(完整版)大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則P(A.B.C.D.答案：B解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為P(X=2.設(shè)X~N(A.0.90B.0.95C.0.975D.0.99答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)95%置信區(qū)間對(duì)應(yīng)z=1.96，故3.設(shè)樣本,…,獨(dú)立同分布于U(A.θB.θC.θD.θ答案：A解析：令Y=max{E4.設(shè)X,Y獨(dú)立且均服從ExA.EB.EC.ED.非指數(shù)分布答案：B解析：P(Z>5.在線性回歸模型Y=+x+εA.B.C.D.答案：B解析：經(jīng)典結(jié)論，Va二、填空題（每題5分，共20分）6.設(shè)X~Bin(答案：n解析：E[7.設(shè),…,為來(lái)自N(μ,)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記答案：解析：樣本均值的方差為總體方差除以樣本量。8.設(shè)隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)為(t)=exp{答案：+解析：對(duì)(t)求三階導(dǎo)數(shù)并令9.設(shè)X,Y的聯(lián)合密度為f(x,y)答案：解析：積分區(qū)域?yàn)?≤x≤y≤1與三、解答題（共60分）10.（12分）設(shè),…f（1）求θ的矩估計(jì)；（2）求θ的最大似然估計(jì)；（3）比較兩者的漸近方差。解：（1）一階矩E令樣本均值Xˉ=（2）似然函數(shù)L對(duì)數(shù)似然?令導(dǎo)數(shù)為零+（3）計(jì)算Fisher信息量I最大似然估計(jì)的漸近方差為I(矩估計(jì)的漸近方差需用Delta方法：令g((故A顯然<·11.（12分）設(shè)X,f（1）求邊緣密度(x（2）求條件期望E[（3）判斷X,解：（1）(利用∫/2d(即X~N(（2）條件密度(于是E（3）由于f(x,12.（12分）某生產(chǎn)線袋裝鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量500g，長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)知標(biāo)準(zhǔn)差5g?，F(xiàn)隨機(jī)抽取16袋，測(cè)得平均質(zhì)量498g。（1）在顯著性水平α=0.05下檢驗(yàn):μ（2）求μ的95%置信區(qū)間；（3）若真實(shí)均值為497g，求此次檢驗(yàn)的勢(shì)。解：（1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z雙側(cè)臨界值±1.96，|z|（2）95%置信區(qū)間x（3）真實(shí)均值μ==勢(shì)β（注：此處用正態(tài)近似，實(shí)際可更精確。）13.（12分）設(shè),…,獨(dú)立同分布于N(（1）證明~(（2）利用此結(jié)論構(gòu)造的95%置信上限；（3）若n=20，觀測(cè)得解：（1）經(jīng)典結(jié)論，略。（2）由P解得≤（3）(19≤14.（12分）設(shè)隨機(jī)向量X=(,Σ（1）求條件分布|=（2）求偏相關(guān)系數(shù)；（3）設(shè)ρ=0.8，生成一條長(zhǎng)度為100的樣本路徑，給出樣本相關(guān)系數(shù)解：（1）由多元正態(tài)條件分布公式，|密度f(wàn)（2）僅兩個(gè)變量，偏相關(guān)系數(shù)即簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)，=ρ（3）對(duì)于大樣本，r的近似分布由Fisher變換Z代入ρ=Z于是r的分布可經(jīng)反變換得到，近似對(duì)稱于0.8，標(biāo)準(zhǔn)誤約0.045。四、綜合應(yīng)用題（共40分）15.（20分）某電商平臺(tái)研究用戶點(diǎn)擊“立即購(gòu)買”的概率p與頁(yè)面停留時(shí)長(zhǎng)t（秒）的關(guān)系，收集500條數(shù)據(jù)，建立logistic模型l擬合得=?C（1）解釋的實(shí)際含義；（2）檢驗(yàn):=0的（3）預(yù)測(cè)t=（4）若平臺(tái)希望概率達(dá)到0.20，求所需最短停留時(shí)長(zhǎng)及置信下限。解：（1）=0.05表示停留時(shí)長(zhǎng)每增加1秒，購(gòu)買的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比增加0.05，即優(yōu)勢(shì)比乘以≈（2）Wald統(tǒng)計(jì)量z高度顯著。（3）線性預(yù)測(cè)η方差V95%置信區(qū)間η反變換得p（4）令l考慮參數(shù)不確定性，用Delta方法求置信下限：令g(?方差V95%下限t16.（20分）某校欲評(píng)估在線學(xué)習(xí)平臺(tái)的效果，隨機(jī)抽取8個(gè)班級(jí)，分別記錄使用平臺(tái)前后平均成績(jī)提升（分）如下：4.5假設(shè)獨(dú)立同分布于N(μ（1）給出μ的點(diǎn)估計(jì)及標(biāo)準(zhǔn)誤；（2）構(gòu)造μ的95%置信區(qū)間；（3）檢驗(yàn)平均提升是否顯著大于3分（α=（4）若真實(shí)μ=（5）若希望以80%的勢(shì)檢測(cè)到μ=解：（1）計(jì)算d（2）(75.44（3）單側(cè)檢驗(yàn):μ≤3