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文檔簡介

1、7 克拉默法則,二元線性方程組,若令,(方程組的系數(shù)行列式),則上述二元線性方程組的解可表示為,一、克拉默法則,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，即,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 階行列式，即,那么線性方程組(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成,定理中包含著三個(gè)結(jié)論：,方程組有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式(2)給出.,這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的. 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論.,關(guān)于克拉默法則的等價(jià)命題,定理4 如果線性方程組(1)的系數(shù)

2、行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .,定理4 如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.,設(shè),例 解線性方程組,解,線性方程組,常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組.,齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)?0,0, 0)就是一個(gè)解，稱為零解. 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解.,我們關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解.,齊次線性方程組的相關(guān)定理,定理5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ，則齊次 線性方程組只有零解，沒有非零解.,定理5 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.,備注 這兩個(gè)結(jié)論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件. 在第三章還將證明這個(gè)條件也是充分的. 即： 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式等于零,練習(xí)題：問 取何值時(shí)，齊次方程組,有非零解？,解,如果齊次方程組有非零解，則必有 .,所以 時(shí)齊次方程組有非零解.,思考題,當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時(shí)方程組的解為何？,答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，不能用克拉默法 則解方程組，因?yàn)榇藭r(shí)方程組的解為無解或有無窮多解.,1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件,(1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)；,(2)系數(shù)行列式不等于零.,2.

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