1、習(xí)題課十:實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的規(guī)范形和 正定矩陣 線性代數(shù)(B) 11/12班 李夢(mèng)璋李夢(mèng)璋 北京學(xué) 數(shù)據(jù)研究院 mcmong 2017年123 1. 次型相關(guān)概念 2. 化次型為標(biāo)準(zhǔn)形 3. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的規(guī)范形 4. 正定矩陣 5. 習(xí)題講解 提綱 1. 次型相關(guān)概念 定義定義 n個(gè)變量的二次齊次函數(shù) 1, , n xxL 1 11 (,) nn nijij ij f xxa x x = =L 其中為常數(shù)，稱(chēng)為(n元)二次型.展開(kāi)寫(xiě) ijji aa= = 2 111 1121211 2 212122222 2 1122 (,) . nnn nn nnnnnnn f xxa xa x xa x x a

2、 x xa xa x x a x xa x xa x =+ + + LL L L L L L L L 11112 221222 12 T , ()(,). n n nnnnn xaaa xaaa XA xaaa f XX AXX AX = = L L MMMM L A稱(chēng)為二次型的矩陣.二次型和其矩陣一一對(duì)應(yīng)矩陣A的秩稱(chēng)為 二次型的秩. 把二次型寫(xiě)成矩陣形式 1. 次型相關(guān)概念 標(biāo)準(zhǔn)形： 規(guī)范形： 合同： 經(jīng)過(guò)可逆線性替換，原次型與新次型合同。 2.化次型為標(biāo)準(zhǔn)形 定理定理 二次型用可逆線性替換可化成標(biāo)準(zhǔn)形 1 ,( ).0,1, . 0 0 r i d d Drr A dir = O L O

3、T fX AX= = XCY= = , T fY DY= 推論推論 對(duì)于對(duì)稱(chēng)矩陣A,存在可逆矩陣C, 使得 T ,C ACD D= =是如上形式的對(duì)角矩陣. 三種方法： （1）配方法：主要包括兩種技術(shù)，配方和消除交叉項(xiàng) （2）正交變換法：基于對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于標(biāo)準(zhǔn)形 （3）初等變換法：基于初等行列變換 3.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的規(guī)范形 定理定理(慣性定理)任意一個(gè)n個(gè)變量的實(shí)二次型 f 都可以經(jīng)過(guò)可逆 線性替換X=CZ化為唯一唯一規(guī)范形 2222 11 , ppr fzzzz + =+LL 其中的r是二次型 f 的秩，P稱(chēng)為正慣性指數(shù). 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是確定的，等于二 次型的

4、秩; 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是確定的，等于 二次 型的正慣性指數(shù); 即任意實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與右邊對(duì)角陣合同 其中1和1的個(gè)數(shù)共有rank(A)個(gè); 1的個(gè)數(shù)由A唯一確定,稱(chēng)之為A正慣性指數(shù); 1的個(gè)數(shù)稱(chēng)為負(fù)慣性指數(shù). 4. 正定矩陣 定義定義 設(shè)A為實(shí)n階對(duì)稱(chēng)矩陣，如果對(duì)于任意非零向量X，二次 型f(X)=XTAX均為正數(shù)，則稱(chēng)二次型f為正定的，其矩陣A稱(chēng)為 正定矩陣. 定義定義 如果對(duì)于任意向量X，二次型f(X)= XTAX均為非負(fù)(非正) 數(shù)，則稱(chēng)二次型f為半正(負(fù))定的，其矩陣A 稱(chēng)為半正(負(fù))定矩 陣. 定義定義 如果實(shí)二次型f(X)= XTAX對(duì)于某些向量X為正數(shù),并且對(duì) 于對(duì)于某些向量X為負(fù)數(shù),則稱(chēng)二次型f(X)=是不定的. 矩陣A為正定矩陣的充要條件有如下幾個(gè)： 1. 矩陣特征值全為正數(shù); 2. 矩陣合同于單位矩陣; 3. 矩陣的全部順序主子式為正數(shù); 4. 矩陣的全部主子式為正數(shù); 5. 存在可逆