1、第八章 非線性最優(yōu)化模型,教 師：朱玉春 教授 單 位：經(jīng)濟管理學院 2011年,西北農(nóng)林科技大學,引言,許多商業(yè)過程都以非線性方式運行。例如，一個債券的價格是利率的非線性函數(shù)，一個優(yōu)先購股權的價格是優(yōu)先股票價格的非線性函數(shù)。 非線性最優(yōu)化問題是在目標函數(shù)或約束條件中至少有一項是非線性的最優(yōu)化問題。 應用LINGO和Excel規(guī)劃求解來求解非線性規(guī)劃。,本章主要內容,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考 8.2 建立一個指數(shù)化證券投資基金 8.3 Markowitz投資組合模型 8.4 另一混合問題 8.5 預測一個新產(chǎn)品的使用,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,8.1.1 一個無

2、約束問題 S：標準包的需求 D：豪華包的需求 S=2250-15PS D=1500-5PD 生產(chǎn)和銷售S個標準包的利潤：PSS-70S 生產(chǎn)和銷售D個豪華包的利潤：PDD-150D 可以求得總利潤的函數(shù)，計算得到的是一個二次函數(shù)?？汕蟮美麧欁畲蠡瘯r的S和D值。,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,8.1.2 一個約束問題 Par公司不能得到無約束問題最優(yōu)解得出的利潤，因為其違反和限制了可行域的約束條件：7/10S+D630 完整數(shù)學模型如下： Max 80S-1/15S2+150D-1/5D2 S.t 7/10S+D 630 切割和印染 1/2S+5/6D 600 縫合 S+2/3D 7

3、08 成型 1/10S+1/4D 135 檢測與包裝 S,D0 這個受約束非線性最大化問題的LINGO解見課本P230。,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,8.1.3 局部和整體最優(yōu) 如果沒有其他有目標函數(shù)值的可行解可以在臨近域里找到，這個可行解就是最優(yōu)的。 非線性最優(yōu)化問題可能有多個局部最優(yōu)解，這意味著我們需要找到最好的局部最優(yōu)解。 在許多非線性應用中，一個唯一的局部最優(yōu)解也是整體最優(yōu)解。 兩種情況：凸函數(shù)和凹函數(shù)（函數(shù)圖形為谷形和山形）,8.1 一個生產(chǎn)應用

4、對Par公司的再思考,凹函數(shù)，像f(X,Y)=-X2 +Y2這種的，有一個唯一的局部最大值,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,凸函數(shù)，像f(X,Y)=X2+Y2這種的，有一個唯一的局部最小值。,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,但是，一些非線性函數(shù)有多個局部最優(yōu)值。,8.1 一個生產(chǎn)應用對Par公司的再思考,8.1.4 對偶價格 在第三章已經(jīng)對度偶價格的概念作了介紹。對偶價格是約束條件右側值每增加一單位最優(yōu)值的改進。 非線性模型中對偶價格的解釋與線性規(guī)劃師完全相同的。然而，非線性問題中卻不常報告可允許的增量和減量。這是因為典型的非線性問題中可允許的增量和減量為零。也就是說，如果

5、你改變右側值，即使是很小的一個值，對偶價格都會改變。,8.2 建立一個指數(shù)化證券投資基金,在5.4節(jié)中，我們研究了Hauck金融服務公司的投資組合和資產(chǎn)分配模型。 指數(shù)化證券投資基金是共有基金行業(yè)中一個相當流行的投資手段。指數(shù)化基金的核心思想是構建一個股票，共有基金或其他有價證券的投資組合，盡可能接近像標準普爾500這樣的泛市場指數(shù)的績效。,8.2 建立一個指數(shù)化證券投資基金,案例,8.2 建立一個指數(shù)化證券投資基金,我們所建立的完整的數(shù)學模型包括11個變量和6個約束條件,8.2 建立一個指數(shù)化證券投資基金,這個最小化問題是非線性的，因為目標函數(shù)中出現(xiàn)了二次項。 該問題的LINGO解見教材P2

6、36。,8.3 Markowitz投資組合模型,Harry Markowitz以投資組合最優(yōu)化做出的突出貢獻，而榮獲了1990年的諾貝爾獎。Markowitz均方差投資組合模型是非線性規(guī)劃的一個典型應用。這個基本模型的大量變種已經(jīng)被全世界的貨幣管理公司采用。 大部分投資組合最優(yōu)化模型必須在風險與回報之間做出一個關鍵權衡。為了獲得更大的回報，投資者也必須面對更大的風險。,8.3 Markowitz投資組合模型,8.3 Markowitz投資組合模型,假定Hauck的客戶想要構建一個投資組合，來最小化由投資組合方差測量的風險。但是客戶也要求預期的投資收益至少為10%。,8.4 另一混合問題,在實際

7、中常常有這樣的情形，在混合地點存儲混合成分的設備數(shù)目少于存儲成分的數(shù)目。在這種情況下各成分必須共用存儲罐或者存儲設備。同樣，當運輸這些成分時，它們常常需要共同一個管道或者傳輸容器。共用一個存儲設備或者管道的成分稱作混合成分。,8.4 另一混合問題,混合物,成分3,常規(guī)汽油,優(yōu)質汽油,x3r,x3p,xpr,xpp,y1,y2,8.4 另一混合問題,在圖中，成分1和成分2混合在一個單獨的存儲罐，成分3有它自己的存儲罐。常規(guī)和優(yōu)質汽油由混合成分和成分3混合而成。必須做出兩類決策，第一，多少比例的成分1和成分2應該用于混合成混合物？第二，多少混合罐中成分1和成分2的混合物將與成分3混合來生產(chǎn)常規(guī)和優(yōu)

8、質汽油？這些決策要求設定下面6個決策變量：,8.4 另一混合問題,Y1=混合罐中成分1的加侖數(shù) Y2=混合罐中成分2的加侖數(shù) Xpr=常規(guī)汽油中混合成分1和成分2的加侖數(shù) Xpp=優(yōu)質汽油中混合成分1和成分2的加侖數(shù) X3r=常規(guī)汽油中成分3的加侖數(shù) X3p=優(yōu)質汽油中成分3的加侖數(shù),8.4 另一混合問題,生產(chǎn)的總加侖數(shù)： 常規(guī)汽油=Xpr+X3r 優(yōu)質汽油=Xpp+X3p 使用的總石油成分： 消耗的成分1和成分2：Y1+Y2=Xpr+Xpp 消耗的成分3： X3r+X3p 成分可用量：成分1: Y1500 成分2: Y210000 成分3: X3r+X3p10000,8.4 另一混合問題,產(chǎn)

9、品的具體要求： 常規(guī)汽油 最多30%成分1 最少40%成分2 最多20%成分3 優(yōu)質汽油 最少25%成分1 最多45%成分2 最少30%成分3 故此混合問題的完整非線性模型包含6個決策變量和11個約束條件。,8.4 另一混合問題,該混合問題的最優(yōu)解見課本P242 對所有成分需要的足夠存儲罐的缺乏，減少了混合可行解的數(shù)目，轉而又導致生產(chǎn)較低的利潤。事實上，這個模型的一個應用時在存儲罐缺乏的情況下，為管理層提供一個關于利潤損失的良好估計。然后管理層就能夠評估購買更多存儲罐的營利性。,8.5 預測一個新產(chǎn)品的使用,這一節(jié)中，我們介紹由Frank Bass建立的一個預測模型，這個模型已經(jīng)被證明對預測創(chuàng)新和新技術在市場上的使用特別有效。這個模型有3個參數(shù)必須進行估計。 m=最終使用新產(chǎn)品的估計人數(shù) q=模仿系數(shù) 測量影響購買的口碑效應 p=創(chuàng)新系數(shù) 測量了在假定沒有受到他人已購買產(chǎn)品的影響時使用的可能性。 Ct-1 表示到時間t-1已經(jīng)使用的人數(shù) 利用這些參數(shù)，可以建立預