1、1.1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,問(wèn)題1:.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?,分析:從甲地到乙地有3類方法,第一類方法,乘火車，有4種方法;第二類方法,乘汽車，有2種方法;第三類方法,乘輪船,有3種方法;所以從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法。,（一）新課引入：,問(wèn)題2:如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?,分析:從A村經(jīng)B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3種方法,第二步,由B村去C村有2種

2、方法,所以從A村經(jīng)B村去C村共有32=6種不同的方法。,分類計(jì)數(shù)原理:做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法。,分步計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1m2mn種不同的方法。,（二）新課：,（三）例題：例1.書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，（1）從書架上任取1本書，有多少不

3、同的取法？（2）從書架的第1，2，3層各取1本書，有多少不同的取法？,分析:(1)從書架上任取1本書，有三類辦法：第一類辦法,從第1層中任取一本書,共有m1=4種不同的方法;第二類辦法,從第2層中任取一本書,共有m2=3種不同的方法;第三類辦法：從第3層中任取一本書,共有m3=2種不同的方法所以,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,得到不同選法種數(shù)共有N=4+3+2=9種。,（三）例題：例1.書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，（1）從書架上任取1本書，有多少不同的取法？（2）從書架的第1，2，3層各取1本書，有多少不同的取法？,分析:(2)從書架的第1，

4、2，3層各取1本書，可以分成3個(gè)步驟完成：第一步,從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有m1=4種方法;第二步,從第2層取1本文藝書，有m2=3種方法;第三步,從第3層取1本體育書，有m3=2種方法;所以,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得到不同選法種數(shù)共有N=432=24種。,點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”。“分類完成”用“分類計(jì)數(shù)原理”;“分步完成”用“分步計(jì)數(shù)原理”。,例2.在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？,分析1:按個(gè)位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個(gè),2個(gè),3個(gè),4個(gè),5個(gè),6個(gè),7個(gè),8個(gè).則

5、根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個(gè)).,分析2:按十位數(shù)字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是8個(gè),7個(gè),6個(gè),5個(gè),4個(gè),3個(gè),2個(gè),1個(gè).則根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個(gè)),例3.一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤，每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))？首位數(shù)字不為0的號(hào)碼數(shù)是多少？首位數(shù)字是0的號(hào)碼數(shù)又是多少？,分析:按號(hào)碼位數(shù),從左到右依次設(shè)置第一位、第二位、第三位,第四位、需分為四步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=1

6、0，第四步，m4=10.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共可以設(shè)置N=10101010=104種四位數(shù)的號(hào)碼。,答:首位數(shù)字不為0的號(hào)碼數(shù)是N=9101010=9103種,首位數(shù)字是0的號(hào)碼數(shù)是N=1101010=103種。由此可以看出,首位數(shù)字不為0的號(hào)碼數(shù)與首位數(shù)字是0的號(hào)碼數(shù)之和等于號(hào)碼總數(shù)。,例3.一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤，每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))？首位數(shù)字不為0的號(hào)碼數(shù)是多少？首位數(shù)字是0的號(hào)碼數(shù)又是多少？,問(wèn):若設(shè)置四個(gè)、五個(gè)、六個(gè)、十個(gè)等號(hào)碼盤,號(hào)碼數(shù)分別有多少種？,答:它們的號(hào)碼種數(shù)依次是104,105,106,種。,點(diǎn)評(píng)

7、:分類計(jì)數(shù)原理中的“分類”要全面,不能遺漏;但也不能重復(fù)、交叉;“類”與“類之間是并列的、互斥的、獨(dú)立的,也就是說(shuō),完成一件事情,每次只能選擇其中的一類辦法中的某一種方法。若完成某件事情有n類辦法,即它們兩兩的交為空集,n類的并為全集。,分步計(jì)數(shù)原理中的“分步”程序要正確?！安健迸c“步”之間是連續(xù)的,不間斷的,缺一不可;但也不能重復(fù)、交叉;若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個(gè)步驟后,這件事情才算完成。,在運(yùn)用“分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理”處理具體應(yīng)用題時(shí),除要弄清是“分類”還是“分步”外,還要搞清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)。在“分類”或“分步”過(guò)程中,標(biāo)準(zhǔn)必須一致,才能保證不重

8、復(fù)、不遺漏。,課堂練習(xí)1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？,課堂練習(xí)1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？,解:按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四步完成,第一步,m1=3種,第二步,m2=2種,第三步,m3=1種,第四步,m4=1種,所以根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3211=6種。,課堂練習(xí)1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的

9、某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？,問(wèn):若用2色、3色、4色、5色等,結(jié)果又怎樣呢？,答:它們的涂色方案種數(shù)分別是0,4322=48,5433=180種等。,2.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電？,課堂練習(xí),解:從總體上看由A到B的通電線路可分三類,第一類,m1=3條第二類,m2=1條第三類,m3=22=4,條所以,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,從A到B共有N=3+1+4=8條不同的線路可通電。,當(dāng)然,也可以把并聯(lián)的4個(gè)看成一類,這樣也可分2類求解。,m2,m2,點(diǎn)評(píng):我們可以把分類計(jì)數(shù)原理看成“并聯(lián)電路”;分步計(jì)數(shù)原理看成“串聯(lián)電路”。如

10、左圖:,3.如圖,一螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱,從的一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條？,課堂練習(xí),解:如圖,從總體上看,如,螞蟻從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以,第一類,m1=12=2條第二類,m2=12=2條第三類,m3=12=2條所以,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1最近路線共有N=2+2+2=6條。,練習(xí)4.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？,解:從總體上看,由甲到丙有兩類不同的走法,第一類,由甲經(jīng)乙去丙,又需分兩步,所以m1=23=6

11、種不同的走法;第二類,由甲經(jīng)丁去丙,也需分兩步,所以m2=42=8種不同的走法;所以從甲地到丙地共有：N=6+8=14種不同的走法。,小結(jié)：,1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了那些主要內(nèi)容？,答:分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理。,2.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)是什么？不同點(diǎn)什么？,答:共同點(diǎn)是,它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法。不同點(diǎn)是,它們研究完成一件事情的方式不同,分類計(jì)數(shù)原理是“分類完成”,即任何一類辦法中的任何一個(gè)方法都能完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理是“分步完成”,即這些方法需要分步,各個(gè)步驟順次相依,且每一步都完成了,才能完成這件事情。這也是本節(jié)課的重點(diǎn)。,3.何時(shí)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理呢?,答:完成一件事情有n類方法,若每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成,則計(jì)算完成這件事情的方法總數(shù)用分類計(jì)數(shù)原理。完成一件事情有n