1、第四章 函數(shù)的連續(xù)性1 連續(xù)性概念 （第73-74 頁）1按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)：（1） ； （2）證明 （1）的定義域為，對其定義域上任一點，有，故在連續(xù)，由的任意性知，在其定義域內(nèi)連續(xù) （2）的定義域為 對其定義域上任一點，取，當時，有，故，從而在連續(xù)，由的任意性知，在其定義域內(nèi)連續(xù) 2指出下列函數(shù)的間斷點并說明其類型：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）解 （1） 在處間斷，因為不存在，所以是的第二類間斷點 （2） 在間斷，因為，故是的跳躍間斷點 （3） 因為，所以在間斷 由于，從而是的可去間斷點 （4） 因為，所以在間斷 由于，從而是的可去間斷點 （5

2、）因為，所以在間斷 由于， ， ，故是的跳躍間斷點 （6） 在間斷 當時，極限不存在，故是的第二類間斷點 （7） 因為，不存在，故是的第二類間斷點 又，故是的跳躍間斷點 3延拓下列函數(shù)，使其在 R 上連續(xù)：（1）； （2）；（3）解 （1） 因為在無定義，且，于是，延拓為函數(shù)，在 R 上連續(xù) （2） 在無定義，于是，延拓為函數(shù)，在 R 上連續(xù) （3） 在無定義，于是延拓為函數(shù)，在 R 上連續(xù) 4證明：若在點連續(xù)，則與也在點連續(xù) 又問：若與在點連續(xù)，那么在點是否必連續(xù)？證明 設(shè)在點續(xù)，即，使得當時，有 這時，有，故也在點連續(xù) 因為在點連續(xù)，于是在極限存在，從而由極限的局部有界性知，存在及，使得當

3、時，有 現(xiàn)在取，當時，有 所以在點連續(xù)若與在點連續(xù)，在點不一定連續(xù) 例如，設(shè) 則，在點處連續(xù)，但在不連續(xù)5設(shè)當時，而 證明：與兩者中至多有一個在連續(xù)證明 因為，所以，假設(shè)與兩個都在連續(xù)，則 與題設(shè)矛盾，所以與兩者中至多有一個在連續(xù)6設(shè)為區(qū)間I上的單調(diào)函數(shù) 證明：若為的間斷點，則必是的第一類間斷點證明 由本章定理310及第三章第3節(jié)習題5，知和都存在，所以是的第一類間斷點7設(shè)函數(shù)只有可去間斷點，定義 證明為連續(xù)函數(shù)證明 任取函數(shù)定義域內(nèi)的一點，對，由知，當時，有而由知，使，且，當時，有取，則當，有故有，即，由的任意性知，為連續(xù)函數(shù)8設(shè)為R 上的單調(diào)函數(shù)，定義證明在R上每一點右連續(xù) 證明 不妨設(shè)為

4、R 上的單調(diào)增函數(shù)，任取R，對，由存在知，當時，有由為R 上的單調(diào)增函數(shù)，知對任意的R ，且對滿足條件的，有，即有 ，從而，故，在上右連續(xù)9舉出定義在 0, 1 上分別符合下述要求的函數(shù)：（1）只在，和三點不連續(xù)的函數(shù)；（2）只在，和三點連續(xù)的函數(shù)；（3）只在 （）上間斷的函數(shù)；（4）只在右連續(xù)，而在其他點都不連續(xù)的函數(shù)解 （1）函數(shù)只在，和三點不連續(xù)（2）令，其中為Dirichlet函數(shù)，則，只在，和三點連續(xù)（3）函數(shù)，只在 （）上間斷（4）設(shè)為Dirichlet函數(shù)，則函數(shù)只在右連續(xù)2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) （第80-82 頁）1討論復合函數(shù)與的連續(xù)性，設(shè)（1）； （2）解 （1）因為，所以，處

5、處連續(xù) 又，所以，除外，處處連續(xù)，是跳躍間斷點 （2），故是的跳躍間斷點 ，處處連續(xù) 2設(shè)，在點連續(xù)，證明：（1）若，則存在，使在其內(nèi)有；（2）若在某內(nèi)有，則證明 因為，在點連續(xù)，故， （1）由于，故由第三章第2節(jié)習題7（2），知存在，使在其內(nèi)有從而在內(nèi)，有（2）設(shè)在內(nèi)，有 因為，所以，分別存在，使得當時，有，當時有 令，則當時，有，從而 由的任意性，可得3設(shè)，在區(qū)間上連續(xù)，記，證明和也都在上連續(xù) 證明 由第一章總練習題1，有，因為，在區(qū)間上連續(xù)，所以在上連續(xù)，再由第四章第1節(jié)習題4，知在上連續(xù)，從而由連續(xù)函數(shù)的四則運算定理4.4，和都在上連續(xù)4設(shè)為R上連續(xù)函數(shù)，常數(shù)，記，證明 F 在 R 上

6、連續(xù) 證明 因為，于是由第3題，知F 在R上連續(xù) 5設(shè)，證明：復合函數(shù)在連續(xù)，但在不連續(xù) 證明 ，處處連續(xù) 因為，在的左、右極限不相等，故在的極限不存在，從而在不連續(xù) 6設(shè)在上連續(xù)，且存在，證明：在上有界 又問在上必有最大值或最小值嗎？證明 因為存在，所以由函數(shù)極限的局部有界性知，存在，使得在上有界 又因為在上連續(xù)，于是由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性知，在上有界，從而在上有界 在上不一定有最大值或最小值 例如函數(shù)在上連續(xù)，但沒有最小值；函數(shù)在上連續(xù)，但沒有最大值 7若對任何充分小的，在上連續(xù)，能否由此推出在內(nèi)連續(xù) 證明 能推出在內(nèi)連續(xù) 證明如下：，取，于是，由題設(shè)，在上連續(xù)，從而在連續(xù) 由的任意性

7、知，在內(nèi)連續(xù) 8求極限：（1）；（2）解 （1）由函數(shù)的連續(xù)性，（2）由函數(shù)的連續(xù)性，9證明：若在上連續(xù)，且對任何，則在上恒正或恒負 證明 （用反證法）假設(shè)在上不是恒正或恒負 則存在，使得， 不妨設(shè)，則在上連續(xù)，且與異號，由根的存在定理知，存在，使得，這與題設(shè)“對任何，”矛盾 10證明：任一實系數(shù)奇次方程至少有一個實根 證明 設(shè)實系數(shù)奇次方程為， 因為，故存在，使得， 在上連續(xù)，于是由根的存在定理，存在，使得，即是方程的實根 11試用一致連續(xù)的定義證明：若，都在區(qū)間上一致連續(xù)，則也在上一致連續(xù) 證明 因為，都在區(qū)間上一致連續(xù)，所以，分別存在，使得，當時有，當時有 取，則，當時有，所以也在上一致

8、連續(xù) 12證明在上一致連續(xù) 證明 令，由P78例6知在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù) 下面證明：在上一致連續(xù) ，取，當時有，所以在上一致連續(xù) 再由P80例10知，在上一致連續(xù) 13證明在上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù) 證明 （1）設(shè)，取，當時有，所以在上一致連續(xù) （2）在上，取，取，這時有，但 故在上不一致連續(xù) 14設(shè)函數(shù)在區(qū)間上滿足 Lipschitz 條件，即存在常數(shù)L0，使得對上任意兩點都有，證明在上一致連續(xù) 證明 ，取，當時有，所以在上一致連續(xù) 15證明在上一致連續(xù) 證明 ，取，當時有，所以在上一致連續(xù) 16設(shè)在上連續(xù)，且存在，證明：在上一致連續(xù)證明 設(shè) 于是對任給的，存在，當時，有 因在上連

9、續(xù)，故在上一致連續(xù) 從而存在，使得當且時，有 下面說明，當且時，必有 事實上，若，則由 式 知有成立；若，則由式, 可得 ，所以在上一致連續(xù)17設(shè)在上連續(xù)，且 證明：存在點，使得證明 令，則在上連續(xù) 又由知與符號相反，所以由根的存在定理知，存在點，使得18設(shè)為上的增函數(shù)，其值域為 證明在上連續(xù)證明 用反證法 若有間斷點，則由教材P55習題5，知與都存在，且 又因為上的增函數(shù)，所以有于是且區(qū)間只含的值域中的一個點，這與的值域為矛盾19設(shè)在上連續(xù)，證明：存在，使得證明 若，則?。环駝t，設(shè)，則由介值定理，知存在，使得20證明在上一致連續(xù)證明 因為 當，有，即在滿足Lipschitz條件，由本章第2節(jié)

10、習題14，知在上一致連續(xù)又因為在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù) 所以由本章第2節(jié)例10，可知在上一致連續(xù)3 初等函數(shù)的連續(xù)性 （第84 頁）1求下列極限（1）； （2）；（3）；（4）； （5） 解 （1）；（2） ；（3）； （4）； （5）2設(shè)，證明證明 總 練 習 題（第84-86 頁）1設(shè)函數(shù)在連續(xù)，且與為有限值 證明：（1）在內(nèi)有界；（2）若存在，使得，則在內(nèi)能取到最大值 證明 （1）定義，則在內(nèi)連續(xù)，從而在內(nèi)有界，當然也在內(nèi)有界 而在內(nèi)，于是在內(nèi)有界 （2）因為在內(nèi)連續(xù)，從而在內(nèi)有最大值 又由題設(shè)，存在，使得，即，因此的最大值在內(nèi)達到 所以在內(nèi)能取到最大值 2設(shè)函數(shù)在連續(xù)，且 證明在內(nèi)能

11、取到最小值 證明 因為，所以對，分別存在，使得當時，有；當時，有 因為在閉區(qū)間連續(xù)，于是在上有最小值，由于，故，從而也是在內(nèi)的最小值 類似地可證：設(shè)函數(shù)在連續(xù)，且 則在內(nèi)能取到最大值 3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，證明：（1）若對任何有理數(shù)有，則在上；（2） 若對任意兩個有理數(shù)，有，則在上嚴格增證明 （1）對任何無理數(shù)，取有理點列，使（），則由的連續(xù)性以及得 所以在上（2） ，要證 取有理數(shù)， 由在點的連續(xù)性，對，存在正數(shù)，使得當有理數(shù)，有；當有理數(shù)，有 注意到以及在有理點集上的嚴格遞增性，可得，所以在上嚴格增4設(shè)，為正數(shù)，證明：方程，在區(qū)間（）與（）內(nèi)各有一個根提示：考慮證明 令，只需證明方程在（）

12、與（）內(nèi)各有一個根即可由于是一元二次方程，據(jù)代數(shù)基本定理方程 至多有二個實根，而，由根的存在定理即得所求5設(shè)在上連續(xù)，且對任何, 存在, 使得證明： 存在, 使得證明 由在上連續(xù)，有在上連續(xù)，于是在有最小值, 設(shè)在取得最小值, 即 若, 則已得證 假設(shè), 則由題設(shè)，存在, 使得; 因是在的最小值, 所以 矛盾 結(jié)論得證另解 反證法 假設(shè)對任何，都有，于是恒正或恒負，否則由介值定理，必有零點 不妨設(shè)， 因為在上連續(xù)，所以有最小值，設(shè)， 由題設(shè)，存在, 使得，這與是在上的最小值矛盾 結(jié)論得證6設(shè)在上連續(xù)，另有一組正數(shù)滿足 證明：存在一點，使得證明 若，則取；否則，設(shè)在上的最大值、最小值分別為，則由介值定理，知存在，使得7設(shè)在上連續(xù)，滿足， 設(shè)， 證明：（1）為收斂數(shù)列； （2）設(shè)，則有；（3）若條件改為，則證明 （1） 因為，所以，即遞減有下界0，故收斂（2） 設(shè)，由在上連續(xù)，則在上連續(xù)，從而（3）因為，所以 若，則由題設(shè)：，必有 這與中的結(jié)論矛盾 故8設(shè)在上連續(xù)， 證明：對任何正整數(shù) n, 存在, 使得證明 當時, 取 當時, 令, , 則有，由第6題知, 存在, 使得, 從而 9設(shè)在連續(xù)，且對任何x, yR有 證明：（1）在R上連續(xù)； （2） 提示：（1）易見；（2）對整數(shù)，（