(jié)束總分超過10分，稱該場活動為“成功場次”.已知各場活動的結(jié)果相互獨立，則下列選項正確的是（）A．一場活動結(jié)束總分為8分的概率為B．一場活動結(jié)束總分為11分的概率為C．已知該場活動為“成功場次”的條件下，該場活動結(jié)束總分為11分的概率為D．若連續(xù)5場活動中“成功場次”的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望三、填空題9．為了解甲、乙兩個農(nóng)場某種水果的品質(zhì)，某調(diào)研小組利用分層隨機抽樣的方法抽取500個甲、乙兩個農(nóng)場的該種水果，并將這500個水果分為大果和小果兩種品級，其中來自甲農(nóng)場的該種水果數(shù)量為200，來自甲、乙農(nóng)場的大果數(shù)量均為80．抽取的該批水果中色澤紅潤，果實飽滿的水果作為精品果售出，剩余水果作為普通果售出．已知精品果中大果的占比為，普通果中大果與小果的數(shù)量之比為，精品果利潤為10元/個，普通果利潤為5元/個．現(xiàn)從這500個水果中隨機抽取4個，設(shè)這4個水果中精品果的個數(shù)為X，這4個水果的總利潤為Y元，則．，．10．設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為1、2、3、4.．又X的均值，則＝.11．一個箱子里裝有大小相同、質(zhì)地均勻的紅球個、白球個，從中隨機摸出