1、2012年秋期中考試九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（一） 命題人：木子店中學(xué) 胡福翔 滿分：100分 時(shí)間：100分鐘 一、選擇題（共5小題，每小題5分，共25分） 1、若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a+1=b-2=c+3=d-4，則a、b、c、d這四個(gè)實(shí) 數(shù)中最大的是（ ） A、a B、b C、c D、d 2、設(shè)x= ，則代數(shù)式x（x+1）（x+2）（x+3）的值為（ ） A、0 B、1 C、-1 D、2 3、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E為BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=1，連 接AE，與CD交于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)與線段DE交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為 （ ） A、 B、 C、 D、 4、如圖1所示，在直角梯形A

2、BCD中ABCD，B=90動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B 出發(fā)，沿梯形的邊由BCDA運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，ABP的面積 為y，把y看作x的函數(shù)，函數(shù)圖象如圖2所示，則ABC的面積為 （ ） 8題圖 第10題圖 A、10 B、16 C、18 D、32 5、 如果方程（x-1）（x2-2x+m）=0的三根可作為一個(gè)三角形的三邊之 長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A、0 B、 C、 D、 二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分） 6、已知x2+x-6是多項(xiàng)式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式，則a= 7、已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=10，且，則的值是 。 8、如圖，在平行四邊形ABCD中，

3、AB=4a，E是BC的中點(diǎn)，BE=2a， BAD=120，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PC的最小值為 。 9、若一直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，內(nèi)切圓半徑是r，則內(nèi)切圓的面積與 三角形面積之比是 10、如圖，已知O的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為弧AmB上的一 點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2，則OAC= 三、解答題（共5小題，滿分50分） 11、（滿分8分）邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊長(zhǎng)是方程x2- （k+2）x+4k=0的兩根，求k的值并確定直角三角形三邊之長(zhǎng) 12、（滿分10分）已知x，y，z滿足（1）求170 x+170y-28的值；（2） 當(dāng)x，y，(2) z為何值時(shí)有最大值？并求出此

4、時(shí)的最大值。 13、閱讀下面材料： 小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在ABC（其中BAC是一個(gè)可以變 化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊PBC，求 AP的最大值 小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的 方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到ABC，連接A A，當(dāng)點(diǎn)A落在AC上時(shí)，此題可解（如圖2） 請(qǐng)你回答：AP的最大值是 參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題： 如圖3，等腰RtABC邊AB=4，P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP+BP+CP 的最小值？ 14、初一學(xué)生幾個(gè)班合作進(jìn)行隊(duì)列表演，在預(yù)演中，這幾個(gè)班的人數(shù) 總和（總數(shù)大于100）恰

5、好排成正方形方陣，然后又挑出部分同學(xué)組 成一個(gè)正三角形的鮮花陣，其余同學(xué)恰好組成一個(gè)等腰梯形的體操陣 進(jìn)行演練，在鮮花陣中第一行1人，以后每一行都比前一行多1人，最 后一行有6人；在體操陣中，每一行的人數(shù)比下一行的人數(shù)少1人，而 每腰上的人數(shù)都比正方形方陣每邊的人數(shù)少3，梯形較大的底邊上的人 數(shù)是每腰人數(shù)的2倍，求這幾個(gè)班人數(shù)的總和. 15、在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在 y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直 線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖1） （1）求邊AB

6、在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積； （2）設(shè)MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值是否有 變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論； （3）設(shè)MN=m，當(dāng)m為何值時(shí)OMN的面積最小，最小值是多少？并 直接寫出此時(shí)BMN內(nèi)切圓的半徑 2012年秋九年級(jí)期中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案 1、解：a+1=b-2， b=a+3， 即ba， b-2=c+3， b=c+5， 即bc， c+3=d-4， d=c+7， 即dc， b-2=d-4， d=b+2， 即db， 據(jù)上可得：d最大 故答案為：D 2、解：原式=（x2+3x）（x2+3x+2） =（x2+3x+1）2-1 x2+3x+1=（x+）2 當(dāng)x=時(shí) 可得x2+3x+

7、1=0， （x2+3x+1）2-1 =0-1 =-1 故選C 3、解：過(guò)點(diǎn)C作CPBG，交DE于點(diǎn)P BC=CE=1， CP是BEG的中位線， P為EG的中點(diǎn) 又AD=CE=1，ADCE， 在ADFECF中 ADFECF（AAS）， CF=DF，又CPFG， FG是DCP的中位線， G為DP的中點(diǎn) CD=CE=1， DE= 因此DG=GP=PE=DE= 連接BD， 易知BDC=EDC=45， 所以BDE=90 又BD=BG= 故選：D 4、解：由圖2知：當(dāng)x=4和x=9時(shí)，ABP的面積相等， BC=4，BC+CD=9， 即CD=5，又知AD=5， 在直角梯形ABCD中AD=5， 如圖，作DEA

8、B，B=90 DE=BC=4，在直角AED中AE= AB=AE+EB=3+5=8， SABC=ABBC=84=16 故選B 5、解：方程（x-1）（x2-2x+m）=0有三根 x1=1，x2-2x+m=0有根，方程x2-2x+m=0的=4-4m0，得m1 又原方程有三根，且為三角形的三邊和長(zhǎng) 有x2+x3x1=1，|x2-x3|x1=1，而x2+x3=21已成立； 當(dāng)|x2-x3|1時(shí)，兩邊平方得：（x2+x3）2-4x2x31 即：4-4m1解得m 故選D 6、解：令2x4+x3-ax2+bx+a+b-1=（x2+x-6）A=（x+3）（x-2）A 取x=-3，x=2分別代入上式， 當(dāng)x=-

9、3時(shí)，2x4+x3-ax2+bx+a+b-1， =281-27-9a-3b+a+b-1， =134-8a-2b， =0 當(dāng)x=2時(shí)，2x4+x3-ax2+bx+a+b-1， =216+8-4a+2b+a+b-1， =39-3a+3b， =0 根據(jù)可得a=16, b=3 7、 解： 又a+b+c=10 = =-3= 8、解：E是BC的中點(diǎn)，BE=2a， BC=2BE=22a=4a， 故BC=AB， 平行四邊形ABCD為菱形 ABD=CBD， BD是ABC的平分線 作E關(guān)BD的對(duì)稱點(diǎn)E， 連接CE，PE， 則PE=PE， 此時(shí)，PE+PC=PE+PC=CE， CE即為PE+PC的最小值 A=120

10、， ABD=ADB=（180-120）2=30 ABC=60， 又BE=BE， EBE為正三角形，EE=2a，ABE=60， 故EE=EC， EEC=ECE=30， BEC=60+30=90， 在RtBCE中， CE= 9、解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊是a，b，則有 S= 又r=a+b=2r+c 將a+b=2r+c代入S= 得：S= 又內(nèi)切圓的面積是r2 它們的比是 10、解：如圖，設(shè)圓的半徑是r，則 AO=r，BO=r， 作直徑BD，作BC關(guān)于直徑BD的對(duì)稱線段BE， 連接EC，BE，ED，AC， 在直角BED中，可以得EBD=30， 因?yàn)榫€段BE與線段BC關(guān)于直線BD對(duì)稱， 所以BC=BE

11、， 所以BD垂直平分線段CE，所以弧DE=弧CD 所以CBD=30而B(niǎo)CA=AOB=45 在三角形ABC中， OAC=180-ABO-CBD-ACB-BAO=15 同理，當(dāng)E為C時(shí)，OAC=60 故答案為：15 11、解：設(shè)直角邊為a，b，（ab）則a+b=k+2，ab=4k， 因方程的根為整數(shù)，故其判別式為平方數(shù)， 設(shè)=（k+2）2-16k=n2（k-6+n）（k-6-n）=132=216=48， k-6+nk-6-n， 或或 解得k1=（不是整數(shù)，舍去），k2=15，k3=12 當(dāng)k2=15時(shí)，a+b=17，ab=60a=5，b=12，c=13， 當(dāng)k3=12時(shí)，a+b=14，ab=48a

12、=6，b=8，c=10 當(dāng)k=15時(shí)，三角形三邊的長(zhǎng)為：5，12，13 當(dāng)k=12時(shí)，三角形三邊的長(zhǎng)為：6，8，10 12、解：（1）2+，得3x+3y=36， x+y=12， 170 x+170y-28=170（x+y）-28=17012-28=2012 （2）由得x+y=12，y-z=3， x=12-y，z=y-3， x2+y2+z2=（144-24y+y2）+y2+（y2-6y+9）=3y2-30y+153=3（y- 5）2+7878 當(dāng)x2+y2+z2=78時(shí)有最大值，最大值為=1此時(shí)y=5，x=7，z=2 13、解：（1）如圖2，ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到ABC， ABA=60，AB=

13、AB，AP=AC ABA是等邊三角形， AA=AB=BA=2， 在AAC中，ACAA+AC，即AP6， 則當(dāng)點(diǎn)A、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC=AA+AC，即AP=6，即AP的最大值 是：6； 故答案是：6 （2）如圖3，RtABC是等腰三角形，AB=BC 以B為中心，將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到APB則AB=AB=BC=4， PA=PA，PB=PB， PA+PB+PC=PA+PB+PC 當(dāng)A、P、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（PA+PB+PC）最短，即線段AC最 短， AC=PA+PB+PC， AC長(zhǎng)度即為所求 過(guò)A作ADCB延長(zhǎng)線于D ABA=60（由旋轉(zhuǎn)可知）， 1=30 AB=4， AD=2，BD=2CD=4+2 在RtADC中AC= AP+BP+CP的最小值是 14、解：設(shè)原正方形方陣每邊有x人，則梯形上底有2（x-3）人，下底有 （x-2）人，根據(jù)題意得 解，得x=11,orx=6 15、解：（1）如圖，S陰=SOAB+S扇形OBB-SOAA-S扇形OAA =S扇形OBB-S扇形OAA=（）2 12=（6分） （2）p值無(wú)變化（7分） 證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)， 在OAE與OCN中， OAEOCN OE=ON，AE=CN（8分） 在OME與OMN中， OMEOMN MN=ME=AM+AE=AM+CN（9分） P=MN+BN+BM=AM+CN