1、.,1,習(xí)題課,第十部分 曲線、曲面積分,.,2,一. 重點(diǎn)和難點(diǎn)：了解多元函數(shù)積分學(xué)的整體思想。 1. 第型 、第型曲線積分的定義、性質(zhì)、各自不同的計(jì)算方法和 兩型曲線積分互相轉(zhuǎn)換的關(guān)系式。 2. 第型 、第型曲面積分的定義、性質(zhì)、各自不同的計(jì)算方法和 兩型曲面積分之間互相轉(zhuǎn)換的關(guān)系式。 3. 格林公式的條件、結(jié)論和應(yīng)用 。 4. 平面曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題，它們等價(jià)的條件，以及應(yīng)用。 5. 高斯公式的含義和用法. 6. 曲面積分與曲面無(wú)關(guān)的條件. 7. 斯托克斯(Stokes)公式的含義和用法. *8. 空間曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題. 9. 了解散度，會(huì)計(jì)算散度. 10. 了解旋度，會(huì)計(jì)算旋

2、度.,第十部分 曲線、曲面積分,.,3,曲線積分和曲面積分在實(shí)際中的應(yīng)用：求曲線、曲面的質(zhì)量、 重心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；解決變力作功問(wèn)題；解決矢量場(chǎng)沿有向閉曲線的環(huán) 量以及通過(guò)曲面的通量計(jì)算問(wèn)題。 填空(4個(gè)). 二. 下列計(jì)算對(duì)嗎？ (5題) 三. 判別積分的類型并計(jì)算. (4題) 四. 課堂練習(xí). 1. 單項(xiàng)選擇題(3題) 2. 計(jì)算題(3題),習(xí)題課,11.,.,4,（按積分區(qū)域分類）,定積分,二重積分,三重積分,D,曲線積分,曲面積分,一型：對(duì)弧長(zhǎng),二型：對(duì)坐標(biāo),一型：對(duì)面積,二型：對(duì)坐標(biāo),Stokes 公式,高斯公式,格林公式,一.多元函數(shù)積分學(xué)概況,推 廣,推 廣,推 廣,推 廣,.,5,

3、第一型 (對(duì)弧長(zhǎng)),第二型 (對(duì)坐標(biāo)),兩型之間 的關(guān)系,標(biāo)準(zhǔn)形式,物理意義,計(jì)算方法,相似處,不同處,曲線積分,1.都是化曲線積分為 定積分計(jì)算。 2.都要把曲線表示式 代入被積函數(shù)。,積分下限 上限,L方向：從AB,積分下限為起點(diǎn)A的 t 值,上限為終點(diǎn) B的 t 值,此處下限是 , 上限是.,.,1. 第型、第型曲線積分的比較,.,.,6,第一型 (對(duì)面積),第二型 (對(duì)坐標(biāo)),兩型之間 的關(guān)系,標(biāo)準(zhǔn)形式,物理意義,計(jì)算方法,曲面積分, 指空間曲面,為有向曲面,.,.,.,2. 第型、第型曲面積分的比較,.,7,解決,平面的曲線積分與二重積分的聯(lián)系,3. 格林公式,L,D,D,L,l,(

4、逆),(順),則有,其中 L 是 D 的整個(gè)正向邊界曲線.,若：,特殊情況(D是復(fù)連通的)下，格林公式成為：,注：,(逆),(逆),問(wèn)題。,.,8,4. 平面曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題,.,若其中一個(gè)成立，另外三個(gè)也成立。,等價(jià)的意義是：,.,9,5. 高斯公式,曲面積分與三重積分的聯(lián)系,則有,其中 是 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).,若：,.,.,.,解決,問(wèn)題.,.,10,6.曲面積分與曲面無(wú)關(guān)的條件.,.,.,11,7. Stokes 公式,曲線積分與曲面積分的聯(lián)系,若：,解決,問(wèn)題,.,12,7. Stokes 公式,曲線積分與曲面積分的聯(lián)系,則有,若：,解決,問(wèn)題.,.,.,.,13,*8 空間

5、曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題.,.,.,14,9. 散度,.,.,例：,解：,.,.,15,10. 旋度,.,.,例：,解：,由輪序?qū)ΨQ性，,.,16,11.曲線積分和曲面積分的應(yīng)用: 填空.,.,.,.,.,.,17,二 下列計(jì)算對(duì)嗎？,解：,a,D,L,.,.,以上解法對(duì)嗎？,.,.,18,二2,解：,a,.,.,以上解法對(duì)嗎？,Dxy,1,2,.,.,.,19,二3,解：,a,.,以上解法對(duì)嗎？,Dxy,1,2,.,.,.,20,二4,解：,a,.,以上解法對(duì)嗎？,Dxy,1,2,.,.,取上側(cè)；,取下側(cè).,.,21,二5,解：,a,.,以上解法對(duì)嗎？,.,.,.,22,三 判別積分的類型并計(jì)

6、算（4個(gè)）,.,23,3.,.,24,四 課堂練習(xí). 1. 單項(xiàng)選擇題,B,C,B,.,25,2. 計(jì)算題,.,26,謝 謝 使 用,返回首頁(yè),習(xí)題課,.,.,27,A(1,0),B(0,1),C(1,2),解,類型：,I 型曲線積分,三1.,其中，,.,.,.,.,28,1,4,A(1,1),B(2,4),C (1,4),解,類型：,II 型曲線積分,三2.,方法 I：,直接計(jì)算.,1,.,.,也可以用下面的方法：,.,29,1,4,A(1,1),B(2,4),C(1,4),D,解,類型：,II 型曲線積分,貼補(bǔ)，用格林公式.,1,.,先 x,.,.,三2.,方法 II：,.,30,4,解,類型：,I 型曲面積分,三3.,Dxy,用平面極坐標(biāo),.,.,.,.,31,解,類型：,II 型曲面積分,三4.,由第一卦限和第二卦限中的錐面1和2構(gòu)成.,其上側(cè)在yOz平面的投影為負(fù)；,其上側(cè)在yOz平面的投影為正.,h,h,z = y,Dyz,Dyz 圖形？,.,1,2,.,.,.,也可以用下面的方法：,.,32,o,x,y,z,解,類型：,II 型曲面積分,需貼補(bǔ)側(cè)面 （右側(cè)）和半圓頂面 半圓（下側(cè)）.,h,h,Dxy 圖形？,.,三4.,方法 II:,貼補(bǔ)，用高斯公式.,.,半圓,