1、遼寧省遼陽市2020屆高三數(shù)學(xué)二模考試試題 理（含解析）第卷（共60分）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集定義直接求解即可【詳解】 集合，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的運(yùn)算，考查交集定義，屬于基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可【詳解】 ， ，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示

2、法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（）A. -4B. -2C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求解即可【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分），由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線，過點(diǎn)時，直線的截距最大，此時最小，由，解得代入目標(biāo)函數(shù)，得， 目標(biāo)函數(shù)的最小值是.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法，屬于基礎(chǔ)題4.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義得，即可

3、解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再利用通項(xiàng)公式及其等差數(shù)列的求和公式即可得出答案【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，解得 故選C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查推理能力與計(jì)算能力，解題時注意整體思想的運(yùn)用，屬于中檔題6.函數(shù)的圖象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除，；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)選A.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，排除，；又函數(shù)的零點(diǎn)為和，故選:A.【

4、點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與函數(shù)零點(diǎn)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.7.某學(xué)生5次考試的成績(單位:分)分別為85，67，80，93，其中,若該學(xué)生在這5次考試中成績的中位數(shù)為80，則得分的平均數(shù)不可能為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)為，可知，從而得到平均數(shù)小于等于，從而確定結(jié)果.【詳解】已知四次成績按照由小到大的順序排序?yàn)椋?，該學(xué)生這次考試成績的中位數(shù)為，則所以平均數(shù)：，可知不可能為本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中的中位數(shù)、平均數(shù)問題，關(guān)鍵是通過中位數(shù)確定取值范圍，從而能夠得到平均數(shù)的范圍.8.已知某幾何體是由一個三棱柱和一個三棱錐組合而成的，其三視圖

5、如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，可知為三棱柱和三棱錐的組合體，分別求解體積，加和得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，該幾何體的直觀圖如圖所示：即該幾何體為一個三棱柱與一個三棱錐的組合體則三棱柱體積；三棱錐體積所求體積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查組合體體積的求解，關(guān)鍵是通過三視圖準(zhǔn)確還原幾何體.9.已知函數(shù)部分圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（ ）A. 直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸B. 函數(shù)圖像的對稱中心是，C. D. 函數(shù)的最小正周期為【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)對稱軸求得，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求對稱軸、對稱中心、周期以及函

6、數(shù)值，最后作判斷.【詳解】由圖可知，是函數(shù)的對稱軸，所以解得，因?yàn)?，所以?函數(shù)的最小正周期為,由 得對稱軸方程為，由 得對稱中心為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖象求三角函數(shù)解析式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析判斷與求解能力，屬中檔題.10.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則的最小的一項(xiàng)是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用配湊法將題目所給遞推公式轉(zhuǎn)化為，即證得為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，由此求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的表達(dá)式，并根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸求得當(dāng)時有最小值.【詳解】由已知得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，其對稱軸.所以的最小的一項(xiàng)是第項(xiàng).故選A.【點(diǎn)睛】本小

7、題考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查二次函數(shù)求最值的方法，屬于中檔題.11.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條漸近線與相切，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】符合條件的漸近線方程為，與圓相切，即d=r，代入公式，即可求解【詳解】雙曲線C的漸近線方程為，與圓相切的只可能是，所以圓心到直線的距離d=，得，所以，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分析推理，計(jì)算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題。12.設(shè)表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，函數(shù)，若有且只有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先令，再畫出及在上的圖象，即可判定x0時的交

8、點(diǎn)個數(shù)，再把x0時方程整理成，結(jié)合單調(diào)性即可求出a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，令，由，得，解得，作出及在上的圖象.如圖，可知有個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，則當(dāng)時，函數(shù)有1個零點(diǎn)，令，則，結(jié)合題意知，解得，且，解得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因?yàn)?故，故當(dāng)時，由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn)，若函數(shù)有5零點(diǎn)，則,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)的取值范圍，其中解答中正確作出函數(shù)圖像，把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，結(jié)合圖象求解是解答關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.第卷（共90分）二、填空題（本大題共4小題，

9、共20.0分）13.已知，的夾角為，則_.【答案】【解析】【分析】先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求得的值，再開平方即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，的夾角為，所以，所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題. 向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14.的展開式中的系數(shù)為_【答案】120【解析】【分析】先拆項(xiàng)：，再分別根據(jù)二項(xiàng)展開式求特定項(xiàng)系數(shù)，最后求和得結(jié)果.【詳解】，因?yàn)榈恼归_式中含的項(xiàng)為的展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故答案為：120【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式求特定項(xiàng)系數(shù)，考查基本分析判斷與求解能力，屬基礎(chǔ)

10、題.15.某天，小趙、小張、小李、小劉四人一起到電影院看電影，他們到達(dá)電影院之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)天正在放映A，B，C，D，E五部影片，于是他們商量一起看其中的一部影片：小趙說：只要不是B就行;小張說：B，C，D，E都行;小李說：我喜歡D，但是只要不是C就行;小劉說：除了E之外，其他的都可以據(jù)此判斷，他們四人可以共同看的影片為_【答案】D【解析】小趙可以看的電影的集合為，小張可以看的電影的集合為，小李可以看的電影的集合為小劉可以看的電影的集合為，這四個集合的交集中只有元素D，故填D16.如圖，在長方體中，點(diǎn)在棱上，當(dāng)取得最小值時，則棱的長為_.【答案】【解析】【分析】把長方形展開到長方形所在平面，利用三

11、點(diǎn)共線時取得最小值，利用勾股定理列方程組，解方程組求得的值.【詳解】把長方形展開到長方形所在平面，如圖，當(dāng)，在同一條直線上時，取得最小值，此時，令，則，得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間中的最短距離問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，若.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理、兩角和的正弦公式、三角形的內(nèi)角和定理化簡已知條件，求得的值，進(jìn)而求得的大小.（2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，由三角形面積公式，求得面積的最大值.【詳解

12、】解：（1）由余弦定理可得，則，即，所以，因?yàn)?，則，所以.（2）由余弦定理可知，即，所以，則.所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用余弦定理解三角形，考查利用基本不等式求三角形面積的最大值，考查兩角和的正弦公式的應(yīng)用，考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，屬于中檔題.18.某種類型的題目有，5個選項(xiàng)，其中有3個正確選項(xiàng)，滿分5分.賦分標(biāo)準(zhǔn)為“選對1個得2分，選對2個得4分,選對3個得5分，每選錯1個扣3分，最低得分為0分”在某校的一次考試中出現(xiàn)了一道這種類型的題目，已知此題的正確答案為，假定考生作答的答案中的選項(xiàng)個數(shù)不超過3個.（1）若甲同學(xué)無法判斷所有選項(xiàng)，他決定在這5個選項(xiàng)中任選3個作為答案

13、，求甲同學(xué)獲得0分的概率；（2）若乙同學(xué)只能判斷選項(xiàng)是正確的，現(xiàn)在他有兩種選擇：一種是將AD作為答案，另一種是在這3個選項(xiàng)中任選一個與組成一個含有3個選項(xiàng)的答案，則乙同學(xué)的最佳選擇是哪一種,請說明理由.【答案】（1）；（2）見解析【解析】分析】（1）先確定甲同學(xué)獲得0分時對應(yīng)答題情況，再根據(jù)古典概型概率公式求解，（2）分別計(jì)算兩種情況下得分的數(shù)學(xué)期望值，再比較大小，即可判斷選擇.【詳解】（1）甲同學(xué)在這5個選項(xiàng)中任選3個作為答案得分為0分，只有一種情況，那就是選了1個正確答案2個錯誤答案.所以，所求概率.（2）乙同學(xué)的最佳選擇是選擇.理由如下：設(shè)乙同學(xué)此題得分為分，若乙同學(xué)僅選擇，則，的數(shù)學(xué)期

14、望若乙同學(xué)選擇3個選項(xiàng)，則他可能的答案為，共3種.其中選擇，得分均為分，其概率為；選擇，得分為5分，其概率為.所以數(shù)學(xué)期望.由于，所以乙同學(xué)的最佳選擇是選擇.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率以及數(shù)學(xué)期望，考查基本分析判斷與求解能力，屬中檔題.19.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊長為的等邊三角形，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)余弦定理計(jì)算得，再根據(jù)勾股定理得,即得為等腰直角三角形，取的中點(diǎn)，可得結(jié)合條件根據(jù)線面垂直判定定理得，即得根據(jù)勾股定理得，根據(jù)線面垂直判定定理得，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空

15、間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，故，所以，且為等腰直角三角形.取的中點(diǎn)，連接，由，得，連接，因?yàn)椋?，所?又，所以，即.又，所以，又.所以.（2）解：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量，令，則，所以，設(shè)平面的法向量，令，則，所以，故.因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空間向量求二面角，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.20.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為，為

16、坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，為等腰直角三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用表示出點(diǎn)到直線的距離；再利用和的關(guān)系得到方程，求解得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時，假設(shè)直線方程，利用斜率之和為得到與的關(guān)系，將直線方程化為，從而得到定點(diǎn)；當(dāng)斜率不存在時，發(fā)現(xiàn)直線也過該定點(diǎn)，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）解：由題意可知：直線的方程為，即則因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以又可解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：由（1）知當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為代入，得所以

17、，即設(shè)，則，因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為所以整理得所以直線的方程為顯然直線經(jīng)過定點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為，設(shè)，則所以，解得此時直線的方程為顯然直線也經(jīng)過該定點(diǎn)綜上，直線恒過點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解、橢圓中的定點(diǎn)問題，解決定點(diǎn)問題的關(guān)鍵是能夠通過已知中的等量關(guān)系構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的等式，減少參數(shù)數(shù)量，從而變成只與一個參數(shù)有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求得定點(diǎn).21.已知函數(shù)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn).（1）求的取值范圍.（2）證明：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再分離變量，轉(zhuǎn)化為研究對應(yīng)函數(shù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域確

18、定的取值范圍，（2）先由（1）得，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性以及是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化不等式為，化簡轉(zhuǎn)化證不等式,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可根據(jù)單調(diào)性證結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?所以由兩個不等的實(shí)數(shù)解，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時，且，所以，解得，的取值范圍為.（2）證明：由（1）得，即，且.要證，只需，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，即證，又所以只需證.令，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即.故【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)以及證明不等式，考查綜合分析論證與求解能力，屬難題.22.在直角坐標(biāo)系中，直線方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與的交點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為，且點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，求.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）將曲線變?yōu)槠胀ǚ匠?，然后將，分別代入和的方程中，從而得到極坐標(biāo)方程；（2）將代入曲線的極坐標(biāo)方程，可以得到，從而求得，得到坐標(biāo)代入，從而求得.【詳解】（1）將，代入中得到直線的極坐標(biāo)方程為：在曲線的參數(shù)方程中，消去，可得即將，代入中得到曲線的極坐標(biāo)方程為（2）在極坐標(biāo)系中，由已知可設(shè)，聯(lián)立，可得所以因?yàn)辄c(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，所以，即把代入，得所以【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程部