1、專題23 立體幾何角的計算問題在立體幾何命題中，判定和證明空間的線線、線面以及面面之間的位置關系(主要是平行與垂直的位置關系)，計算空間圖形中的幾何量(主要是角與距離)是兩類基本問題正確揭示空間圖形與平面圖形的聯系，并有效地實施空間圖形與平面圖形的轉換是分析和解決這兩類問題的關鍵空間的角與距離的計算(特別是角的計算)是高考熱點，一般以大題的條件或一小問形式呈現，考查用向量方法解決立體幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關系轉化為數量關系，并通過計算解決立體幾何問題本文就高考命題中立體幾何角的計算問題加以總結探討，以提高高考獲取高分.1.異面直線所成的角的計算問題定義：設a，b是兩條異面直線，過空

2、間任一點O作直線aa，bb，則a與b所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是向量求法：設直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則有.利用直線的方向向量的夾角求異面直線的夾角時，注意區(qū)別：當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是此異面直線所成的角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線所成的角幾何法：求異面直線所成角的步驟:一平移,將兩條異面直線平移成相交直線二定角,根據異面直線所成角的定義找出所成角三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數求角四結論【例】(2019河南高一期末)長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為( )ABCD【例】

3、(2019山西高三(文)在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，四邊形為直角梯形，其中，若，分別是線段與線段的中點，則直線和所成角的余弦值為( )ABCD【例】(2019四川高二期末(理)如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段上，E、F分別為、的中點，設異面直線與所成的角為，則的最大值為( )A BB CD2. 直線和平面所成角的計算問題向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.(

4、3)如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.【例】(2019河北棗強中學高二期末)如圖，在正方體中，E，F分別為AD，DC的中點，則與平面所成角的正弦值為( )A BC D【例】(2019四川高二期末(理)在中，是的中點，平面，如果、與平面成的角分別是30和60，那么與平面所成的角為( )A30B45C60D7521(2019陜西西安中學高二期末(理)如圖，正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直，M是AB的中點(1)求證:;(2)在線段EC上是否存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為， 若存在，求

5、出的值；若不存在，說明理由3. 二面角的計算問題(1)二面角的平面角及其求法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據題目選擇方法求出結果(2)如圖1，AB、CD是二面角l的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(3)如圖2、3，分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小(或)【例】(2019天津南開中學高二期中(理)已知四面體中，則二面角的余弦值為( )A BCD【例】(2019湖南長沙一中高二月考)如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角為， ，(1)求證：平面；(2)在線段上求一點，使銳二面角的余弦值為【例】【2018年全國卷理】如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值【反思提升】 (1)運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟：建立恰當的空間直角坐標系；求出相關點的坐標；寫出向量坐標；結合公式進行論證、計算；轉化為幾何結論(2)求空間角注意：兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos