1、b,1,2.4 鏡 象 法 Method of images,b,2,根據(jù)前面的討論知道：在所考慮的區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布時，可用Laplaces equation求解場分布；在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時，用Poissons equation 求解場分布。 如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個或者幾個點電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類問題又如何求解？這就是本節(jié)主要研究的：解決這類問題的一種特殊方法 稱為鏡象法。,b,3,1、鏡象法的基本問題 在點電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時，空間的靜電場是由點電荷和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。 在所求的場空間中，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點

2、而言能否用場空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個或幾個假想的電荷來代替呢？ 光學成像理論給我們的啟發(fā)：當我們把點電荷作為物，把導(dǎo)體或介質(zhì)界面作為面鏡，那么導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷就可作為我們所說的象，然后把物和象在場點處的貢獻迭加起來，就是我們討論的結(jié)果。,b,4,2、鏡象法的理論基礎(chǔ) 鏡象法的理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實質(zhì)是在所研究的場域外的適當?shù)胤?，用實際上不存在的 “象電荷” 來代替真實的導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點的作用。在代替的時候，必須保證原有的場方程、邊界條件不變，而象電荷的大小以及所外的位置由Poissons equation or Laplaces equation

3、 和邊界條件決定。 這里要注意幾點： a) 唯一性定理要求所求電勢必須滿足原有電荷分布所滿足的Poissons equation or Laplaces equation，即所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由點電荷位置、大小不能變）。因此，做替代時，假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。,b,5,b)由于象電荷代替了真實的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認為原來的真實的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在。也就是把整個空間看成是無界的均勻空間。并且其介電常數(shù)應(yīng)是所研究場域的介電常數(shù)。（實際是通過邊界條件來確定假想電荷的大小和

4、位置）。 c)一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來的電荷分布。 d)象電荷是虛構(gòu)的，它只在產(chǎn)生電場方面與真實的感應(yīng)電荷或極化電荷有等效作用。而其電量并不一定與真實的感應(yīng)電荷或真實的極化電荷相等，不過在某些問題中，它們卻恰好相等。 e)鏡象法所適應(yīng)的范圍是：所求區(qū)域有少許幾個點電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點電荷代替；導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。,b,6,3、鏡象法的具體應(yīng)用 用鏡象法解題大致可按以下步驟進行 ： a)正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件；（坐標系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定） b)根據(jù)給定的邊界條件計算象電荷的電量和所在位置； c)

5、由已知電荷及象電荷寫出勢的解析形式； d) 根據(jù)需要要求出場強、電荷分布以及電場作用力、電容等。,鏡像法往往比分離變量法簡單，但它只能用于一些特殊的邊界情況。,b,7,點電荷與平面導(dǎo)體,(a),點電荷與球形導(dǎo)體,Q,點電荷的鏡像,b,8,各種簡單邊界的組合作為邊界,b,9,線電荷與平面導(dǎo)體,線電荷與圓柱形導(dǎo)體,線電荷的鏡像,b,10,導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為：,（1）鏡像電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷不一定相等。,（2）由鏡像法求出電勢分布以后，由上式可求感應(yīng),平面與圓柱形邊界的組合作為邊界,電荷,b,11,電偶極子的鏡像,注意：,鏡像電荷的位置由邊界形狀決定，與電量及界面性質(zhì)無關(guān)。,b,12,應(yīng)用舉例

6、,接地無限大平面導(dǎo)體板附近有一點電荷，求空間電勢。,從物理問題的對稱性和邊界條件考慮，設(shè)想在導(dǎo)體板左與電荷Q對稱的位置上放一個假想電荷Q ，然后把板抽去。 這樣，沒有改變所考慮空間的電荷分布（即沒有改變電勢服從的泊松方程）,Q,Q/,z,P,r,r,a,b,13,討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布,b,14,（b）電荷Q 產(chǎn)生的電場的電力線全部終止在導(dǎo)體面上 它與無導(dǎo)體時，兩個等量異號電荷產(chǎn)生的電場在 右半空間完全相同。,（c） 與 位置對于導(dǎo)體板鏡象對稱，故這種方法稱 為鏡象法（又稱電象法）,（d）導(dǎo)體對電荷Q 的作用力相當兩點電荷間的作用力,b,15,導(dǎo)體板上部空間的電場可以看作原電荷與鏡象

7、電荷共同激發(fā)的電場。場點P的電勢,導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確實可以用板下方一個假想電荷Q代替。,可以看出，引入象電荷取代感應(yīng)電荷，的確是一種求解泊松方程的簡潔方法。,b,16,鏡像法所解決的問題中最常見的是導(dǎo)體表面作為邊界的情況，但也可用于絕緣介質(zhì)分界面的場問題。,例2,設(shè)電容率分別為1和2的兩種均勻介質(zhì)，以無限大平面為界。在介質(zhì)1中有一點電荷Q，求空間電勢分布。,解：,先考慮介質(zhì)1 中的電勢，設(shè)想將下半空間換成與上半空間一樣，并在z=-a處有Q的像電荷Q來代替分界面上極化電荷對上半空間場的影響。則在Z0的區(qū)域，空間一點的電勢為,(1),b,17,再考慮介質(zhì)2中的電勢2，這時我們不能用上面的像電荷Q

8、來計算2區(qū)域內(nèi)的電勢。這是因為，按照電像法，像電荷必須在所考慮的區(qū)域之外。 所以，我們現(xiàn)在把在2區(qū)域外的電荷Q及其引起的極化電荷合起來，用2區(qū)域外的一個像電荷Q來統(tǒng)一考慮。設(shè)z0上半空間的介質(zhì)1全部換為介質(zhì)2 ，并在z=b處有一電荷Q ，則z R0 處有一點電荷 Q，求空間各點電勢。,b,22,設(shè),因 任意的,解得 ,b,23, ，Q發(fā)出的電力線一部分會聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到無窮遠。,（3）討論：,b,24, 球面感應(yīng)電荷分布,導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認為電荷 移到地中去了。,b,25,總感應(yīng)電荷為 即感應(yīng)電荷的大小等于象電荷Q的大小。 也可以這樣證明： 根據(jù)Gauss定理，對球

9、作Gauss面，即,b,26,式中的 是象電荷Q和真實電荷Q共同產(chǎn)生的，即 故 Q感=Q 即感應(yīng)電荷的電量Q感等于象電荷的電量Q。,b,27,根據(jù)上述例子，作如下幾點討論： a) 導(dǎo)體球既不接地又不帶電 這種情況與本例的差別僅在于邊界條件，這里 導(dǎo)體球不帶電，即要求滿足電中性條件 顯然，例3的解不滿足電中性的條件，如果在球內(nèi)再添置一個象電荷 ，則滿足電中性條,b,28,件，為了不破壞導(dǎo)體是等位體的條件，由對稱性知道，Q必須放在球心處，于是 再由,b,29,得到 b)導(dǎo)體球不帶電其電勢為U0 這種情況與例3的差別仍然在邊界條件，這里 U0 是已知常數(shù)，導(dǎo)體球的電勢為U0，相當于在球心處放置了電量

10、為 的點電荷，顯然，其解為,b,30,由 得到 c)若點電荷Q在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心a處 這時與例3的情況相比，僅是源電荷的位置由球,b,31,外搬進到球內(nèi)。此時，接地球殼外無場強，場的區(qū)域在球內(nèi)。故可根據(jù)光路可逆性原理來解釋：球內(nèi)的電勢等于源電荷Q和球面上的感應(yīng)電荷（球殼內(nèi)表面） 象電荷Q（在球外 處）產(chǎn)生的電勢： 這里要注意：象電荷的電量Q大于源電荷的電量Q，球殼內(nèi)的電勢與導(dǎo)體球殼是否接地、是否帶電無關(guān)。,b,32,d) 若導(dǎo)體球帶電q但不接地 這種情況的物理模型為： 則球心有電荷（q- Q) ，則P點的電勢為,b,33,由 得到,b,34,順便計算導(dǎo)體對點電荷Q的作用力： 此時，源電荷Q所受

11、到的作用力來自球面上的電荷，即 從而得到,b,35,當aR0 ， ，即近似為兩點電荷作用，作用力為排斥力； 當Q靠近球面時， ，此時不論q與Q是否同號，作用力永遠為引力，這可由在Q附近的感應(yīng)電荷與其反號來解釋。,就是Q與Q及位于球心處的等效電荷q+Q的作用力之和。,b,36,4. 均勻場中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢 由于靜電屏蔽， 場區(qū)域只能在球外。 Solution: 本題的物理圖象是在原有的均勻電場 中放置一中性導(dǎo)體球。此時導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷也要在空間激發(fā)場，故使原來的場空間電場發(fā)生了變化，如圖所示。由此可見，球外空間任一點的場將是一個均勻場和一個球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場的迭加。,b,37,

12、第一步：用兩個點電荷Q激發(fā)一均勻場 點電荷Q放在對稱軸z= a處，a很大，Q也很大，在坐標原點附近的區(qū)域內(nèi)。 第二步： 將一中性導(dǎo)體球放在均勻場中,b,38,這樣一來，Q相當于兩個場源電荷，球面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由象電荷來代替它，即 此時+Q在球面上感應(yīng)的電量為 ，-Q在球面上感應(yīng)電量為 ，這仍然保持導(dǎo)體球為電中性（不管導(dǎo)體球接地與否）。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的,b,39,電勢就是這四個點電荷分別在某點產(chǎn)生的電勢的迭加，即 因為aR， 則選 略去 和,b,40,即 又因為 皆為小量，應(yīng)用展開式,b,41,則有,b,42,第一項恰好等于原均勻場以o點為參考點電勢。第二項恰好等于位于o點的電偶極

13、矩為 的電偶極子的電勢。,原點附近像電荷代替感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電偶極矩,b,43,5.半徑為R0,電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場E0中，求電勢分布。,解：,設(shè)均勻電場E0方向為Z軸正方向，則E0可看成是由Z軸上兩個等量異號電荷激發(fā)，一是位于z=-處的正電荷Q，一是位于z=+處的負電荷-Q。這一對正負電荷的鏡像電荷正好組成一個電偶極子位于坐標原點，所以，求球外空間的電勢1時，可用原點處的電偶極子p代替極化電荷的作用。,(1),b,44,求球內(nèi)空間的電勢2時，可以認為介質(zhì)充滿整個空間，,極化電荷的作用用z=處的點電荷Q代替。這一對,等量異號電荷與激發(fā)E0的點電荷Q處于同一位置，設(shè),總電量為kQ，則激發(fā)的電場為kE0，電勢為,(2),在介質(zhì)球面上（R=R0），滿足,(3),(4),由(3)可得：,(5),b,45,由(4)可得：,(6),聯(lián)立(5)、(6)解得：,所以，,與課本P49例2結(jié)果完全相同，但計算量小得多。,b,46,思考：,如果將介質(zhì)球換成導(dǎo)體球，結(jié)果如何？,導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷同樣可用球心處的電偶極子p代替。,(1),(1)式在球面上（R=R0），滿足,(2)