1、 線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章 行列式 二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的和 （奇偶）排列、逆序數(shù)、對(duì)換行列式的性質(zhì)：行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。 推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。 常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零； 推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式、代數(shù)余子式 定理：行列式中某一行的元素與另

2、一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零。 克萊姆法則： 非齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，有唯一解： 齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，則只有零解 逆否：若方程組存在非零解，則D等于零 特殊行列式：轉(zhuǎn)置行列式：對(duì)稱行列式:反對(duì)稱行列式: 奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零三線性行列式: 方法：用把化為零，?；癁槿切涡辛惺缴希ㄏ拢┤切涡辛惺?行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、 第二章 矩陣 矩陣的概念：（零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣) 矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣）-交換、結(jié)合律 數(shù)乘-分配、結(jié)合律 乘法

3、注意什么時(shí)候有意義 一般AB=BA，不滿足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 轉(zhuǎn)置 (反序定理) 方冪： 幾種特殊的矩陣：對(duì)角矩陣：若AB都是N階對(duì)角陣，k是數(shù)，則kA、A+B、 AB都是n階對(duì)角陣 數(shù)量矩陣：相當(dāng)于一個(gè)數(shù)（若） 單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若） 對(duì)稱矩陣 反對(duì)稱矩陣 階梯型矩陣：每一非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方 都是0 分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置 注：把分出來的小塊矩陣看成是元素 逆矩陣：設(shè)A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的， (非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣) 初等變換1、交換兩行

4、（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性 初等矩陣都可逆 初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的（對(duì)換陣 倍乘陣 倍加陣） 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 矩陣的秩r(A)：滿秩矩陣 降秩矩陣 若A可逆，則滿秩 若A是非奇異矩陣，則r（AB）=r（B） 初等變換不改變矩陣的秩 求法：1定義2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形 矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別： 都是數(shù)表；行列式行數(shù)列數(shù)一樣，矩陣不一樣；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等，就相等，矩陣是一個(gè)數(shù)表，對(duì)應(yīng)元素相等才相等；矩陣，行列式 逆矩陣注：AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=AB=I則A與B一定互逆； 不是

5、所有的方陣都存在逆矩陣；若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律： 1、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且 2、可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且 3、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置也是可逆的，且 4、兩個(gè)可逆矩陣A與B的乘積AB也是可逆的，且 但是兩個(gè)可逆矩陣A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但A為N階方陣，若|A|=0，則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。 5、若A可逆，則伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣： （代數(shù)余子式）特殊矩陣的逆矩陣：（對(duì)1和2，前提是每個(gè)矩陣都可逆） 1、分塊矩陣 則 2、準(zhǔn)對(duì)角矩陣， 則 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆） 7、 8、判斷矩陣是否可逆

6、：充要條件是，此時(shí)求逆矩陣的方法：定義法伴隨矩陣法初等變換法 只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系： 設(shè)是m*n階矩陣，則對(duì)A的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A：對(duì)A的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A （行變左乘，列變右乘） 第3章 線性方程組消元法 非齊次線性方程組：增廣矩陣簡化階梯型矩陣 r(AB)=r(B)=r 當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，有無窮多解 r(AB)r(B)，無解 齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)n 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，有非

7、零解充要|A|=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個(gè)N維向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量，負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系: 線性組合或線性表示 向量組間的線性相關(guān)（無）：定義向量組的秩：極大無關(guān)組（定義P188） 定理：如果是向量組的線性無關(guān)的部分組，則它是 極大無關(guān)組的充要條件是：中的每一個(gè)向量都可由線性表出。 秩:極大無關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。 定理：設(shè)A為m*n矩陣，則的充要條件是：A的列（行）秩為r?，F(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性組合或線性表示注：兩個(gè)向量，若則是線性組合 單位向量組 任意向量都

8、是單位向量組的線性組合 零向量是任意向量組的線性組合 任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無）注： n個(gè)n維單位向量組一定是線性無關(guān) 一個(gè)非零向量是線性無關(guān)，零向量是線性相關(guān) 含有零向量的向量組一定是線性相關(guān) 若兩個(gè)向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量可由線性表示的充要條件是 判斷是否為線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)，求（適合維數(shù)低的）2、 向量間關(guān)系法：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān)3、 分量法（n個(gè)m維向量組）：線性相關(guān)（充要） 線性無關(guān)（充要） 推論當(dāng)m=n時(shí)，相關(guān)，則；無關(guān)，則 當(dāng)m向量維數(shù)時(shí), 向量組必線性相關(guān)；5)部分相關(guān)，則整體必相關(guān)；（整體無關(guān)，則部

9、分必?zé)o關(guān)）.6)若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；7)向量組線性無關(guān)向量組的秩所含向量的個(gè)數(shù)，向量組線性相關(guān)向量組的秩所含向量的個(gè)數(shù);8)向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的充分必要條件是齊次方程組有（沒有）非零解.例7.設(shè)維向量組線性無關(guān),則A. 組中減少任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)B. 組中增加任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)C. 存在不全為零的數(shù),使D. 組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出解析 因?yàn)槿粝蛄拷M線性相關(guān)，則增加任何一個(gè)向量后仍線性相關(guān)，其等價(jià)的定理是向量組相性無關(guān)，則組中減少任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)答案 A例8設(shè)向量，下列命題中正確的是（）A若線性相關(guān)，則必有線性相關(guān)B若線性無關(guān)，則

10、必有線性無關(guān)C若線性相關(guān)，則必有線性無關(guān)D若線性無關(guān)，則必有線性相關(guān)答案 B例9.設(shè)向量組線性無關(guān),而向量組線性相關(guān).證明:向量必可表為的線性組合.測(cè)試點(diǎn) 關(guān)于線性相關(guān)性的幾個(gè)定理證1因?yàn)榫€性相關(guān)，故線性相關(guān)，又因?yàn)榫€性無關(guān),所以必可表為的線性組合. 證畢.證2 因?yàn)榫€性無關(guān),故必線性無關(guān),又因?yàn)榫€性相關(guān)故必能由線性表示,當(dāng)然可表為的線性組合. 證畢. 三、向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩1極大無關(guān)組的定義：設(shè)是向量組的一個(gè)部分組.如果（1）線性無關(guān)；（2）任給，都有線性相關(guān)，則稱是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.2向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表

11、示的的方法例10的行向量組的秩 _.測(cè)試點(diǎn) 矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系;答案 例11設(shè)是一個(gè)4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ ）A1B2C3D4測(cè)試點(diǎn) （1）向量組的秩的概念；（2）向量由向量組線性表示的概念 （3）向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念解 因?yàn)榭梢员頌榈木€性組合，且表示法惟一，必有線性無關(guān),因?yàn)樵O(shè)，由可以表為的線性組合，即故 由表示法惟一，有 于是有，故線性無關(guān)，又可以表為的線性組合，所以為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，故向量組的秩為3.答案 C例12設(shè)向量組（1）求向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組；（2）將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合.測(cè)試

12、點(diǎn) 求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法解 所以 原向量組的秩為， 為所求的極大無關(guān)組.四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標(biāo) 1. 維向量空間的定義：維實(shí)向量的全體構(gòu)成的集合稱為維向量空間，記為.2. 子空間的定義：設(shè)是的一個(gè)非空子集，且滿足對(duì)加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算封閉，則稱是的一個(gè)子空間,簡稱為向量空間.3.生成子空間的定義：設(shè)則由它們的所有線性組合構(gòu)成的一個(gè)子空間，稱它為由生成的子空間.例13 設(shè)，說明哪個(gè)是子空間，那個(gè)不是.解析 在中，任取為任意數(shù)，都有所以是子空間.類似地，可以證明也是子空間.但對(duì)，取都屬于而這表明對(duì)加法運(yùn)算不封閉，故不是子空間. 4

13、. 向量空間的基和維數(shù)的定義向量空間的一個(gè)向量組線性無關(guān)，且中每個(gè)向量都能由它線性表示，則稱它為向量空間的一個(gè)基.零空間沒有基，定義它為0維，否則，稱向量空間的基所含向量個(gè)數(shù)為該空間的維數(shù).設(shè)稱為在這組基下的坐標(biāo).例14向量空間為實(shí)數(shù)的維數(shù)為_.測(cè)試點(diǎn) 向量空間維數(shù)的概念解 容易看出 是的一個(gè)基。答案 例15證明向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標(biāo)是_.測(cè)試點(diǎn) 向量在一組基下的坐標(biāo)解 因?yàn)楣示€性無關(guān)，所以它是的一組基.考慮 該線性方程組的增廣矩陣為 得 所以在這組基下的坐標(biāo)是（即）答案 .例16 求由向量組生成的子空間的一個(gè)基，并說明該生成子空間的維數(shù).解析 顯然是的一個(gè)極大無關(guān)組，故是由

14、向量組生成的子空間的一個(gè)基，所以該子空間的維數(shù)等于第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1. 2.，其中 .3 其中二、齊次線性方程組1齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組有非零解的充分必要條件是未知數(shù)的個(gè)數(shù)（即矩陣的列數(shù)）.2）n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是.3)設(shè)是階矩陣.若，則齊次方程組必有非零解.(這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要)例1設(shè)為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（）A的列向量組線性相關(guān)B的列向量組線性無關(guān)C的行向量組線性相關(guān)D的行向量組線性無關(guān)測(cè)試點(diǎn) 齊次方程組有非零解與列向量組線性相關(guān)的關(guān)系.答案 A例2. 設(shè)是43矩

15、陣，若齊次線性方程組只有零解，則矩陣的秩 _.測(cè)試點(diǎn) 1.齊次方程組只有零解的充分必要條件;2根據(jù)系數(shù)矩陣的階數(shù),確定方程的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的個(gè)數(shù).解析 線性方程組的系數(shù)矩陣的行數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)，列數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)因?yàn)槭?3矩陣，故方程組的未知數(shù)的個(gè)數(shù)，故方程組只有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩答案 例3.齊次線性方程組有非零解,則 .解析 有非零解而 故因?yàn)橛蟹橇憬?，則或答案 或 2. 齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊次方程組解的性質(zhì)設(shè)都是的解，則也是的解(C1，C2為任意常數(shù))2）齊次方程組的基礎(chǔ)解系的概念設(shè)是齊次方程組的一組解.如果它滿足：（1）線性無關(guān)；（2）的任何一個(gè)解都可以表示為的線性組合，則

16、稱為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系.如果齊次方程組有非零解（即），則它有基礎(chǔ)解系.重要結(jié)論:齊次方程組的基礎(chǔ)解系含個(gè)線性無關(guān)的解；齊次方程組的任意個(gè)線性無關(guān)的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎(chǔ)解系；3）齊次方程組的基礎(chǔ)解系的求法例4 3元齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為 .測(cè)試點(diǎn) 齊次方程組的基礎(chǔ)解系 (定義;含幾個(gè)解向量;求法)解 因?yàn)辇R次方程組的系數(shù)矩陣為的秩為,未知數(shù)的個(gè)數(shù)為,所以其基礎(chǔ)解系含個(gè)解.答案 例5已知是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以選用A. B.C.與等秩的向量組D. 與等價(jià)的向量組測(cè)試點(diǎn) 1.齊次方程組的基礎(chǔ)解系 特別是若齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系含4個(gè)解,則它的

17、任意4個(gè)線性無關(guān)的解都是它的基礎(chǔ)解系;2.判斷向量組線性無關(guān)的方法;3.等價(jià)的向量組有相等的秩;等價(jià)與等秩的區(qū)別4,齊次方程組解的性質(zhì).解 因?yàn)槭驱R次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,故都是齊次方程組的解,因?yàn)榕c等價(jià),故能由線性表示,故也都是的解.又因?yàn)榫€性無關(guān),所以該向量組的秩=4,又因?yàn)榈葍r(jià)的向量組有相等的秩,所以的秩也等于4,所以也線性無關(guān).故也是的基礎(chǔ)解系. 所以 D正確.答案 D例6.設(shè)mn矩陣的秩，是齊次線性方程組的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為（）AB CD知識(shí)點(diǎn) 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念及所含解向量的個(gè)數(shù);向量組線性相關(guān)性的判別解 顯然A,B,C選項(xiàng)中的三個(gè)向量都是線性相關(guān)

18、的,而齊次方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)由線性無關(guān)的向量組組成.答案 D 3）齊次方程組的通解公式 如果是基礎(chǔ)解系，則它的通解為 ，其中為任意數(shù).例6求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系及通解.測(cè)試點(diǎn) 求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法解 取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系,該齊次方程組的通解為 為任意數(shù))三非齊次方程組 1非齊次方程組解的性質(zhì)1）設(shè)都是的解，則是它的導(dǎo)出組的解.2）設(shè)都是的解，則當(dāng)時(shí)，也是的解.3）設(shè)是的一個(gè)解，是它的導(dǎo)出組的解,則是的解.例7已知是3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程組有一個(gè)非零解向量_.測(cè)試點(diǎn) 線性非齊次方程組解的性質(zhì) 解 答案 例8設(shè)齊

19、次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解,則是方程組_的解。測(cè)試點(diǎn) 線性方程組解的性質(zhì)答案 2關(guān)于非齊次方程組解的討論定理 個(gè)未知數(shù)，個(gè)方程的線性方程組中，（系數(shù)矩陣是階矩陣）是增廣矩陣.則1）當(dāng)且僅當(dāng)（未知數(shù)的個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有惟一解；2）當(dāng)且僅當(dāng)（未知數(shù)的個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有無窮多解；3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程組無解.從以上定理可見1）線性方程組有解的充分必要條件是.2）當(dāng)線性方程組，方程的個(gè)數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式.例9已知某個(gè)3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為_.測(cè)試點(diǎn) 1.增廣矩陣經(jīng)初等行變換變成,則以為增廣矩陣的線性

20、方程組與原方程組通解; 2.非齊次方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩解 當(dāng)時(shí),故方程組無解.答案 .例10 如果非齊次線性方程組有解,則它有惟一解的充分必要條件是其導(dǎo)出組 .解 非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而它恰是其導(dǎo)出組只有零解,沒有非零解的充要條件.答案 只有零解. 3.非齊次方程組的通解的結(jié)構(gòu)其中是方程的一個(gè)特解，為系數(shù)矩陣的秩，為它的導(dǎo)出組（與它對(duì)應(yīng)的）齊次方程組的基礎(chǔ)解系.例10設(shè)3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解為，且系數(shù)矩陣的秩，則對(duì)于任意常數(shù) 方程組的通解可表為（） 測(cè)試點(diǎn) 1.非齊次線性方程組的通解的公式;2.非齊次方程組解的性質(zhì)3.齊

21、次方程組的基礎(chǔ)解系的概念解 因?yàn)槎际欠驱R次方程組的解，故是它的導(dǎo)出組的解，又因?yàn)闉?元方程組，故它的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解，即它的任何一個(gè)非零解都是它的基礎(chǔ)解系，故就是它的基礎(chǔ)解系，又是非齊次方程組的解，所以為的通解. 答案 C例11設(shè)3元非齊次線性方程組(1) 試判定當(dāng)為何值時(shí),方程組有無窮多個(gè)解?(2) 當(dāng)方程組有無窮多解時(shí),求出其通解(要求用它的一個(gè)特解和它導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).測(cè)試點(diǎn) 線性方程組的討論解所以 當(dāng)即時(shí),方程組無解;當(dāng) 即 時(shí)方程組有惟一解;當(dāng) 即時(shí),方程組有無窮多解.這時(shí)取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為方程組的特解,為其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系.故方程組的通解為 .例12 設(shè)向量可

22、以由向量組線性表示,則數(shù)應(yīng)滿足的條件是A. B. C. D.解析 考察方程,其增廣矩陣為 故方程組有解時(shí),必有答案 C第五章 特征值與特征向量一、特征值與特征向量 1特征值與特征向量的定義要點(diǎn)：是n階方陣的特征值，是指存在非零列向量，使得.這時(shí)，稱為矩陣屬于特征值的特征向量.由此知，是n階方陣的特征值，這時(shí)，齊次方程組的非零解都是矩陣屬于特征值的特征向量.例1 設(shè)為3階矩陣,為3階單位陣,若行列式,則的一個(gè)特征值為 【 】A. B. C. D. 測(cè)試點(diǎn) 為的特征值的充分必要條件是.解 因?yàn)?故所以必有一個(gè)特征值為.答案 B例2 已知矩陣的一個(gè)特征值為，則 _.測(cè)試點(diǎn) 為的特征值的充分必要條件是

23、.解 為矩陣的一個(gè)特征值故.答案 例3 設(shè)3階矩陣的每行元素之和均為2,則必有一個(gè)特征值為 .測(cè)試點(diǎn)1.特征值的定義 2. 解 因?yàn)?階矩陣的每行元素之和均為2, 所以必有一個(gè)特征值為.答案 例4設(shè)矩陣，則的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（）ABCD解 的特征值為，當(dāng)時(shí)，所以，故的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解，這表明只有一個(gè)屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，故的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是.答案 C 2關(guān)于特征值、特征向量的性質(zhì)1）與有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設(shè)都是矩陣屬于特征值的特征向量，是數(shù)，只要，則也是矩陣屬于特征值的特征向量；3) 設(shè)階方陣的個(gè)特征值為,則(2).4）矩陣屬于不同特征

24、值的特征向量線性無關(guān);5）設(shè)是矩陣屬于特征值的特征向量，則是矩陣屬于特征值的特征向量，其中.6)設(shè)是可逆矩陣的特征值.則，且是矩陣的特征值.3特征值、特征向量的求法例5設(shè)階矩陣有一個(gè)特征值為,對(duì)于階單位矩陣,矩陣必有一個(gè)特征值為 .解 ,則,因?yàn)橛幸粋€(gè)特征值為,故必有一個(gè)特征值為例6設(shè)為n階可逆矩陣，已知有一個(gè)特征值為，則必有一個(gè)特征值為_.測(cè)試點(diǎn) 若 為可逆矩陣的一個(gè)特征值，則為矩陣的特征值.解 因?yàn)橛幸粋€(gè)特征值為，故有一個(gè)特征值為,所以必有一個(gè)特征值為.答案 .例7 已知是n階矩陣，且滿足方程,證明的特征值只能是或.測(cè)試點(diǎn) 設(shè)為的特征值，則為矩陣的特征值.矩陣的所有特征值均為0.證 設(shè)為的

25、特征值，則必為的特征值，又因?yàn)?，故，故必有?證畢二、相似矩陣 1.相似矩陣的定義 設(shè)都是階方陣，如果存在可逆陣使得，則稱與相似.2. 相似矩陣的性質(zhì)1)反身性，對(duì)稱性，傳遞性；2）若方陣與相似，則與有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進(jìn)而，且,其中表示矩陣的跡，即,為方陣的n個(gè)特征值；注意：反之，若與有相同的特征值，與不一定相似；例如有相同的特征值，但與不相似.例8 設(shè)3階矩陣與相似,且已知的特征值為則矩陣的跡 【 】A. 3 B. 2 C.1 D.0測(cè)試點(diǎn)1. 相似矩陣的特征值相同;從而其跡和行列式也相同；2.矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關(guān)系.解 由已知的特征值也為故的跡答案

26、 A例9 設(shè)3階矩陣與相似，且已知的特征值為. 則=（）ABC7D12測(cè)試點(diǎn) (1) 相似矩陣的特征值相同;(2)設(shè)為矩陣的一個(gè)特征值,則為矩陣的特征值;為矩陣的特征值.(3)矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關(guān)系.解 因?yàn)?階矩陣與相似,所以與有相同的特征值,所以的特征值為,故的特征值為從而答案 A例10若2階矩陣相似于矩陣，為2階單位矩陣，則與矩陣相似的矩陣是（ ）A BCD測(cè)試點(diǎn) 相似矩陣的概念；相似矩陣的性質(zhì)（若與相似，則與相似；相似矩陣有相同的特征值等）；三角形矩陣的特征值解1 ，故的特征值為.因?yàn)榕c相似，故與相似，所以，凡與矩陣相似的矩陣的特征值都是，故在A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中，

27、正確的只能是C.解2因?yàn)槎A方陣有兩個(gè)不同的特征值，故與對(duì)角陣相似，同理也與對(duì)角陣相似，故與相似.答案 C 3.方陣的對(duì)角化問題1)n階方陣能與對(duì)角陣相似的充分必要條件是有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；設(shè)是方陣的n個(gè)特征值，依次是方陣的屬于特征值的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.若令，則.2）若方陣有n個(gè)不同的特征值（即特征方程無重根），則必能與對(duì)角陣相似.（這是能與對(duì)角陣相似的充分條件，不是必要條件）例11 階矩陣與對(duì)角陣相似的充分必要條件是（ ）A 矩陣有個(gè)特征值 B 矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量C D 矩陣的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根答案 B例12 判斷能否與對(duì)角陣相似.解析 故的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解，即只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故不能與對(duì)角陣相似.例13為三階矩陣