1、152012年高考數(shù)學試題解析之全國新課標版（理科） 2012年新課標全國卷理科數(shù)學試卷詳解（適用地區(qū)：豫 晉 疆 寧 吉 黑 蒙 冀 滇）第I卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分每小題有且只有一個選項是符合題目要求的1已知集合A=1，2，3，4，5，B=（，）|，則B中包含元素的個數(shù)為（ ）A3 B6 C8 D10 【解析】由集合B可知，因此B=（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1），B的元素10個，所以選擇D?！军c評】本題主要考察復(fù)數(shù)的運算，屬簡單題。2將2名教師，4名學生分成2個小

2、組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（ ）A12種 B10種 C9種 D8種【解析】先安排甲組，共有種，再安排乙組，將剩余的1名教師和2名學生安排到乙組即可，共有1種，根據(jù)乘法原理得不同的安排方案共有12種，故選擇A。【點評】本題主要考集合的基礎(chǔ)知識，子集的含意。3下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題：；：；：的共軛復(fù)數(shù)為；：的虛部為。其中的真命題為（ ）A， B， C， D，【解析】因為，所以，的共軛復(fù)數(shù)為，的虛部為，所以，為真命題，故選擇C?！军c評】本題主要考察橢圓的簡單幾何性質(zhì)，標準方程的求解。4設(shè)、是橢圓E：（）的左、右焦點，P為直線上一點

3、，是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為（ ）A B C D【解析】如圖所示，是等腰三角形，又，所以，解得，因此，故選擇C?！军c評】本題主要考察空間點到面的距離，及解三角形的知識。5已知為等比數(shù)列，則（ ）A7 B5 C5 D7否是是結(jié)束輸出A，B開始輸入，否是否【解析】因為為等比數(shù)列，所以由已知得，解得或，所以或，因此，故選擇D?！军c評】本題主要考察等差數(shù)列的通項公式及裂項法求和。6如果執(zhí)行右邊和程序框圖，輸入正整數(shù)（）和實數(shù)，輸出A，B，則（ ）A為，的和 B為，的算術(shù)平均數(shù)C和分別是，中最大的數(shù)和最小的數(shù) D和分別是，中最小的數(shù)和最大的數(shù)【解析】由程序框圖可知，A表示，中最大的數(shù)，B表

4、示，中最小的數(shù)，故選擇C。【點評】本題主要考察程序框圖的應(yīng)用。7如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）A6 B9 C12 D15【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐A-BCD，底面BCD為底邊為6，高為3的等腰三角形，側(cè)面ABD底面BCD，AO底面BCD，因此此幾何體的體積為，故選擇B?！军c評】本題主要考察空間幾何體的三視圖。8等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在軸上，C與拋物線的準線交于A，B兩點，則C的實軸長為（ ）A B C4 D8【解析】設(shè)等軸雙曲線C的方程為，即（），拋物線的準線方程為，聯(lián)立方程，解得，因為，所以，從而，所以，因此C的實

5、軸長為，故選擇C?！军c評】本題主要考察雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)。9已知，函數(shù)在（，）上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）A， B， C（0， D（0，2【解析】因為，所以，因為函數(shù)在（，）上單調(diào)遞減，所以，解得，故選擇A?！军c評】本題主要考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。xyO11A1yxO1xyO111xy1OBCD10已知函數(shù)，則的圖像大致為（ ）【解析】的定義域為且，排除D；因為，所以當時，在（1，0）上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)。排除A、C，故選擇B?！军c評】本題主要考察函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用流氓做法，排除即可。11已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球

6、O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）A B C D【解析】如圖所示，根據(jù)球的性質(zhì)，知平面，則。在直角中，所以。因此三棱錐SABC的體積，故選擇A?！军c評】本題主要考察錐體和球的性質(zhì)。12設(shè)點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值為（ ）A B C D【解析】函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱。問題轉(zhuǎn)化為求曲線上點P到直線的距離的最小值，則的最小值為。（用切線法）：設(shè)直線與曲線相切于點，因為，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得，所以切點，從而，所以因此曲線上點P到直線的距離的最小值為直線與直線的距離，從而，所以，故選擇B?！军c評】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的對稱性，求函數(shù)最小值的方法。第

7、卷（共90分）本試卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，夾角為45，且，則_?！敬鸢浮??！窘馕觥坑梢阎Ｒ驗?，所以，即，解得?！军c評】本小題主要考察平面向量的數(shù)量積的知識。14設(shè)，滿足約束條件，則的取值范圍為_?！敬鸢浮?，3?！窘馕觥靠尚杏蛉缬覉D所示。將目標函數(shù)化為。顯然當過點B（1，2）時， ；當過點A（3，0）時， 。因此的取值范圍為3，3?！军c評】本小題主要考察線性規(guī)劃的知識。15某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常

8、工作，且元件3正常工作，則部件正常工作。設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布N（1000，502），且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為_。【答案】?！窘馕觥坑梢阎齻€電子元件的使用壽命超過1000小時的概率均為。因此該部件的使用壽命超過1000小時的概率為。【點評】本小題主要考察概率與正態(tài)分布的知識。16數(shù)列滿足，則的前60項和為_。【答案】?！窘馕觥恳驗?，所以，。由，可得；由，可得；由，可得；從而。又，所以。從而。因此?！军c評】本小題主要考察遞推數(shù)列的知識。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小題滿分12分）已

9、知，分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，。（1）求A；（2）若，ABC的面積為，求，。【解析】（1）根據(jù)正弦定理，得，因為，所以，即，（1）由三角形內(nèi)角和定理，得，代入（1）式得，化簡得，因為，所以，即，而，從而，解得。（2）若，ABC的面積為，又由（1）得，則，化簡得，從而解得，。【點評】本小題主要考察正弦定理、余弦定理及三角變換的知識。18（本小題滿分12分）某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。（1）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤（單位：元）關(guān)于當天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（2）花店記錄

10、了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。若花店一天購進16枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列、數(shù)學期望及方差；若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由?！窘馕觥浚?）當時，； 當時，。 得：。 （2）可取，。 ，。 的分布列為 ， 。答案一：花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花。理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），那么的分布列為的數(shù)學期望為，的方差為，由以上的計算結(jié)果可以看出，即購進16枝

11、玫瑰花時利潤波動相對較小。另外，雖然，但兩者相差不大。故花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花。答案二：花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花。理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），那么的分布列為的數(shù)學期望為，由以上的計算結(jié)果可以看出，即購進17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進16枝玫瑰花時的平均利潤。故花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花?！军c評】本小題主要考察統(tǒng)計、隨機變量的分布列、期望、方差。19（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點，DC1BD。（1）證明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小。【解析】（1）在中， 得：， 同理：，

12、 得：。又DC1BD，所以平面。而平面，所以。（2）解法一：（幾何法）由面。 取的中點，連接，。 因為，所以，因為面面，所以面，從而，又DC1BD，所以面，因為平面，所以。由，BDDC1，所以為二面角A1BDC1的平面角。 設(shè)，則，在直角，所以。 因此二面角的大小為。解法二：（向量法）由面。又平面，所以，以C點為原點，CA、CB、CC1所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系。不妨設(shè)AA1=2，則AC=BC=AA1=1，從而A1（1，0，2），D（1，0，1），B（0，1，0），C1（0，0，2），所以，。設(shè)平面的法向量為，則，所以，即，令，則。設(shè)平面的法向量為，則，所以，即，令，則。所以，

13、解得。因為二面角為銳角，因此二面角的大小為。【點評】本小題主要考察空間線面垂直，線線垂直的判定與性質(zhì)及二面角的求法。20（本小題滿分12分）設(shè)拋物線C：（）的焦點為F，準線為，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交于B，D兩點。（1）若BFD=90，ABD的面積為，求的值及圓F的方程；（2）若A，B，F(xiàn)三點在同一直線上，直線與平行，且與C只有一個公共點，求坐標原點到，距離的比值?！窘馕觥浚?）若BFD=90，則BFD為等腰直角三角形，且|BD|=，圓F的半徑，又根據(jù)拋物線的定義可得點A到準線的距離。因為ABD的面積為，所以，即，所以，由，解得。從而拋物線C的方程為，圓F的圓心F（0，

14、1），半徑，因此圓F的方程為。（2）若A，B，F(xiàn)三點在同一直線上，則AB為圓F的直徑，ADB=90，根據(jù)拋物線的定義，得，所以，從而直線的斜率為或。當直線的斜率為時，直線的方程為，原點O到直線的距離。依題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，因為直線與C只有一個公共點，所以，從而。所以直線的方程為，原點O到直線的距離。因此坐標原點到，距離的比值為。當直線的斜率為時，由圖形的對稱性可知，坐標原點到，距離的比值也為3。21（本小題滿分12分）已知函數(shù)滿足。（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值。【解析】（1）因為，所以，所以，解得，。所以的解析式為。由此得。而是R上的增函數(shù)，且，因此，當時，在上是

15、增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)。綜上所述，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為。（2）由已知條件得。 （i）若，則對任意常數(shù)，當，且，可得，因此式不成立。（ii）若，則。（iii）若，設(shè)，則。 當，；當，從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。所以等價于。 因此。設(shè)，則。所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在在處取得最大值，從而，即。當，時，式成立，故。綜合得，的最大值為。請考生在第22、23、24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑。 22 (本小題滿分10分) 選修41：幾何證明選講如圖，分別為邊，的中點，直線交的外接圓于，兩點。若，證明：（1)；（2）。

16、【解析】（1）因為，分別為邊，的中點，所以。又已知，所以四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF=BD=AD。而，連結(jié)AF，所以ADCF是平行四邊形，故CD=AF。因為，所以BC=AF，故CD=BC。（2）因為，故GB=CF。由（1）可知BD=CF，所以GB=BD。所以。因為，所以，從而， 由（1），所以，從而，故。23（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是。正方形ABCD的頂點都在上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為（2，）。（1)求點A，B，C，D的直角坐標；（2）設(shè)為上任意一點，求的取值范圍。【解析】（1）曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程為，曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，因為點A的極坐標為（2，），所以點B的極坐標為（2，），點C的極坐標為（2，），點D的極坐標為（2，），因此點A的直角坐標為（1，），點B的直角坐標為（，1），