第05講正態(tài)分布內容導航——預習三步曲第一步：學析教材·學知識：教材精講精析、全方位預習練題型·強知識：核心題型舉一反三精準練【題型01：正態(tài)密度函數(shù)】【題型02：概率分布曲線的認識】【題型03：標準正態(tài)分布的應用】【題型04：特殊區(qū)間的概率】【題型05：指定區(qū)間的概率】【題型06：根據正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)】【題型07：正態(tài)分布與其他分布的結合】【題型08：原則】第二步：記串知識·識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測·穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1：正態(tài)分布的概念①正態(tài)曲線：稱其中為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱其圖象為正態(tài)分布密度曲線(其中μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標準差)②正態(tài)分布的定義若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為．特別地，當時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布．知識點2：正態(tài)曲線的性質對，它的圖象在軸的上方曲線與軸之間的面積為1曲線是單峰的，它關于直線對稱曲線在處達到峰值當無限增大時，曲線無限接近x軸當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移當一定時，曲線的形狀由確定，較小時曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；較大時，曲線“矮胖”，表示隨機變量的分布比較分散，知識點3：三個特殊區(qū)間內取值的概率值及3σ原則①；；.②原則：盡管正態(tài)變量的取值范圍是，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間內，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生．所以在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量X只取中的值【題型01：正態(tài)密度函數(shù)】1．已知正態(tài)分布密度函數(shù)，，則分別是（

）A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和2．設隨機變量，則X的密度函數(shù)為（

）A． B．C． D．3．已知某批零件的長度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，則；從中隨機取一件，其長度誤差落在內的概率約為.(附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，)

4．根據正態(tài)密度函數(shù)的表達式，找出其均值和方差.(1)，；(2)，.5．已知某公司人均月收入X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)圖像如圖所示．

(1)寫出此公司人均月收入的密度函數(shù)的表達式；(2)求此公司人均月收入在8000～8500元之間的人數(shù)所占的百分比．【題型02：概率分布曲線的認識】6．正態(tài)分布，，（其中，，均大于0）所對應的密度函數(shù)圖象如下圖所示，則下列說法正確的是（

）A．最大，最大 B．最大，最大C．最大，最大 D．最大，最大7．（多選）已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．8．（多選）某市有甲、乙兩個工廠生產同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結論中正確的是（

）

A．甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值B．甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值C．甲工廠生產零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠生產零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩(wěn)定性9．（多選）設，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結論中正確的是（

）A．，B．C．，D．10．（多選）已知兩種金屬元件（分別記為，）的抗拉強度均服從正態(tài)分布，且，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列選項中正確的是（

）（參考數(shù)據：若，則，）A．，B．C．D．對于任意的正數(shù)，恒有【題型03：標準正態(tài)分布的應用】11．產品質量指標，，.(1)求；(2)抽取10件，求至少2件指標在之內的概率（結果保留四位小數(shù)）.說明：表示的概率，用來將非標準正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，即，從而利用標準正態(tài)分布表，求時的概率，這里,相應于的值是指總體取值小于的概率，即.參考數(shù)據：.12．已知某客運輪渡最大載客質量為，且乘客的體重（單位：）服從正態(tài)分布．(1)記為任意兩名乘客中體重超過的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望（所有結果均精確到0.001）；(2)設隨機變量相互獨立，且服從正態(tài)分布，記，則當時，可認為服從標準正態(tài)分布．若保證該輪渡不超載的概率不低于，求最多可運載多少名乘客．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則；若服從標準正態(tài)分布，則；，，．13．2021年某地在全國志愿服務信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時，為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長(單位：小時)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據用該組數(shù)據區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且．(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；(ii)從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數(shù)，求(結果精確到0.001)，以及Z的數(shù)學期望(結果精確到0.01)．參考數(shù)據：，，，，.若，則，，.14．2020年某地在全國志愿服務信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且．（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數(shù)，求（結果精確到0.001）以及的數(shù)學期望．參考數(shù)據：，．若，則．【題型04：特殊區(qū)間的概率】15．某市高二年級男生的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，隨機選擇一名該市高二年級的男生，則其身高落在區(qū)間內的概率約為（

）（附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，）A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.317416．已知隨機變量，則（

）參考數(shù)據：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.A．0.9772 B．0.8415 C．0.7786 D．0341517．（多選）已知在某一次學情檢測中，學生的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，則下列說法正確的是（

）附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，，A．學生數(shù)學成績的期望為100 B．學生數(shù)學成績的標準差為100C．學生數(shù)學成績及格率不超過0.9 D．學生數(shù)學成績的優(yōu)秀率約等于0.02318．為豐富學生的課余生活，某地舉辦了2025年數(shù)學文化知識挑戰(zhàn)賽，舉辦方從中隨機抽取了100名學生的成績，并進行統(tǒng)計整理，現(xiàn)將成績（滿分100分）劃分為四個分數(shù)段：，，，．已知，各分數(shù)段人數(shù)的頻數(shù)統(tǒng)計如下表：分數(shù)段頻數(shù)1030mn(1)求m，n的值；(2)按成績進行分層，采用分層隨機抽樣的方法從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，設抽到的4人中成績在內的人數(shù)為X，求X的分布列與期望；(3)由以往比賽成績的數(shù)據分析可知，學生成績．已知今年該地共有20000名學生參加比賽，估計成績在內的學生人數(shù)．參考數(shù)據：若，則，，．19．在七一“建黨節(jié)”來臨之際，某省教育系統(tǒng)開展以“爭知識標兵，做奮斗先鋒”為主題的法規(guī)知識競賽活動.為了了解本次競賽成績情況，從參與者中隨機抽取容量為100的樣本數(shù)據（滿分為100分），均在區(qū)間內，將樣本數(shù)據按的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求的值，并估計抽取的100位參與者得分的平均值（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若本次活動共有5000人參加，用樣本平均值估計總體平均值.假設所有參與者得分，試估計得分在上的人數(shù).參考數(shù)據：若，則【題型05：指定區(qū)間的概率】20．在一次數(shù)學適應性考試中，高三年級某班的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，且，則的值為（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.421．某校高三學生一次數(shù)學考試(滿分150分，及格90分)的成績近似服從正態(tài)分布，若該校共有1000名高三學生參加考試，且，則估計該校這次數(shù)學考試的及格人數(shù)為（

）A．140 B．220 C．280 D．44022．設隨機變量服從正態(tài)分布.已知部分小概率值和相應的臨界值如下表：2.7063.8415.0246.6357.87910.8280.10.050.0250.010.0050.001若實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．23．（多選）已知隨機變量，若，則（

）A． B． C． D．24．（多選）某地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績(單位：s)服從正態(tài)分布，且．從該地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績中隨機抽取3個成績，其中成績在間的個數(shù)記為，則（

）A． B．C． D．25．已知某隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則，【題型06：根據正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)】26．已知隨機變量，且，則展開式中各項系數(shù)之和為（

）A．32 B．64 C． D．27．已知隨機變量，則（

）A．5 B．4 C．6 D．328．已知隨機變量，，則的最小值為（

）A． B．5 C．3 D．29．若隨機變量，且，則有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值30．若隨機變量，則．【題型07：正態(tài)分布與其他分布的結合】31．某工廠生產一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布（單位：）.(1)現(xiàn)隨機抽取15個零件進行檢測，認為直徑在之內的產品為合格品，若樣品中有次品則可以認定生產過程中存在問題.求上述事件發(fā)生的概率，并說明這一標準的合理性.（已知：）(2)若在上述檢測中發(fā)現(xiàn)了問題，另抽取100個零件進一步檢測，則這100個零件中的次品數(shù)最可能是多少？32．為了切實加強學校體育工作，促進學生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習慣，某高中學校計劃優(yōu)化課程，增加學生體育鍛煉時間，提高體質健康水平．某體質監(jiān)測中心抽取了該校10名學生進行體質測試，得到如下表格：序號i12345678910成績/分38414451545658647480記這10名學生體質測試成績的平均分與方差分別為，經計算.(1)求；(2)規(guī)定體質測試成績低于50分為不合格，從這10名學生中任取3名，記體質測試成績不合格的人數(shù)為X，求X的分布列；(3)經統(tǒng)計，高中生體質測試成績近似服從正態(tài)分布，用的值分別作為的近似值，若監(jiān)測中心計劃從全市抽查100名高中生進行體質測試，記這100名高中生的體質測試成績恰好落在區(qū)間的人數(shù)為Y，求Y的數(shù)學期望．附：若，則，，.33．某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會，現(xiàn)場來了1000位居民．聯(lián)歡會臨近結束時，物業(yè)公司從現(xiàn)場隨機抽取了20位幸運居民進入摸獎環(huán)節(jié)，這20位幸運居民的年齡用隨機變量X表示，且．(1)請你估計現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；(2)獎品分為一等獎和二等獎，已知每個人摸到一等獎的概率為40%，摸到二等獎的概率為60%，每個人摸獎相互獨立，設恰好有個人摸到一等獎的概率為，求當取得最大值時的值．附：若，則．34．人勤春來早，實干正當時．某工廠春節(jié)后復工復產，為滿足市場需求加緊生產，但由于生產設備超負荷運轉導致某批產品次品率偏高．已知這批產品的質量指標，當時產品為正品，其余為次品．生產該產品的成本為20元/件，售價為40元/件．若售出次品，則不更換，需按原售價退款并補償客戶10元/件．(1)若某客戶買到的10件產品中恰有兩件次品，現(xiàn)從中任取三件，求被選中的正品數(shù)量的分布列和數(shù)學期望：(2)已知P，工廠欲聘請一名臨時質檢員檢測這批產品，質檢員工資是按件計費，每件x元．產品檢測后，檢測為次品便立即銷毀，檢測為正品方能銷售．假設該工廠生產的這批產品都能銷售完，工廠對這批產品有兩種檢測方案，方案一：全部檢測；方案二：抽樣檢測．若要使工廠兩種檢測方案的盈利均高于不檢測時的盈利，求x的取值范圍，并從工廠盈利的角度選擇恰當?shù)姆桨福?5．冬奧會的成功舉辦極大鼓舞了人們體育強國的熱情，掀起了青少年鍛煉身體的熱潮．某校為了解全校學生“體能達標”的情況，從高二年級12個班學生中每班隨機選出5名學生參加“體能達標”測試，并且規(guī)定“體能達標”測試成績小于60分的為“不合格”，否則為合格．若高二年級“不合格”的人數(shù)不超過總人數(shù)的5%，則該年級體能達標為“合格”，否則該年級體能達標為“不合格”，需要加強鍛煉．(1)已知某班級的5名學生中，甲、乙2位同學體能預測不合格，從這5名學生中抽取2名，記X為抽取的2名學生中體能合格的人數(shù)，求隨機變量X的分布列(2)為了加強鍛煉，甲、乙兩位同學計劃每天開展跳繩比賽以提高體能，并約定每輪比賽均采用五局三勝制（一方獲勝三局則本輪比賽結束）．假設甲同學每局比賽獲勝的概率均為，求甲在一輪比賽中至少比了四局并獲勝的條件下，前2局比賽均獲勝的概率；(3)經過一段時間的體能訓練后，該校再次進行了體能檢測，高二年級學生體能檢測成績近似服從正態(tài)分布．已知，請估計該校高二年級學生該次體能檢測是否合格?附：．36．當前新能源汽車已經走進我們的生活，主要部件是電池，一般地電池的生產工藝和過程條件要求較高，一般一塊電池充滿電后可連續(xù)正常工作的時間（小時），若檢測到則視為產品合格，否則進行維護，維護費用為4萬元/塊，近一年來由于受極端天氣影響，某汽車制造公司技術部門加急對生產的一大批汽車電池隨機抽取10個進行抽樣檢測，結果發(fā)現(xiàn).(1)求出10個樣品中有幾個不合格產品；(2)若從10個樣品中隨機抽取3件，記抽到的不合格產品個數(shù)為，求其概率分布與期望；(3)若以樣本頻率估計總體，從本批次的產品中再抽取200塊進行檢測，記不合格品的個數(shù)為，預計會支出多少維護費萬元？【題型08：原則】37．“雙碳”再成今年兩會熱點，低碳行動引領時尚生活，新能源汽車成為人們代步車的首選．某工廠生產的新能源汽車的某一部件質量指標服從正態(tài)分布，檢驗員根據該部件質量指標將產品分為正品和次品，其中指標的部件為正品，其他為次品，要使次品率不高于，則的一個值可以為．（若，則38．一條生產電阻的生產線，生產正常時，生產的電阻阻值（單位:）服從正態(tài)分布.(1)生產正常時，從這條生產線生產的電阻中抽取2只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內各一只的概率;（精確到）(2)根據統(tǒng)計學的知識，從服從正態(tài)分布的總體中抽取容量為的樣本，則這個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布.某時刻，質檢員從生產線上抽取5只電阻，測得阻值分別為：1000，1007，1012，1013，1013（單位：Ω）.你認為這時生產線生產正常嗎？說明理由．（參考數(shù)據：若，則，，.）39．某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據難度進行賦分，競猜活動共五關，規(guī)定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.(1)若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；(2)已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設該闖關活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數(shù)為201分，351分以上共有57人”，請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附：若隨機變量，則；；.40．新高考改革后廣西壯族自治區(qū)采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門；“2”指考生要在生物學?化學?思想政治?地理4門中選擇2門.(1)若按照“3+1+2”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生5000名參加語數(shù)外的網絡測試?滿分450分，假設該次網絡測試成績服從正態(tài)分布.①估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分”，請結合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.附：，，.41．某網絡在平臺開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據難度進行賦分，競猜活動共五關，規(guī)定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項活動．(1)若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；(2)已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為分，現(xiàn)要根據得分給共名參加者中得分前名發(fā)放獎勵，①假設該闖關活動平均分數(shù)為分，分以上共有人，已知甲的得分為分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數(shù)為分，分以上共有人”，請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)危剑喝綦S機變量，則；；．一、單選題1．已知隨機變量，且，則（

）A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.362．已知兩個正態(tài)分布和相應的分布密度曲線如圖，則（

）A．， B．，C．， D．，3．某汽車制造企業(yè)為了解新研發(fā)的一款純電汽車的續(xù)航里程（單位：公里）情況，隨機抽查得到了5000個樣本，根據統(tǒng)計這款新型純電車的續(xù)航里程，若，則該樣本中續(xù)航里程不小于600公里的純電汽車大約有（

）A．75輛 B．85輛 C．100輛 D．120輛4．若隨機變量服從正態(tài)分布，隨機變量服從兩點分布，且，，則為（

）A． B． C． D．5．已知連續(xù)型隨機變量服從正態(tài)分布，記函數(shù)，則的圖象（

）.A．關于直線對稱 B．關于點成中心對稱C．關于點成中心對稱 D．關于點成中心對稱二、多選題6．若隨機變量，則下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．7．設，且．若隨機變量滿足，則（已知若隨機變量，則）（）A． B．C． D．8．李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數(shù)據分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時，樣本方差為4.假設坐公交車用時（單位：min）和騎自行車用時（單位：min）都服從正態(tài)分布，正態(tài)分布中的參數(shù)用樣本均值估計，參數(shù)用樣本標準差估計，則（

）A． B．C． D．若某天只有可用，李明應選擇坐公交車三、填空題9．某中學高三年級男生的身高（單位：）可近似看作服從正態(tài)分布，且，則.10．某校高二學生的一次數(shù)學診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個同學的數(shù)學成績，記該同學的成績?yōu)槭录?，記該同學的成績?yōu)槭录瑒t在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率．（結果精確到0.01）附：，，．11．在工業(yè)生產中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制