§4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較明確目標發(fā)展素養(yǎng)1.結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度的差異．2.理解“指數(shù)爆炸”“直線上升”“對數(shù)增長”等術(shù)語的現(xiàn)實含義.通過體會常見函數(shù)的變化異同，提升數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng).(一)教材梳理填空當a＞1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax是

，并且當a越

時，其函數(shù)值的增長就越快．當b＞1時，對數(shù)函數(shù)y＝logbx是

，并且當b越

時，其函數(shù)值的增長就越快．增函數(shù)大增函數(shù)小當x＞0，c＞0時，冪函數(shù)y＝xc顯然也是

，并且當x>1時，c越___其函數(shù)值的增長就越快．通過以上增長快慢的比較，我們感受到隨著自變量x的增大，y＝ax(a>1)的函數(shù)值增長遠遠大于y＝xc的函數(shù)值增長；而y＝xc(x＞0，c＞0)的函數(shù)值增長又遠遠大于y＝logbx(b>1)的函數(shù)值增長．當?shù)讛?shù)a>1時，由于指數(shù)函數(shù)y＝ax的值增長非?？?，稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”．增函數(shù)大(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k＞0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．(

)(2)指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a＞1)的增長特點是隨自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快．

(

)(3)對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a＞1)的增長特點是隨自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢．

(

)(4)冪函數(shù)y＝xn(n＞0)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間．

(

)√√√√2．下圖反映的是哪類函數(shù)的增長趨勢(

)A．一次函數(shù) B．冪函數(shù)C．對數(shù)函數(shù)

D．指數(shù)函數(shù)答案：C3．當x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的是

(

)A．y＝100x B．y＝100lnxC．y＝x100 D．y＝100·2x答案：D4．四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________．答案：y2x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907題型一指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的比較

【學透用活】[典例1]函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，比較f(8)，g(8)，f(2020)，g(2020)的大?。甗解]

(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2020.從圖象上知，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)；當x>x2時，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(2020)>g(2020)>g(8)>f(8)．[方法技巧]底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型和冪指數(shù)大于1的冪函數(shù)模型都是增函數(shù)，增長的快慢則交替出現(xiàn)，從本例我們可以體會到冪函數(shù)增長、指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義．(2)令函數(shù)y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐標系內(nèi)作出上述三個函數(shù)的圖象如圖，然后作x＝0.3，此直線必與上述三個函數(shù)圖象相交．由圖象知log20.3<0.32<20.3.[方法技巧]解決這類題目的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；若指數(shù)不同底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；若底數(shù)不同，指數(shù)也不同，需引入中間量，利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，

也可以借助冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象．題型三指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長比較的應(yīng)用

【學透用活】[典例3]某學校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？[解]

作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求．[方法技巧]解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，結(jié)合函數(shù)圖象有助于直觀認識不同函數(shù)在不同范圍的大小關(guān)系．【對點練清】某地西紅柿從2月1日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/102千克)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝a·logbt.(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本．時間t50110250種植成本Q150108150解：(1)由提供的數(shù)據(jù)知道，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，從而用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一個進行描述時都應(yīng)有a≠0，而此時上述三個函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不吻合．所以，選取二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進行描述．將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入【課堂思維激活】一、應(yīng)用性——強調(diào)學以致用1．假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問：你會選擇哪種投資方案？解：設(shè)第x天所得回報是y元．由題意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三個函數(shù)的圖象如圖，由圖可以看出，從每天回報看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一樣多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，經(jīng)驗證到第三十天，所得回報已超過2億元，∴若是短期投資可選擇方案一或方案二，長期投資則選擇方案三．通過計算器計算列出三種方案的累積收入表.∴投資一天到六天，應(yīng)選方案一，投資七天方案一、二均可，投資八天到十天應(yīng)選方案二，投資十一天及以上，應(yīng)選方案三．二、創(chuàng)新性——強調(diào)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維2.已知甲、乙兩物體在同一直線上向同一方向做勻速直線運動，其位移y(單位：km)和運動時間x(單位：h)(0≤x≤5)的關(guān)系如圖所示，給出以下說法：①甲、乙運動的速度相同，都是5km/h；②甲、乙運動的時間相同，開始運動后相等時間內(nèi)甲的位移比乙大；③甲、乙運動的時間相同，乙的速度是4km/h；④當甲、乙運動了3h后，甲的位移比乙大3km，但乙在甲前方2km處．其中正確的說法是

(

)A．③

B．①②③

C．①③④

D．②③④解析：經(jīng)圖象分析③