1、 1 第第 15 講講 比例線段復(fù)習(xí)比例線段復(fù)習(xí) 【例題精講】 【例題1】如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC，ADa，BCb，E，F(xiàn) 分別是 AD，BC 的中點(diǎn)，AF 交 BE 于 P，CE 交 DF 于 Q，求 PQ 的長 先證：PQ/AD， （ P EE Q P B Q C ） 故1 PQPQ ADBC ab PQ ab 【例題2】已知 O 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) O 作 EFAB，分別交 AD，BC 于 E，F(xiàn)，又過 O 作 GHBC，分別交 AB，CD 于 G，H；連結(jié) BE，交 GH 于 P；連結(jié) DG， 交 EF 于 Q如果OPOQ，求證：平行四邊形 ABCD

2、 是菱形 , QPOE OQGO BFEF DHGH 考慮到:BF=GO,OE=DH,OP=OQ EF=GH 故平行四邊形 ABCD 是菱形 【例題3】在ABC 的邊 AB，BC，CA 上分別取點(diǎn) M，K，L，使 MKAC，MLBC令 BL 與 MK 交于 P， AK 與 ML 交于 Q求證：PQAB ,PQAB MQBKBP QLKLPL 故 【例題4】在ABC 中，2ACAB，A 的平分線交 BC 于 D，過 D 分別作 AB，AC 的平行線交 AC，AB 于 F，E，F(xiàn)E 和 CB 的延長線交于 G，求證：EFEG 1 2 ABBDBEBEGE ACDCAEFDGF EF=EG Q P

3、K L M CB A 2 【例題5】如圖，已知 M，N 為ABC 的邊 BC 上的兩點(diǎn)，且滿足BMMNNC，一條平行于 AC 的直 線分別交 AB，AM，AN 的延長線于 D，E，F(xiàn)求證：3EFDE 過點(diǎn) M 作 PQDF 交 AB 于點(diǎn) P，交 AF 的延長線于點(diǎn) Q 1 3 DEPMPM EFMQAC 【例題6】如圖所示，AM是ABC的中線，交BC于點(diǎn)M，任意作一條直線分別交AB、AC于點(diǎn)P、 Q.求證： 2ABACAM APAQAN . 證法一：如圖 1-16(b)所示，作SCPQ，BRPQ， 則有 ABAR APAN ， ACAS AQAN ， +，得 2()2ABACARASASSM

4、AM APAQANANANAN .(其中BRMCSM) 證法二：如圖 1-16(c)所示，延長補(bǔ)形，則由平行線定理得 ABBE APDE ， ACCE AQDE ，+，得 222ABACBECECEBCMEAM APAQDEDEDEDEAN ，故得證. 證法三：如圖 1-16(d)所示，作輔助線，由于點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則MN是梯形BEFC的中位線，則 2BEFCMN. 因 BPBE PANA ， 則 ABBEAN APAN ； 因 CQCF QANA ， 則 ACCFAN AQAN ， + ， 得 22()2ABACBECFANMNANAM APAQANANAN . 3 技巧貼士 以上三種方法

5、都很典型，其基本要領(lǐng)是通過添加平行線構(gòu)造兩個基本圖形，分別表達(dá)出 AB AP 、 AC AQ ， 且兩個部分的分母都相同，通過運(yùn)算得到 2AM AN .要注意，證法一主要是“中線倍長”，證法二和證法三主要 是“補(bǔ)形”，通過添加輔助線使MN為梯形的中位線. 【例題7】設(shè) D，E，F(xiàn) 分別是ABC 的邊 AB，BC，CA 的中點(diǎn)，BDC 及ADC 的角平分線分別交 BC 及 AC 于點(diǎn) M，N求證： 112 EFDCMN 【例題8】如圖，P 為ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，過 P 作 AD，BE，CF 分別與 BC，AC，AB 交于點(diǎn) D，E，F(xiàn).求證： （1）1 PDPEPF ADBECF ； （2）2 A

6、PBPCP ADBECF N M F E D CB A 4 【例題9】如圖，已知梯形 ABCD 中，ADBC（ADBC） ，AC 和 BD 交于 M，EFAD 且過 M，EC 和 FB 交于 N，GHAD 且過 N求證 1212 . ADBCEFGH 112112 , ADBCEF EFBCGH 1212 . ADBCEFGH 【例題10】已知在ABC中，2BEEC，2AFFC，且 ABC Sa ，求陰影部分的面積 解：過點(diǎn)F作FGBC交AE于點(diǎn)G，如圖 121(b)所示由FGBC 得 2 3 GFAF ECAC ，則 1 3 GFGFEC BEECBE 又因為 GFFD BEDB ，所以 1

7、 3 FD DB 因為2 BEAF ECFC ，所以 2 3 ABEABF SSa 由于 2 3 ABF Sa ，故 1 21 4 36 ADF Saa 所以S四邊形DECF 211 366 ABCABEADF SSSaaaa 5 【課后作業(yè)】 【作業(yè)【作業(yè)1】如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 是 AB 的中點(diǎn)，在 AD 上截取 1 2 AFFD，EF 交 AC 于點(diǎn) G. 求 AG GC 的值 解：作/ /EEBC，得EE交AC于O 易證O為AC中點(diǎn)， 11 22 EOBCAD :1:2AF FD， 1 3 AFAD :2:3AG GOAF EO :2:5:1:4AG AOAG GC 【

8、作業(yè)【作業(yè)2】如圖 1-15(a)所示， 在ABC中， 點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)， 點(diǎn)P在AD上， 過點(diǎn)P作PMAC交AB 于點(diǎn)M，作PNAB交AC于點(diǎn)N，回答下列問題. （1）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且:2:1AP PD，求:AM AB的 值. （2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證： AMAN ABAC . （3） 若點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，求證： AMANAP ABACAD . 解：作DEMP交AB于點(diǎn)E，見圖 1-15(b)，易證DE為中位線， 故:1:3AM AB . 取AB、AC的中點(diǎn)E、F，連接DE，DF，易證 APAMAN ADAEAF 又因E、F為中點(diǎn)，故 AMAN ABAC . 過點(diǎn)D作DEPM

9、交AB于點(diǎn)E，所以 AMAP AEAD ，又因為PMAC，所以DEAC，則 AECD ABBC ，因此 AMAMAEAP CD ABAEABAD BC . 同理可得 ANAP BD ACAD BC ，所以() AMANAPCDBDAP ABACADBCBCAD . G F E D C B A 6 【作業(yè)【作業(yè)3】如圖所示，在ABC中，底邊 BC 上的兩點(diǎn) E、F 把 BC 三等分，BM 是 AC 上的中線，AE、AF 分別交 BM 于 G、H 兩點(diǎn)求證：:5:3:2BG GH HM 7 【備用題】 1. M，N 分別是矩形的邊 AD，BC 的中點(diǎn)，在邊 CD 的延長線上取點(diǎn) P，PM 交對角線 AC 于 Q證明： NM 平分PNQ Q P N M D CB A AC 與 MN 交