1、平面向量的數(shù)量積及運算律（2）教學目的：1掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關問題；3掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題 教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律教學難點：平面向量數(shù)量積的應用授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析： 啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質(zhì)教學過程：一、復習引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向

2、量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0 3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0時投影為 |b|；當q = 180時投影為 -|b|4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量1ea = ae =|a|cosq；2ab ab = 03當a與b同向時

3、，ab = |a|b|；當a與b反向時，ab = -|a|b| 特別的aa = |a|2或4cosq = ；5|ab| |a|b|7判斷下列各題正確與否：1若a = 0，則對任一向量b，有ab = 0 ( )2若a 0，則對任一非零向量b，有ab 0 ( )3若a 0，ab = 0，則b = 0 ( )4若ab = 0，則a 、b至少有一個為零 ( )5若a 0，ab = ac，則b = c ( )6若ab = ac，則b = c當且僅當a 0時成立 ( )7對任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc) ( )8對任意向量a，有a2 = |a|2 ( )二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運算律1

4、交換律：a b = b a證：設a，b夾角為q，則a b = |a|b|cosq，b a = |b|a|cosq a b = b a2數(shù)乘結合律：(a)b =(ab) = a(b)證：若 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq3分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點O，作= a, = b

5、，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和， 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2 c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc說明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）()三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 1

6、6ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 兩式相減：2ab = b2代入或得：a2 = b2設a、b的夾角為q，則cosq = q = 60例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和解：如圖：ABCD中，=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，且，試問四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量解：四邊形ABCD是矩形，這是因為：一方面：0，（），()（）即由于，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對邊分別相等四邊形ABC

7、D是平行四邊形另一方面，由，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得(2)即，也即ABBC綜上所述，四邊形ABCD是矩形評述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應注意這一隱含條件應用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關鍵是構造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關系四、課堂練習：1下列敘述不正確的是（ ）A向量的數(shù)量積滿足交換律 B向量的數(shù)量積滿足分配律C向量的數(shù)量積滿足結合律 Dab是一個實數(shù)2已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為，則(a+2b)(a-3b)等于（ ）A72 B-72 C36 D-363|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位

8、置關系為（ ）A平行 B垂直 C夾角為 D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150，則(a+b) 5已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,則|a+b|=_,|a-b|= 6設|a|=3,|b|=5,且a+b與ab垂直，則 參考答案：1C 2B 3B 4 +2 5 6五、小結 通過本節(jié)學習，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運算規(guī)律，掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)解決相關問題六、課后作業(yè)1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為，那么向量m

9、=a-4b的模為（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件4已知向量a、b的夾角為，|a|=2,|b|=1,則|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= 6已知ab、c與a、b的夾角均為60，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)_7已知|a|=1,|b|=,(1)若ab,求ab;(2)若a、b的夾角為，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角8設m、n是兩個單位向量，其夾角為，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角9對于兩個非零向量a、b，求使|a+tb|最小時的t值，并求此時b與a+tb的夾角參考答案：1D 2B 3C 4 5 63 6 117 (1)- (2) (3)45 8 120 9 90七、板書設計（略）八、課后記及備用資料：1常用數(shù)量積運算公式在數(shù)量積運算律中，有兩個形似實數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應用較為廣泛即(ab)aabb，（ab）aabb