1、2020學年度羅定藝術高級中學高二數(shù)學3月份考試試題學校:_姓名：_班級：_考號：_評卷人得分一、單選題1已知函數(shù)f(x)=，若對于，使得f()=g()，則的最大值為（ ）A B C D2平面上動點與定點的距離和到直線的距離的比為，則動點的軌跡的標準方程為（ ）A B C D3已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在處切線的斜率為，則的極大值是（ ）A BC D4我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點，且法向量為的直線（點法式）方程為：，化簡得.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面的方程為（）A BC D5已知函數(shù)，則

2、滿足的的取值范圍是（ ）ABCD6歐拉公式為虛數(shù)單位是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占用非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)在復平面中位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7設的實部與虛部相等，其中為實數(shù)，則A-1 B-2 C1 D28已知函數(shù)的圖象上有兩對關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D9若向量，是非零向量，則“”是“，夾角為”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件10方程表示的曲線是A一個圓 B兩個半圓 C兩個

3、圓 D半圓11已知雙曲線：，為左，右焦點，直線過右焦點，與雙曲線的右焦點交于，兩點，且點在軸上方，若，則直線的斜率為（ ）ABCD12古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”從下圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和下列等式中，符合這一規(guī)律的是 ( ) ABCD評卷人得分二、填空題13已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是_14已知拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，過點作直線與拋物線交于兩點若以為直徑的圓過點，則的值為_15橢圓的離心率等于，則橢圓的標準方程為_16設曲線在點

4、處的切線與直線垂直，則_評卷人得分三、解答題17已知關于的方程有實數(shù)根，求實數(shù)的值18已知函數(shù)（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，的圖象恒在的圖象上方，求a的取值范圍.19已知函數(shù)若曲線在點處的切線與x軸平行，且，求a，b的值；若，對恒成立，求b的取值范圍20隨著資本市場的強勢進入，互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風來”，遍布了各個城市的大街小巷為了解共享單車在市的使用情況，某調(diào)研機構(gòu)在該市隨機抽取了位市民進行調(diào)查，得到的列聯(lián)表（單位：人）（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為使用共享單車的情況與年齡有關？(結(jié)果保留3位小數(shù)）（2）現(xiàn)從所抽取的歲以上的市民中利用分層抽樣的方法再抽

5、取5人（i）分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù)；（ii）從這5人中，再隨機抽取2人贈送一件禮物，求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.參考公式及數(shù)據(jù)：，21設函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)（1）當時，求在點處的切線的斜率；（2）若存在，使，求正數(shù)的取值范圍22根據(jù)下列條件求雙曲線的標準方程.（1）經(jīng)過點,焦點在軸上;（2）與雙曲線有相同的焦點,且經(jīng)過點.23已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）對時，對任意，恒成立，求的取值范圍.參考答案1D【解析】【分析】不妨設f()=g()a，從而可得的表達式，求導確定函數(shù)的單調(diào)性，再求最小值即可【詳解】不妨設f()=g()a，a，ln(

6、a+e)，故ln(a+e)-，（a-e）令h（a）ln(a+e)-，h（a），易知h（a）在（-e，+）上是減函數(shù)，且h（0）0，故h（a）在a處有最大值，即的最大值為；故選：D【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應用及導數(shù)的綜合應用，考查了指對互化的運算，屬于中檔題2D【解析】【分析】由題意得到關于x,y的等式，整理變形即可確定動點的軌跡的標準方程.【詳解】由題意可得：，整理變形可得：.本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查軌跡方程的求解，屬于基礎題.3A【解析】【分析】由函數(shù)的圖象在處切線的斜率為，得，從而得m=0，進而得f（x）的單調(diào)性，即可得極大值=.【詳解】因為函數(shù)，所以，由函數(shù)的圖象在處切線

7、的斜率為，所以=3e，所以m=0. 即=0的根-2,0，因為，所以函數(shù) 遞增，在遞減，在遞增，所以函數(shù)的極大值=.故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)切線斜率的應用和求函數(shù)的極大值的問題，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是關鍵，屬于中檔題.4A【解析】【分析】類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P（x，y，z），則（x1，y2，z3），利用平面法向量為（1，2，1），即可求得結(jié)論【詳解】類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P（x，y，z），則（x1，y2，z3）平面法向量為（1，2，1），（x1）2（y2）+1（z3）0x+2yz20，故選：A【點睛】本題考查了類比推理，考查了空間向量

8、數(shù)量積的坐標運算，由于平面向量與空間向量的運算性質(zhì)相似，利用求平面曲線方程的辦法，構(gòu)造向量，利用向量的性質(zhì)解決空間內(nèi)平面方程的求解問題，屬于中檔題5B【解析】【分析】構(gòu)造g（x）f（x）-（e+e1），利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【詳解】函數(shù)f（x）ex1+e1x，令g（x）ex1+e1x（e+e1），g（x）ex1-e1x，令g（x）0，解得x1可得：函數(shù)g（x）在（，1）上單調(diào)遞減，（1，+）上單調(diào)遞增g（x）ming（1）2（e+e1）0，又g（0）g（2）00x2故選：B【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6B【解析】【分析】由歐拉公式

9、,可得=cos2+isin2，表示的復數(shù)在復平面中的象限.【詳解】解：由歐拉公式，可得=cos2+isin2，此復數(shù)在復平面中對應的點為（cos2，sin2），易得cos20，sin20，可得此點位于第二象限，故選B.【點睛】本題主要考查復數(shù)幾何意義的應用，靈活運用所給條件求解是解題的關鍵.7A【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法運算化簡題目所給表達式，根據(jù)實部和虛部相等列方程，求得的值.【詳解】依題意，由于該復數(shù)的實部和虛部相等，故，解得，故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)實部和虛部的概念，考查方程的思想，屬于基礎題.8D【解析】【分析】由函數(shù)的圖象上有兩對關于軸對稱的點，轉(zhuǎn)化為與

10、在上有兩個交點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，確定切線的斜率，再結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】由題意，當時，則關于軸的對稱的函數(shù)解析式為，因為函數(shù)的圖象上有兩對關于軸對稱的點，可轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，設與相切于點，且，由，則，所以，即，.(1)又由當時，(2)由(1)(2)聯(lián)立解得，即又由，且，則，結(jié)合圖象可知，滿足，即，故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的對稱性問題的應用，其中解答中把函數(shù)的圖象上有兩對關于軸對稱的點，轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，再結(jié)合函數(shù)的圖象求解是解答的關鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.9C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要

11、條件的定義結(jié)合向量的運算進行判斷即可【詳解】，向量，是非零向量，夾角為 “”是“，夾角為”的充要條件故選：C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)向量的運算是解決本題的關鍵10D【解析】【分析】方程等價于，即可得出結(jié)論【詳解】方程等價于，表示的曲線是半個圓故選：D【點睛】本題考查曲線與方程，考查圓的知識，屬于基礎題11D【解析】【分析】由|AF2|3|BF2|，可得.設直線l的方程xmy+，m0，設，即y13y2，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2-，y1y2，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，則F2（，0），設直線l的方程xmy+，m0，雙曲

12、線的漸近線方程為x2y，m2，設A（x1，y1），B（x2，y2），且y10，由|AF2|3|BF2|，y13y2由，得（2m）24（m24）0，即m2+40恒成立，y1+y2，y1y2，聯(lián)立得，聯(lián)立得，即：，解得：，直線的斜率為，故選：D【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題12C【解析】【分析】結(jié)合題意可知,代入數(shù)據(jù),即可.【詳解】A選項,13不滿足某個數(shù)的平方,故錯誤;B選項, ,故錯誤;C選項,故正確;D選項, ,故錯誤.故選C.【點睛】本道題考查了歸納推理，關鍵抓住利用邊長點數(shù)計算總點數(shù),難度中等.13【解析】【分析】令，對其求導并判斷它

13、的單調(diào)性，可以得到函數(shù)的單調(diào)性，進而畫出的圖象，當直線與函數(shù)的圖象有三個交點時，滿足題意，求出即可。【詳解】令，求導，當時，則在上單調(diào)遞增；當時，則在上單調(diào)遞減，在時，取得最大值為.結(jié)合單調(diào)性，可以畫出函數(shù)的圖象(見下圖)，當時，函數(shù)有3個零點【點睛】已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值常用的方法和思路（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解。144【解析】【分析】設直線方程,與拋物線方程聯(lián)立，借助于求出點A，B的橫坐標，利

14、用拋物線的定義，即可求出|AF|BF|【詳解】解：假設k存在，設AB方程為：yk（x1），與拋物線y24x聯(lián)立得k2（x22x+1）4x，即k2x2（2k2+4）x+k20 設兩交點為A（x2，y2），B（x1，y1），以為直徑的圓過點,QBA90，（x12）（x1+2）+y120，x12+y124，x12+4x110（x10），x12，x1x21，x22，|AF|BF|（x2+1）（x1+1）4，故答案為：4【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題15【解析】【分析】根據(jù)橢圓的基本概念，結(jié)合題意算出a3，c，從而得到b26再根據(jù)橢圓的焦

15、點位置，即可確定此橢圓的標準方程【詳解】橢圓的長軸為6，離心率是，焦點在x軸上，2a6，e，解得a3，c，b2a2c26，又橢圓的焦點在x軸上，其方程為；故答案為【點睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)的應用，屬于基礎題161【解析】【分析】對函數(shù)求導，利用導數(shù)的幾何意義可得曲線在點(1,a)處的切線斜率，根據(jù)兩條直線垂直斜率乘積為-1即可得a值.【詳解】，所以切線的斜率，又切線與直線垂直得，解得.故答案為：1【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，屬于基礎題.17或【解析】【分析】利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等即可得出【詳解】設x是方程的實根，代入方程并整理得（k+2）+（2+k）i0由復數(shù)相等的條件得k+

16、22+k0，解得，或方程的實根為x或x，相應的k的值為k2或k2【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題18()詳見解析()【解析】【分析】（1）首先求出f（x）導數(shù)，分類討論a來判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）利用轉(zhuǎn)化思想 yf（x）的圖象恒在yax3+x2（a1）x的圖象上方，即xexaxax3+x2（a1）x對x（0，+）恒成立；即 exax2x10對x（0，+）恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到a的范圍.【詳解】（1）f（x）xexaxx（exa）當a0時，exa0，x（，0）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減；x（0，+）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞

17、增；當0a1時，令f（x）0得x0或xlna（i） 當0a1時，lna0，故：x（，lna）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，x（lna，0）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，x（0，+）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增； （ii） 當a1時，lna0，f（x）xexaxx（ex1）0恒成立，f（x）在（，+）上單調(diào)遞增，無減區(qū)間； 綜上，當a0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+），單調(diào)減區(qū)間是（，0）；當0a1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（，lna）和（0，+），單調(diào)減區(qū)間是（lna，0）；當a1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（，+），無減區(qū)間（2）由（I）知f（x）xexax當x（0，+）時，y

18、f（x）的圖象恒在yax3+x2（a1）x的圖象上方；即xexaxax3+x2（a1）x對x（0，+）恒成立；即 exax2x10對x（0，+）恒成立； 記 g（x）exax2x1（x0），g（x）ex2ax1h（x）；h（x）ex2a；（i） 當時，h（x）ex2a0恒成立，g（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，g（x）g（0）0；g（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；g（x）g（0）0，符合題意； （ii）當時，令h（x）0得xln（2a）；x（0，ln（2a）時，h（x）0，g（x）在（0，ln（2a）上單調(diào)遞減；x（0，ln（2a）時，g（x）g（0）0；g（x）在（0，ln（2a）上單調(diào)遞減，x

19、（0，ln（2a）時，g（x）g（0）0，不符合題意； 綜上可得a的取值范圍是【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，屬中等題型19（1）；（2）【解析】【分析】（1）對求導，解方程組求出，即可。（2）將代入，利用參變分離可以將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，求出的最小值，令即可?！驹斀狻浚?），由，得，（2）因為，等價于，令，當時，所以在上單調(diào)遞減，當時，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，屬于中檔題。20（1）能；（2）（i）經(jīng)常使用人、偶爾或不用共享單車人；（ii）.【解析】【分析】（1）計算k2，與2.07

20、2比較大小得出結(jié)論，（2）（i）根據(jù)分層抽樣即可求出，（ii）設這5人中，經(jīng)常使用共享單車的3人分別為a，b，c；偶爾或不用共享單車的2人分別為d，e，根據(jù)古典概率公式計算即可【詳解】（1）由列聯(lián)表可知，因為2.1982.072，所以能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為A市使用共享單車情況與年齡有關（2）（i）依題意可知，所抽取的5名30歲以上的網(wǎng)友中，經(jīng)常使用共享單車的有（人），偶爾或不用共享單車的有（人）（ii）設這5人中，經(jīng)常使用共享單車的3人分別為a，b，c；偶爾或不用共享單車的2人分別為d，e則從5人中選出2人的所有可能結(jié)果為（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10種其中沒有1人經(jīng)常使用共享單車的可能結(jié)果為（d，e），共1種故選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率【點睛】獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3) 查表比較與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學關系，得到的結(jié)論也可能犯錯誤.）21（1）；（2）【解析】【分析】（1）對求導，代入x=1即可得斜率.（2）依題意得，對a按，分類討論得的單調(diào)性和最小值即可.【詳解】解：（1）設所求切線的斜率為，當時， ， （2）