1、目目錄錄 第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題 1.11.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例 1 20XX 年上海市閘北區(qū)中考模擬第 25 題 例 2 20XX 年上海市楊浦區(qū)中考模擬第 24 題 例 3 20XX 年義烏市中考第 24 題 例 4 20XX 年上海市寶山區(qū)中考模擬第 24 題 例 5 20XX 年臨沂市中考第 26 題 例 6 20XX 年上海市閘北區(qū)中考模擬第 25 題 例 7 20XX 年杭州市中考第 24 題 1.21.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題 例 1 20XX 年湖州市中考第 24 題 例 2 20XX 年鹽城市中考第

2、 28 題 例 3 20XX 年上海市閘北區(qū)中考模擬第 25 題 例 4 20XX 年南通市中考第 27 題 例 5 20XX 年重慶市中考第 26 題 例 6 20XX 年上海市中考第 24 題 1.31.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題因動點產(chǎn)生的直角三角形問題 例 1 20XX 年沈陽市中考第 25 題 例 2 20XX 年浙江省中考第 23 題 例 3 20XX 年北京市中考第 24 題 例 4 20XX 年嘉興市中考第 24 題 例 5 20XX 年河南省中考第 23 題 例 6 20XX 年天津市中考第 25 題 1.41.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題 例 1

3、 20XX 年上海市中考第 24 題 例 2 20XX 年江西省中考第 24 題 例 3 20XX 年河南省中考第 23 題 例 4 20XX 年山西省中考第 26 題 例 5 20XX 年福州市中考第 21 題 例 6 20XX 年江西省中考第 24 題 例 7 20XX 年太原市中考第 29 題 1.51.5因動點產(chǎn)生的梯形問題因動點產(chǎn)生的梯形問題 例 1 20XX 年北京市海淀區(qū)中考模擬第 24 題 例 2 20XX 年義烏市中考第 24 題 例 3 20XX 年杭州市中考第 24 題 例 4 20XX 年上海市奉賢區(qū)中考模擬第 24 題 例 5 20XX 年廣州市中考第 25 題 例

4、6 20XX 年河北省中考第 26 題 1.61.6因動點產(chǎn)生的面積問題因動點產(chǎn)生的面積問題 例 1 20XX 年南通市中考第 28 題 例 2 20XX 年上海市松江區(qū)中考模擬第 24 題 例 3 20XX 年廣州市中考第 25 題 例 4 20XX 年揚州市中考第 28 題 例 5 20XX 年蘭州市中考第 29 題 例 6 20XX 年長春市中考第 25 題 1.71.7 因動點產(chǎn)生的相切問題因動點產(chǎn)生的相切問題 例 1 20XX 年上海市奉賢區(qū)中考模擬第 25 題 例 2 20XX 年上海市徐匯區(qū)中考模擬第 25 題 例 3 20XX 年福州市中考第 22 題 例 4 20XX 年鹽城

5、市中考第 28 題 例 5 20XX 年江蘇省中考第 28 題 例 6 20XX 年哈爾濱市中考第 28 題 例 7 20XX 年南京市中考第 27 題 1.81.8 因動點產(chǎn)生的線段和差問題因動點產(chǎn)生的線段和差問題 例 1 20XX 年嘉興市中考第 24 題 例 2 20XX 年菏澤市中考第 21 題 例 3 20XX 年中山市中考第 22 題 例 4 20XX 年南通市中考第 28 題 例 5 20XX 年濟南市中考第 24 題 例 6 20XX 年北京市中考第 25 題 版版 權(quán)權(quán) 聲聲 明明 選自東師范大學(xué)出版社出版的挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題 （含光盤）一書。 該書收錄當(dāng)年全國各地具有代表性

6、的中考數(shù)學(xué)壓軸題， 并把它們分為 4 部分、 24 小類。 該書最大的特色是用幾何畫板和超級畫板做成電腦課件， 并為每一題 錄制了視頻講解， 讓你在動態(tài)中體驗壓軸題的變與不變， 獲得清晰的解題思路， 完成滿分解答，拓展思維訓(xùn)練。 挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題自出版以來廣受讀者歡迎，被評為優(yōu)秀暢銷圖 書。在上海、北京、江蘇、浙江等省市的名牌初中的畢業(yè)班學(xué)生中，幾乎人手 一本，成為沖刺名牌高中必備用書。 由于格式問題，該書最具特色的電腦課件和視頻文件在此無法一并附上， 敬請原諒。 第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題 1.11.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例例 1 20XX1 20X

7、X 年上海市閘北區(qū)中考模擬第年上海市閘北區(qū)中考模擬第 2525 題題 直線y x1分別交x軸、y軸于 A、 B 兩點， AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90 后得到 COD，拋物線 yax2bxc 經(jīng)過 A、C、D 三點 (1) 寫出點 A、B、C、D 的坐標(biāo)； (2) 求經(jīng)過 A、C、D 三點的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點G 的坐標(biāo)； (3) 在直線 BG 上是否存在點 Q，使得以點 A、B、Q 為頂點的三角形與 COD 相似？ 若存在，請求出點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 1 3 圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“11 閘北 25” ， 拖動點 Q 在直線 BG 上

8、運動， 可以體驗到， ABQ 的兩條直角邊的比為 13 共有四種情況，點 B 上、下各有兩種 思路點撥思路點撥 1圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角 2用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點坐標(biāo) 3第（3）題判斷ABQ90是解題的前提 4 ABQ 與 COD 相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點Q 與點 B 的位置關(guān)系分上下兩種情形，點Q 共有 4 個 滿分解答滿分解答 （1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0) （2）因為拋物線yax2bxc 經(jīng)過 A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三點，所以 9a3bc 0, a

9、 1, 解得 c 3,b 2, abc 0.c 3. 所以拋物線的解析式為 yx22x3(x1)24，頂點 G 的坐標(biāo)為(1，4) （3） 如圖2， 直線BG的解析式為y3x1， 直線CD的解析式為y3x3， 因此CD/BG 因為圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以ABCD因此 ABBG， 即ABQ90 因為點 Q 在直線 BG 上，設(shè)點 Q 的坐標(biāo)為(x，3x1)，那么BQ x2(3x)2 10 x Rt COD 的兩條直角邊的比為 13， 如果 Rt ABQ 與 Rt COD 相似， 存在兩種情況： BQ 10 x 3時，3解得x 3所以Q 1(3,10) ，Q 2 (3,8)

10、 BA 10 BQ1111 10 x1 解得當(dāng) 時， x 所以Q 3 ( ,2)，Q 4 (,0) BA33333 10 當(dāng) 圖 2圖 3 考點伸展考點伸展 第（3）題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明 ABBG；二 是BQ x2(3x)2 10 x 我們換個思路解答第（3）題： 如圖 3，作 GHy 軸，QNy 軸，垂足分別為 H、N 通過證明AOBBHG，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可以證明ABG90 在 Rt BGH 中，sin1 1 ，cos1 3 1010 BQ 當(dāng) 3時，BQ 3 10 BA 在 Rt BQN 中，QN BQsin1 3，BN BQcos1 9

11、當(dāng) Q 在 B 上方時，Q 1(3,10)；當(dāng) Q 在 B 下方時，Q2 (3,8) 當(dāng) BQ1111 時，BQ 10同理得到Q 3 ( ,2)，Q 4 (,0) BA3333 例例 2 20XX2 20XX 年上海市楊浦區(qū)中考模擬第年上海市楊浦區(qū)中考模擬第 2424 題題 RtABC 在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖 1 所示，反比例函數(shù)y k (k 0)在第一象限內(nèi) x 的圖像與 BC 邊交于點 D（4，m） ，與 AB 邊交于點 E（2，n） ，BDE 的面積為 2 （1）求 m 與 n 的數(shù)量關(guān)系； （2）當(dāng) tanA 1 時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB 的表達(dá)式； 2 （3）設(shè)直線 AB

12、 與 y 軸交于點 F，點 P 在射線 FD 上，在（2）的條件下，如果AEO 與EFP 相似，求點 P 的坐標(biāo) 圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“11 楊浦 24” ，拖動點 A 在 x 軸上運動，可以體驗到，直線 AB 保持斜率不變，n 始終等于 m 的 2 倍，雙擊按鈕“面積 BDE2” ，可以看到，點 E 正好在 BD 的垂直平分線上，F(xiàn)D/x 軸拖動點 P 在射線 FD 上運動，可以體驗到，AEO 與EFP 相似存在兩種情況 思路點撥思路點撥 1探求 m 與 n 的數(shù)量關(guān)系，用m 表示點 B、D、E 的坐標(biāo)，是解題的突破口 2第（2）題留給第（3）題的隱含條件是 FD/

13、x 軸 3如果AEO 與EFP 相似，因為夾角相等，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，分兩種情況 滿分解答滿分解答 4m k, k （1） 如圖 1， 因為點 D （4， m） 、 E （2， n） 在反比例函數(shù)y 的圖像上， 所以 x2n k. 整理，得 n2m （2）如圖 2，過點 E 作 EHBC，垂足為 H在 RtBEH 中，tanBEHtanA EH2，所以 BH1因此 D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1) 已知BDE 的面積為 2，所以 1)，E(2，2)，B(4，3) 因為點 D（4，1）在反比例函數(shù)y 式為y 1 ， 2 11 BDEH (m1)2 2解得 m1因此 D(4， 22

14、k 的圖像上，所以 k4因此反比例函數(shù)的解析 x 4 x 設(shè)直線 AB 的解析式為 ykxb， 代入 B(4，3)、E(2， 2)， 得 3 4k b, 1 解得k ， 2 2 2k b. b 1 因此直線 AB 的函數(shù)解析式為y 1 x1 2 圖 2圖 3圖 4 （3）如圖 3，因為直線y 1 ，點 D 的坐標(biāo)為（4，1） ，x1與 y 軸交于點 F（0，1） 2 所以 FD/ x 軸，EFPEAO因此AEO 與EFP 相似存在兩種情況： 2 55EAEF 時，解得 FP1此時點 P 的坐標(biāo)為（1，1） 2FPAOFP EAFP2 5FP 如圖 4，當(dāng)時，解得 FP5此時點 P 的坐標(biāo)為（5

15、，1） AOEF25 如圖 3，當(dāng) 考點伸展考點伸展 本題的題設(shè)部分有條件“RtABC 在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1 所示” ，如果沒有這個 條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5 的情況： 第（1）題的結(jié)論m 與 n 的數(shù)量關(guān)系不變第（2）題反比例函數(shù)的解析式為y 直線 AB 為y 12 ， x 1 x7第（3）題 FD 不再與 x 軸平行，AEO 與EFP 也不可能相似 2 圖 5 例例 3 20XX3 20XX 年義烏市中考第年義烏市中考第 2424 題題 如圖 1，已知梯形 OABC，拋物線分別過點 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及

16、頂點M 的坐標(biāo)； （2） 將圖 1 中梯形 OABC 的上下底邊所在的直線OA、 CB 以相同的速度同時向上平移， 分別交拋物線于點 O1、A1、C1、B1，得到如圖2 的梯形 O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積 為 S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含 S 的代數(shù)式表示 x2x1，并求出當(dāng) S=36 時點 A1的坐標(biāo)； （3）在圖 1 中，設(shè)點 D 的坐標(biāo)為(1，3)，動點 P 從點 B 出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的 速度沿著線段 BC 運動，動點 Q 從點 D 出發(fā)，以與點 P 相同的速度沿著線段DM 運動P、 Q 兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q 到達(dá)點 M

17、時，P、Q 兩點同時停止運動設(shè)P、Q 兩點的運動時間 為 t，是否存在某一時刻 t，使得直線 PQ、直線 AB、x 軸圍成的三角形與直線PQ、直線 AB、 拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t 的值；若不存在，請說明理由 圖 1圖 2 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“10 義烏 24” ，拖動點I 上下運動，觀察圖形和圖像，可以體驗 到，x2x1隨 S 的增大而減小雙擊按鈕“第（ 3）題” ，拖動點Q 在 DM 上運動，可以體驗 到，如果GAFGQE，那么GAF 與GQE 相似 思路點撥思路點撥 1第（2）題用含 S 的代數(shù)式表示 x2x1，我們反其道而行之，用 x1，x2

18、表示 S再注 意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了 2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位 置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證 3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB 與 x 軸的夾角不變，直線 AB 與拋物 線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ 的斜率，因此假設(shè)直線 PQ 與 AB 的交點 G 在 x 軸 的下方，或者假設(shè)交點G 在 x 軸的上方 滿分解答滿分解答 （1）拋物線的對稱軸為直線x 1，解析式為y （2） 梯形 O1A1B1C1的面積S 1 2 11 x x，頂點為 M（1，） 848 2(x 1

19、 1 x 2 1) 3(x 1 x 2 )6，由此得到 2 s1 2 111 x 1 x 2 2由于y 2 y 1 3，所以y2 y1 x 2 x 2 x 1 2x 1 3整理，得 38484 1 72 1 (x 2 x 1) (x 2 x 1) 3因此得到x 2 x 1 84S x 2 x 1 14, x 1 6, 當(dāng) S=36 時，解得此時點 A1的坐標(biāo)為（6，3） x2 x 1 2. x2 8. （3）設(shè)直線 AB 與 PQ 交于點 G，直線 AB 與拋物線的對稱軸交于點 E，直線 PQ 與 x 軸交于點 F，那么要探求相似的GAF 與GQE，有一個公共角G 在GEQ 中，GEQ 是直線

20、 AB 與拋物線對稱軸的夾角，為定值 在GAF 中，GAF 是直線 AB 與 x 軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD 由于tanGAF DQt33t20 ，tanPQD ，所以解得t QP5t445t7 圖 3圖 4 考點伸展考點伸展 第（3）題是否存在點 G 在 x 軸上方的情況？如圖 4，假如存在，說理過程相同，求得 的 t 的值也是相同的事實上，圖 3 和圖 4 都是假設(shè)存在的示意圖， 實際的圖形更接近圖 3 例例 4 20XX4 20XX 年上海市寶山區(qū)中考模擬第年上海市寶山區(qū)中考模擬第 2424 題題 如圖 1，已

21、知點 A (-2，4) 和點 B (1，0)都在拋物線y mx 2mx n上 （1）求 m、n； （2）向右平移上述拋物線，記平移后點A 的對應(yīng)點為 A，點B 的對應(yīng)點為 B，若四邊 形 A ABB 為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式； （3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB 的交點為 C，試在 x 軸上找一個點 D，使得 以點 B、C、D 為頂點的三角形與ABC 相似 2 圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“10 寶山 24” ，拖動點 A向右平移，可以體驗到，平移 5 個單位 后，四邊形 A ABB 為菱形再拖動點 D 在 x 軸上運動，可以體驗到，BCD 與ABC 相 似有兩種情

22、況 思路點撥思路點撥 1點 A 與點 B 的坐標(biāo)在 3 個題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法 中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點 B 的坐標(biāo)、AC 和 BC 的長 2拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變 3探求ABC 與BCD 相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，BACCBD，因此按照夾角的 兩邊對應(yīng)成比例，分兩種情況討論 滿分解答滿分解答 (1) 因為點 A (-2，4) 和點 B (1，0)都在拋物線y mx 2mx n上，所以 2 44m 4m n 4, 解得m ，n 4 3 m 2m n 0. (2)如圖 2，由點A (-2，4) 和點 B (1，0)，可

23、得AB5因為四邊形A ABB 為菱形，所 以 A ABB AB5因為y 4 2 8416 2 x x 4 x1 ，所以原拋物線的對 3333 , 稱軸 x1 向右平移 5 個單位后，對應(yīng)的直線為x4 因此平移后的拋物線的解析式為y 4 x 42 16 33 圖 2 (3) 由點 A (-2，4) 和點 B (6，0)，可得 A B4 5 如圖 2，由 AM/CN，可得 2BCBNBC ，即 解得BC 5所以 8BMBA4 5 AC 3 5根據(jù)菱形的性質(zhì)，在ABC 與BCD 中，BACCBD 如圖 3，當(dāng) 標(biāo)為（3，0） 如圖 4，當(dāng) 坐標(biāo)為（ ABBC55 時，解得BD 3此時 OD3，點D

24、的坐 ACBD3 5BD 5BDABBD513 時，解得BD 此時OD，點D 的 ACBC333 55 13 ，0） 3 圖 3圖 4 考點伸展考點伸展 在本題情境下，我們還可以探求BCD 與AB B相似，其實這是有公共底角的兩個等 腰三角形，容易想象，存在兩種情況 我們也可以討論BCD 與CB B相似，這兩個三角形有一組公共角B，根據(jù)對應(yīng)邊 成比例，分兩種情況計算 例例 5 20XX5 20XX 年臨沂市中考第年臨沂市中考第 2626 題題 如圖 1，拋物線經(jīng)過點 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點 （1）求此拋物線的解析式； （2）P 是拋物線上的一個動點，過P 作 PMx 軸，

25、垂足為M，是否存在點P，使得以 A、P、M 為頂點的三角形與OAC 相似？若存在，請求出符合條件的 點 P 的坐標(biāo)；若不 存在，請說明理由； （3） 在直線 AC 上方的拋物線是有一點D， 使得DCA 的面積最大， 求出點 D 的坐標(biāo) , 圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09 臨沂 26” ，拖動點P 在拋物線上運動，可以體驗到， PAM 的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P 在 B 左側(cè)” 、 “ P 在 x 軸上方”和“P 在 A 右側(cè)” ，可以顯 示PAM 與OAC 相似的三個情景 雙擊按鈕“第(3)題” ， 拖動點 D 在 x 軸上方的拋物線上運動，觀察DCA 的形狀和面 積

26、隨 D 變化的圖象，可以體驗到，E 是 AC 的中點時，DCA 的面積最大 思路點撥思路點撥 1已知拋物線與 x 軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便 2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長 3按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程 4把DCA 可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA 滿分解答滿分解答 （1）因為拋物線與x 軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為 1 y a(x 1)(x 4)，代入點 C 的 坐標(biāo)（0，2） ，解得a 所以拋物線的解析式為 2 115 y (x 1)(x 4) x2x 2 222 1 （2）設(shè)

27、點 P 的坐標(biāo)為(x, (x 1)(x 4) 2 1 如圖 2，當(dāng)點 P 在 x 軸上方時，1x4，PM (x 1)(x 4)，AM 4 x 2 1 (x 1)(x 4) AMAO 2，那么 2 如果 2解得x 5不合題意 PMCO4 x 1 (x 1)(x 4) AMAO11 ，那么 2 如果解得x 2 PMCO24 x2 此時點 P 的坐標(biāo)為（2，1） 如圖 3，當(dāng)點 P 在點 A 的右側(cè)時，x4，PM 1 (x 1)(x 4)，AM x 4 2 1 (x 1)(x 4) 2 解方程 2，得x 5此時點 P 的坐標(biāo)為(5,2) x 4 1 (x 1)(x 4) 1 2 解方程，得x 2不合

28、題意 x 42 1 如圖 4，當(dāng)點 P 在點 B 的左側(cè)時，x1，PM (x 1)(x 4)，AM 4 x 2 1 (x 1)(x 4) 解方程 2 2，得x 3此時點 P 的坐標(biāo)為(3,14) 4 x 1 (x 1)(x 4) 1 解方程 2 ，得x 0此時點 P 與點 O 重合，不合題意 4 x2 綜上所述，符合條件的 點 P 的坐標(biāo)為（2，1）或(3,14)或(5,2) 圖 2圖 3圖 4 （3）如圖 5，過點 D 作 x 軸的垂線交 AC 于 E直線 AC 的解析式為y 設(shè)點 D 的橫坐標(biāo)為 m(1 m 4)，那么點D 的坐標(biāo)為(m, 1 x 2 2 1 2 5 m m 2)，點 E

29、的 22 11 2 511 2 坐標(biāo)為(m, m 2)所以DE (m m 2)(m 2) m 2m 22222 11 222 因此S DAC (m 2m)4 m 4m (m 2) 4 22 當(dāng)m 2時，DCA 的面積最大，此時點D 的坐標(biāo)為（2，1） 圖 5圖 6 考點伸展考點伸展 第（3）題也可以這樣解： 如圖 6，過 D 點構(gòu)造矩形 OAMN，那么DCA 的面積等于直角梯形 CAMN 的面積減去 CDN 和ADM 的面積 設(shè)點 D 的橫坐標(biāo)為（m，n）(1 m 4)，那么 111 (2n 2)4m(n 2)n(4 m) m 2n 4 222 1 2 5 2 由于n m m 2，所以S m

30、4m 22 S 例例 6 20XX6 20XX 年上海市閘北區(qū)中考模擬第年上海市閘北區(qū)中考模擬第 2525 題題 如圖 1，ABC 中，AB5，AC3，cosA 3 D 為射線 BA 上的點（點 D 不與點 B 10 重合） ，作 DE/BC 交射線 CA 于點 E. (1) 若 CEx，BDy，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域； (2) 當(dāng)分別以線段 BD，CE 為直徑的兩圓相切時，求DE 的長度； (3) 當(dāng)點 D 在 AB 邊上時，BC 邊上是否存在點 F，使ABC 與DEF 相似？若存在， 請求出線段 BF 的長；若不存在，請說明理由 圖 1備用圖備用圖 動感體驗動感體

31、驗 請打開幾何畫板文件名“09 閘北 25” ，拖動點D 可以在射線 BA 上運動雙擊按鈕“第 （2）題” ，拖動點 D 可以體驗到兩圓可以外切一次，內(nèi)切兩次 雙擊按鈕“第（3）題” ，再分別雙擊按鈕“DE 為腰”和“DE 為底邊” ，可以體驗到， DEF 為等腰三角形 思路點撥思路點撥 1先解讀背景圖，ABC 是等腰三角形，那么第（3）題中符合條件的DEF 也是等 腰三角形 2用含有 x 的式子表示 BD、DE、MN 是解答第（2）題的先決條件，注意點E 的位置 不同，DE、MN 表示的形式分兩種情況 3求兩圓相切的問題時，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗方程的解的位置是否符 合題意 4第（

32、3）題按照DE 為腰和底邊兩種情況分類討論，運用典型題目的結(jié)論可以幫助我 們輕松解題 滿分解答滿分解答 （1）如圖 2，作 BHAC，垂足為點 H在 RtABH 中，AB5，cosA 所以 AH AH3 ， AB10 31 AC所以 BH 垂直平分 AC，ABC 為等腰三角形，ABCB5 22 ABAC5 因為 DE/BC，所以，即 5 3 于是得到y(tǒng) x， （x 0） DBEC3 yx DEAEMNAN （2）如圖 3，圖 4，因為 DE/BC，所以，即 DE |3 x| ， BCACBCAC 53 1 |3x| MN 2 因此DE 5|3 x| ，圓心距MN 5|6 x| 3653 在M

33、中，r M 圖 2圖 3圖 4 11511 BD y x，在N 中，r N CE x 22622 5130 當(dāng)兩圓外切時，xx 5|6 x| 解得x 或者x 10 6213 6 30 如圖 5，符合題意的解為x ，此時DE 5(3 x) 15 13 313 51 當(dāng)兩圓內(nèi)切時，xx 5|6 x| 62 6 30 當(dāng) x6 時，解得x ，如圖 6，此時 E 在 CA 的延長線上，DE 5(x3) 15 ； 7 37 當(dāng) x6 時，解得x 10，如圖 7，此時 E 在 CA 的延長線上，DE 5(x3) 35 33 圖 5圖 6圖 7 （3）因為ABC 是等腰三角形，因此當(dāng)ABC 與DEF 相似時

34、，DEF 也是等腰三 角形 如圖 8，當(dāng) D、E、F 為ABC 的三邊的中點時，DE 為等腰三角形 DEF 的腰，符合題 意， 此時 BF2.5 根據(jù)對稱性， 當(dāng) F 在 BC 邊上的高的垂足時， 也符合題意， 此時 BF4.1 如圖 9，當(dāng) DE 為等腰三角形 DEF 的底邊時，四邊形 DECF 是平行四邊形，此時 BF 125 34 圖 8圖 9圖 10圖 11 考點伸展考點伸展 第（3）題的情景是一道典型題，如圖10，如圖11，AH 是ABC 的高，D、E、F 為 ABC 的三邊的中點，那么四邊形DEHF 是等腰梯形 例例 7 20XX 7 20XX 年杭州市中考第年杭州市中考第 242

35、4 題題 如圖 1，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)點A（0，t） ，點 Q（t，b） 平移二次函數(shù)y tx的 圖象，得到的拋物線F 滿足兩個條件：頂點為Q；與 x 軸相交于B、C 兩點 （OB0） （1）當(dāng) t2 時，AP_，點 Q 到 AC 的距離是_； （2）在點P 從 C 向 A 運動的過程中，求APQ 的面積 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出 t 的取值范圍） ； （3）在點E 從 B 向 C 運動的過程中，四邊形QBED 能否成為直角梯形？若能，求t 的 值；若不能，請說明理由； （4）當(dāng) DE 經(jīng)過點 C 時，請直接寫出 t 的值 圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“0

36、9 河北 26” ，拖動點 Q 由 A 向 C 運動，可以體驗到： 在點 P 從 C 向 A 運動的過程中，S 關(guān)于 t 的函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部分； 四邊形 QBED 可以兩次成為直角梯形，雙擊按鈕“直角梯形1”和“直角梯形1”可以 準(zhǔn)確顯示； DE 兩次經(jīng)過點 C，雙擊按鈕“P 向 A 時，DE 過 C”和“P 向 C 時，DE 過 C”可以準(zhǔn) 確顯示 思路點撥思路點撥 1第（1）題求點 Q 到 AC 的距離，暗示了第（2）題求APQ 的高的方法 2分類討論直角梯形QBED 的存在性，按照 DE 與 AB、AC 平行的可能性分兩種情況， 列方程的依據(jù)是 RtAQP 的三邊比為 3

37、45 3分類討論DE 經(jīng)過點 C，按照P 運動的方向分兩種情況，列方程的依據(jù)是PCQC 滿分解答滿分解答 （1）1； 8 5 4 5 （2）如圖 2，作 QFAC 于 F 在 RtABC 中，AC3，AB5，所以 BC4，sin A 44 ，所以QF t 55 1142 2 6 因此S APQF (3t)t t t 22555 在 RtAQF 中，AQt，sin A （3）如圖 3，當(dāng) DE/QB 時，AQP90在 RtAQP 中，AP3t，AQt， cos A QP3t39 ，所以解得t AP53t58 AP33t315 ，所以解得t QP5t58 如圖 4，當(dāng) DE/BC 時，APQ90在

38、 RtAQP 中，AP3t，AQt， cos A 圖 2圖 3圖 4 （4）t 545 或t 214 考點伸展考點伸展 第（4）題可以這樣解：過點Q 作 QGBC 于 G，那么 18 3 4 QC2QG2GC2 (5t)t t2t 9 5 55 22 如圖 5，點 P 由 C 向 A 運動，DE 經(jīng)過點 C，此時 PCt由PC QC，得 185 t2 t2t 9解得t 52 22 如圖 6，點 P 由 A 向 C 運動，DE 經(jīng)過點 C，此時 PC6t由PC QC，得 1845 (6t)2 t2t 9解得t 514 情形還可以用幾何說理解答：由于CQCPAQ，所以QACQCA 根據(jù)等角的余角相

39、等，因此BBCQ所以 CQBQ于是得到 Q 是 AB 的中點， 22 t 5 2 圖 5圖 6 第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題 1.61.6因動點產(chǎn)生的面積問題因動點產(chǎn)生的面積問題 例例 1 20XX 1 20XX 年南通市中考第年南通市中考第 2828 題題 m (x0)交于點 B(2， 1) 過點P(p, p1)(p x mm 1)作 x 軸的平行線分別交曲線y (x0)和y (x0)于 M、N 兩點 xx （1）求 m 的值及直線 l 的解析式； （2）若點 P 在直線 y2 上，求證：PMBPNA； （3）是否存在實數(shù) p，使得 SAMN4SAMP？若存在，請求出所有滿足條件的p 的

40、值； 若不存在，請說明理由 如圖 1， 直線 l 經(jīng)過點 A(1， 0)， 且與雙曲線y 圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“11 南通 28” ，拖動點P 在射線 AB 上運動，可以體驗到，當(dāng)直 線 MN 經(jīng)過（0，2）點時，圖形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN 和AMP 是兩 個同高的三角形，MN4MP 存在兩種情況 思路點撥思路點撥 1第（2）題準(zhǔn)確畫圖，點的位置關(guān)系盡在圖形中 2第（3）題把 SAMN4SAMP轉(zhuǎn)化為 MN4MP，按照點 M 與線段 NP 的位置關(guān)系分 兩種情況討論 滿分解答滿分解答 m 上，所以 m2設(shè)直線 l 的解析式為y kxb， x k b 0,

41、 解得 k 1, 所以直線 l 的解析式為代入點 A(1，0)和點 B(2，1)，得y x1 2k b 1.b 1. （2）由點P(p, p1)(p1)的坐標(biāo)可知，點 P 在直線y x1上 x 軸的上方如圖 2， 當(dāng) y2 時，點 P 的坐標(biāo)為(3，2)此時點 M 的坐標(biāo)為(1，2)，點 N 的坐標(biāo)為(1，2) 由 P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點的位置關(guān)系，可知PMB 為等腰直角三角形 由 P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三點的位置關(guān)系，可知PNA 為等腰直角三角形 所以PMBPNA （1）因為點 B(2，1)在雙曲線y 圖 2圖 3圖 4 （3）AMN 和AMP 是兩個

42、同高的三角形，底邊MN 和 MP 在同一條直線上 當(dāng) SAMN4SAMP時，MN4MP 2 2 2 如圖 3，當(dāng) M 在 NP 上時，xMxN4(xPxM)因此 () 4(x1) 解 x x x 得x 1 131 131 13 或x （此時點 P 在 x 軸下方，舍去） 此時p 222 如 圖4 ， 當(dāng)M在NP的 延 長 線 上 時 ， xM xN 4(xM xP) 因 此 1515 2 2 2 解得或（此時點 P 在 x 軸下方，舍去） 此 x x () 4(x1) 22x xx 15 2 時p 考點伸展考點伸展 在本題情景下，AMN 能否成為直角三角形？ 情形一，如圖 5，AMN90，此時

43、點M 的坐標(biāo)為（1，2） ，點 P 的坐標(biāo)為（3，2） 情形二，如圖 6，MAN90，此時斜邊 MN 上的中線等于斜邊的一半 不存在ANM90的情況 圖 5圖 6 例例 2 20XX2 20XX 年上海市松江區(qū)中考模擬第年上海市松江區(qū)中考模擬第 2424 題題 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，直角梯形OABC 的頂點 O 為坐標(biāo)原點，頂點A、C 分別在 x 軸、y 軸的正半軸上，CBOA，OC4，BC3，OA5，點 D 在邊 OC 上，CD 3，過點 D 作 DB 的垂線 DE，交 x 軸于點 E （1）求點 E 的坐標(biāo)； （2）二次函數(shù) yx2bxc 的圖像經(jīng)過點 B 和點 E 求二次

44、函數(shù)的解析式和它的對稱軸； 如果點 M 在它的對稱軸上且位于 x 軸上方，滿足 SCEM2SABM，求點 M 的坐標(biāo) 圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“11 松江 24” ，拖動點 M 在拋物線的對稱軸上運動，觀察面積 比的度量值，可以體驗到，有兩個時刻，面積的比值等于2 思路點撥思路點撥 1這三道題目步步為贏，錯一道題目，就要影響下一道的計算 2點 M 在拋物線的對稱軸上且位于 x 軸上方，要分兩種情況討論，分別為點 M 在線 段 FB 和 FB 的延長線上因為用點 M 的縱坐標(biāo)表示ABM 的底邊長，因點 M 的位置不同 而不同 滿分解答滿分解答 （1） 因為 BCOA， 所以

45、 BCCD 因為 CDCB3， 所以BCD 是等腰直角三角形 因 此BCD45又因為 BCCD，所以O(shè)DE45所以O(shè)DE 是等腰直角三角形， OEOD1所以點 E 的坐標(biāo)是（1，0） （2） 因為拋物線yx2bxc經(jīng)過點B （3， 4） 和點E （1， 0） ， 所以 93bc 4, 1bc 0. b 6, 解得所以二次函數(shù)的解析式為 yx26x5，拋物線的對稱軸為直線x3 c 5. 如圖 2，如圖 3，設(shè)拋物線的對稱軸與x 軸交于點 F，點 M 的坐標(biāo)為（3，t） S CEM S 梯形OFMC S MEF S COE 111t (4t)32t 14 4 2222 （）如圖 2，當(dāng)點 M 位于

46、線段 BF 上時，S ABM 1 (4t)2 4t解方程 2 t88 4 2(4t)，得t 此時點 M 的坐標(biāo)為（3，） 525 （）如圖 3，當(dāng)點 M 位于線段 FB 延長線上時，S ABM 程 1 (t 4)2 t 4解方 2 t 4 2(t 4)，得t 8此時點 M 的坐標(biāo)為（3，8） 2 圖 2圖 3 考點伸展考點伸展 對于圖 2，還有幾個典型結(jié)論： 此時，C、M、A 三點在同一條直線上；CEM 的周長最小 可以求得直線 AC 的解析式為y 因此點 M（3， 48 x4，當(dāng) x3 時，y 55 8 ）在直線 AC 上 5 因為點 A、E 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，所以MEMCMAMC 當(dāng)

47、 A、M、C 三點共線時，MEMC 最小，CEM 的周長最小 例例 3 20XX3 20XX 年廣州市中考第年廣州市中考第 2525 題題 如圖 1，四邊形 OABC 是矩形，點 A、C 的坐標(biāo)分別為(3,0)，(0,1)點 D 是線段 BC 上 的動點（與端點 B、C 不重合） ，過點 D 作直線y 1 xb交折線 OAB 于點 E 2 （1）記ODE 的面積為 S，求 S 與 b 的函數(shù)關(guān)系式； （2） 當(dāng)點E在線段OA上時， 若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1， 試探究四邊形 O1A1B1C1與矩形 OABC 的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊 部分

48、的面積；若改變，請說明理由 圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“10 廣州 25” ，拖動點 D 由 C 向 B 運動，觀察 S 隨 b 變化的函 數(shù)圖像，可以體驗到，E 在 OA 上時，S 隨 b 的增大而增大；E 在 AB 上時，S 隨 b 的增大而 減小雙擊按鈕“第（3）題” ，拖動點 D 由 C 向 B 運動，可以觀察到，E 在 OA 上時，重 疊部分的形狀是菱形，面積不變雙擊按鈕“第（2）題”可以切換 思路點撥思路點撥 1數(shù)形結(jié)合，用 b 表示線段 OE、CD、AE、BE 的長 2求ODE 的面積，要分兩種情況當(dāng)E 在 OA 上時，OE 邊對應(yīng)的高等于 OC；當(dāng)E 在 A

49、B 邊上時，要利用割補法求ODE 的面積 3第（3）題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形 4圖形翻著、旋轉(zhuǎn)等運動中，計算菱形的邊長一般用勾股定理 滿分解答滿分解答 (1)如圖 2， 當(dāng) E 在 OA 上時， 由y 時 SS ODE 1 OE2b 此 xb可知， 點 E 的坐標(biāo)為(2b,0)， 2 11 OEOC 2b1 b 22 1 xb可知，點D 的坐標(biāo)為(2b2,1)， 2 13 CD2b2，BD52b把 x3 代入y xb可知，點 E 的坐標(biāo)為(3,b)，AE 22 35 b，BE b此時 22 如圖 3，當(dāng) E 在 AB 上時，把y1 代入y SS 矩形 OABCSOAE SBDE S

50、OCD 3 131 51 3(b)(b)(52b)1(2b2) 222 22 5 b2b 2 (2)如圖 4，因為四邊形 O1A1B1C1與矩形 OABC 關(guān)于直線 DE 對稱，因此 DMDN，那 么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形DMEN 是菱形 作 DHOA，垂足為 H由于 CD2b2，OE2b，所以 EH2 設(shè)菱形 DMEN 的邊長為 m在 RtDEH 中，DH1，NH2m，DNm，所以 12 (2m)2m2解得m 55 所以重疊部分菱形 DMEN 的面積為 44 圖 2圖 3圖 4 考點伸展考點伸展 把本題中的矩形 OABC 繞著它的對稱中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形 （如

51、圖 5） ， 那么這個菱形的最小面積為1，如圖 6 所示；最大面積為 5 ，如圖 7 所示 3 圖 5圖 6圖 7 例例 4 20XX 4 20XX 年揚州市中考第年揚州市中考第 2828 題題 如圖 1，在ABC 中，C90，AC3，BC4，CD 是斜邊 AB 上的高，點E 在斜 邊 AB 上，過點 E 作直線與ABC 的直角邊相交于點 F，設(shè) AEx，AEF 的面積為 y （1）求線段 AD 的長； （2）若 EFAB，當(dāng)點 E 在斜邊 AB 上移動時， 求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x 的取值范圍） ； 當(dāng) x 取何值時，y 有最大值？并求出最大值 （3）若點 F 在直角邊 A

52、C 上（點 F 與 A、C 不重合） ，點 E 在斜邊 AB 上移動，試問， 是否存在直線 EF 將ABC 的周長和面積同時平分？若存在直線 EF，求出 x 的值；若不存 在直線 EF，請說明理由 圖 1備用圖 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“10 揚州 28” ，拖動點E 在 AB 上運動，從y 隨 x 變化的圖像可 以體驗到，當(dāng)F 在 AC 上時，y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) F 在 BC 上時，y 隨 x 變化的圖像是開 口向下的拋物線的一部分，y 的最大值對應(yīng)拋物線的頂點雙擊按鈕“第（3）題” ，我們已 經(jīng)設(shè)定好了 EF 平分ABC 的周長，拖動點 E，觀察圖像，可以體驗到，

53、“面積 AEF”的值 可以等于 3，也就是說，存在直線EF 將ABC 的周長和面積同時平分雙擊按鈕“第（2） 題”可以切換。 思路點撥思路點撥 1第（1）題求得的 AD 的長，就是第（2）題分類討論 x 的臨界點 2第（2）題要按照點 F 的位置分兩種情況討論 3第（3）題的一般策略是：先假定平分周長，再列關(guān)于面積的方程，根據(jù)方程的解的 情況作出判斷 滿分解答滿分解答 (1) 在 Rt ABC 中 ，AC 3 ， BC 4 ， 所 以 AB 5 在 Rt ACD 中 ， 39 AD ACcos A 3 55 (2) 如圖 2， 當(dāng) F 在 AC 上時，0 x 以y 94 在 RtAEF 中，EF AE tan A x 所 53 12 AEEF x2 23 9 5 3 (5 x)所 4 如圖 3，當(dāng) F 在 BC 上時， x 5在 RtBEF 中，EF BE tanB 以y 1315 AEEF x2x 288 92 2 54 當(dāng)0 x 時，y x 的最大值為； 5325 3 2 15357575 x x (x)2 的最大值為 88823232 575 因此，當(dāng)x 時，y 的最大值為 232 當(dāng)x 5時，y 9 5 圖 2圖 3圖 4 (3)ABC 的周長等于 12，面積等于 6 先假設(shè) EF 平分ABC 的周長，那么 AEx，AF6x，x 的變化范圍為