2026年數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)試題考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：2026年數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)試題考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-簡(jiǎn)答題（總共3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（總共2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.洛朗級(jí)數(shù)展開式的收斂域一定是圓環(huán)。3.如果函數(shù)f(z)在閉區(qū)域Ω上連續(xù)，則它在Ω上必有界。4.留數(shù)定理可以用來(lái)計(jì)算實(shí)積分。5.如果函數(shù)f(z)在z?處解析，則它在z?的鄰域內(nèi)解析。6.所有解析函數(shù)的實(shí)部都是調(diào)和函數(shù)。7.如果函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?的鄰域內(nèi)可以展開為洛朗級(jí)數(shù)。8.如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上除了z=∞外處處解析，則它是整函數(shù)。9.如果函數(shù)f(z)在z?處有本性奇點(diǎn)，則它在z?的鄰域內(nèi)不能展開為洛朗級(jí)數(shù)。10.如果函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的留數(shù)為f(z)在z?處的洛朗展開式中-1的系數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的泰勒展開式的收斂半徑為（）。A.1B.2C.∞D(zhuǎn).02.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+2)在z=0處的留數(shù)為（）。A.-1/3B.1/3C.-2/3D.2/33.函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）。A.0B.1/2C.-1/2D.πi4.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處的留數(shù)為（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-15.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的留數(shù)為（）。A.0B.1C.-1D.πi6.函數(shù)f(z)=z2/(z-1)在z=1處的留數(shù)為（）。A.1B.-1C.2D.-27.函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-18.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-19.函數(shù)f(z)=ez/(z-1)在z=1處的留數(shù)為（）。A.eB.-eC.1D.-110.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=-i處的留數(shù)為（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2+2z+3B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=ez2.下列函數(shù)中，在z=1處有極點(diǎn)的有（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=z/(z-1)C.f(z)=1/(z-1)2D.f(z)=1/(z-1)(z+2)3.下列函數(shù)中，在z=∞處有極點(diǎn)的有（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=z2+1C.f(z)=1/(z2+1)D.f(z)=z/(z2+1)4.下列函數(shù)中，在z=i處有留數(shù)的有（）。A.f(z)=1/(z-i)B.f(z)=z/(z-i)C.f(z)=1/(z2+i)D.f(z)=z/(z2+i)5.下列函數(shù)中，在z=-i處有留數(shù)的有（）。A.f(z)=1/(z+i)B.f(z)=z/(z+i)C.f(z)=1/(z2+i)D.f(z)=z/(z2+i)6.下列函數(shù)中，在z=0處有本性奇點(diǎn)的有（）。A.f(z)=sin(1/z)B.f(z)=ezC.f(z)=1/zD.f(z)=tan(z)7.下列函數(shù)中，在z=1處有極點(diǎn)的有（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=z/(z-1)C.f(z)=1/(z-1)2D.f(z)=1/(z-1)(z+2)8.下列函數(shù)中，在z=∞處有極點(diǎn)的有（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=z2+1C.f(z)=1/(z2+1)D.f(z)=z/(z2+1)9.下列函數(shù)中，在z=i處有留數(shù)的有（）。A.f(z)=1/(z-i)B.f(z)=z/(z-i)C.f(z)=1/(z2+i)D.f(z)=z/(z2+i)10.下列函數(shù)中，在z=-i處有留數(shù)的有（）。A.f(z)=1/(z+i)B.f(z)=z/(z+i)C.f(z)=1/(z2+i)D.f(z)=z/(z2+i)四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。2.簡(jiǎn)述留數(shù)定理的應(yīng)用。3.簡(jiǎn)述整函數(shù)與亞純函數(shù)的區(qū)別。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算積分∮|z|2dz，其中積分路徑為|z|=1的逆時(shí)針方向。2.計(jì)算積分∮(z2+1)/(z-1)dz，其中積分路徑為|z|=2的逆時(shí)針方向。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.×（反例：f(z)=1/z在z=0處無(wú)界）4.√5.√6.√7.√8.√9.×（本性奇點(diǎn)可以展開為洛朗級(jí)數(shù)，但展開式不是有限項(xiàng)）10.√二、單選題1.B2.A3.B4.A5.A6.A7.A8.A9.A10.A三、多選題1.A,C,D2.A,C,D3.A,C4.A,B,D5.A,B,D6.A,C7.A,C,D8.A,C9.A,B,D10.A,B,D四、簡(jiǎn)答題1.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼方程。調(diào)和函數(shù)是具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)滿足拉普拉斯方程的函數(shù)。因此，解析函數(shù)可以看作是二維流形上的調(diào)和函數(shù)的“原因”。2.留數(shù)定理可以用來(lái)計(jì)算實(shí)積分、復(fù)積分以及某些類型的定積分。例如，計(jì)算∫?2πf(cosθ)dθ時(shí)，可以通過令z=e^(iθ)將實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)積分，然后利用留數(shù)定理計(jì)算。3.整函數(shù)是處處解析的函數(shù)，即在整個(gè)復(fù)平面上解析。亞純函數(shù)是在整個(gè)復(fù)平面上除了有限個(gè)極點(diǎn)外處處解析的函數(shù)。因此，整函數(shù)是亞純函數(shù)的特例，亞純函數(shù)可以看作是整函數(shù)在某些點(diǎn)處“中斷”。五、應(yīng)用題1.解：令f(z)=|z|2=z2/|z|2，積分路徑為|z|=1，即z=e^(iθ)，dζ=ie^(iθ)dθ。∮|z|2dz=∮z2/|z|2dz=∮z2dz=∮e^(2iθ)ie^(iθ)dθ=∫?2πe^(3iθ)idθ=i∫?2πe^(3iθ)dθ=i[e