1、4.6 正弦定理和余弦定理 要點(diǎn)梳理 1.正弦定理: ,其中R是三角形 外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為: （1）abc=sin Asin Bsin C; （2）a= ,b= ,c= ; （3） 等形式,以 解決不同的三角形問題.,2Rsin C,2Rsin A,2Rsin B,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),2.余弦定理:a2= ,b2= , c2= .余弦定理可以變形為:cos A ,cos B= ,cos C= . 3. r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑）,并可由此計(jì)算R、r.,b2+c2-2bccos A,a2+c2-2accos B,a2+b2-2abcos C,4.在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類

2、問題： （1）已知兩角及任一邊，求其它邊或角； （2）已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角. 情況（2）中結(jié)果可能有一解、二解、無解， 應(yīng)注意區(qū)分. 余弦定理可解決兩類問題： （1）已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問題； （2）已知三邊問題. 5.解三角形的類型 在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：,基礎(chǔ)自測(cè) 1.（2008陜西理，3）ABC的內(nèi)角A、B、C的 對(duì)邊分別為a、b、c,若c= ,b= ,B=120, 則a等于（ ） A. B.2 C. D. 解析,D,2.ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若 a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a,則cos B等于( ) A. B.

3、C. D. 解析 由已知得b2=ac,c=2a,B,3.在ABC中，A=60,a=4 ,b=4 ,則B等 于（ ） A.45或135 B.135 C.45 D.以上答案都不對(duì) 解析 由正弦定理得 又ab,A=60,B=45.,C,4.已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形 的三邊，若abc=16 ，則三角形的面積為（ ） A. B. C. D. 解析,C,5.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. 若B=45，b= ，a=1，則C= . 解析 ab,A=60或A=120. 當(dāng)A=60時(shí)，C=180-45-60=75,當(dāng)A=120時(shí)，C=180-45-120=15.,(2)B

4、=60,C=75,A=45. （3）a，b，c成等比數(shù)列， b2=ac，又a2-c2=ac-bc， b2+c2-a2=bc. 在ABC中，由余弦定理得,（1）已知兩角一邊可求第三角，解這 樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. （2）已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正 弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是 解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意.,知能遷移1 在ABC中，若b= ,c=1,B=45, 求a及C的值. 解 由正弦定理得 因?yàn)閏b,所以CB,故C一定是銳角， 所以C=30,所以A=105，,題型二 余弦定理的應(yīng)用 在ABC中，a、b、c分別是角A，B，C 的對(duì)邊，且 （1）求角B的大

5、小； （2）若b= ，a+c=4，求ABC的面積. 由 利用余弦定理 轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解. 解 （1）由余弦定理知：,(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦 定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵. （2）熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意 整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.,知能遷移2 已知ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的 對(duì)邊分別為a,b,c,若ABC的面積為S，且 2S=（a+b）2-c2，求tan C的值. 解 依題意得absin C=a2+b2-c2+2ab, 由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C. 所以,absin C=2ab(1+cos C), 即sin C=2

6、+2cos C,題型三 三角形形狀的判定 在ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角 A、B、C的對(duì)邊，如果（a2+b2）sin（A-B）= （a2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀. 利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角 互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系. 解 方法一 已知等式可化為 a2sin（A-B）-sin（A+B） =b2-sin（A+B）-sin(A-B) 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化為： sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0 sin 2A

7、=sin 2B,由02A,2B0;若A為直角，則b2+c2-a2=0；若A為鈍角， 則b2+c2-a20. （2）利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的 三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得 出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí) 要注意應(yīng)用A+B+C=這個(gè)結(jié)論.,知能遷移3 在ABC中，已知2sin Acos B= sin C，那么ABC一定是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析 方法一 因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=， 即C=-（A+B），所以sin C=sin(A+B). 由2sin Acos B=sin C, 得2sin Acos B=

8、sin Acos B+cos Asin B, 即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.,又因?yàn)?A-B0,2cos B=1, B是三角形的內(nèi)角，B=60. 6分 （2）在ABC中，由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2accos B, 8分 將b= ,a+c=4代入整理，得ac=3. 10分,12分,在求角問題中，一般都是用正、余弦定 理將邊化為角.由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角的 范圍.在應(yīng)用余弦定理時(shí)，要注意配方這一小技 巧，通過配方，使之出現(xiàn)（a+b）2或（a-b）2. 將a+b或a-b作為一個(gè)整體，可以帶來非常好的效

9、果.,知能遷移4 （2008遼寧理，17）在ABC中， 內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.已 知c=2, （1）若ABC的面積等于 ，求a、b的值； （2）若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求ABC的 面積. 解 (1)由余弦定理及已知條件,得a2+b2-ab=4. 又因?yàn)锳BC的面積等于 ， 所以 absin C= ,所以ab=4.,(2)由題意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即sin Bcos A=2sin Acos A, 當(dāng)cos A0時(shí)，得sin B=2sin A, 由正弦定理得b=2a,方法與技巧 1.正、余弦定理和三角形面積公式

10、是本節(jié)課的 重點(diǎn),利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系, 三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求 解三角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問題. 2.應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理: A+B+C=, 中互補(bǔ)和互余的情況, 結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù).,思想方法 感悟提高,3.正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由 正、余弦定理結(jié)合得sin2A=sin2B+sin2C- 2sin Bsin Ccos A,可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明. 4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種 途徑： （1）化邊為角；（2）化角為邊，并常用正弦 （余弦）定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換. 失誤與防范 在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一

11、邊 的對(duì)角求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而求出其他的邊和角 時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類 討論.,一、選擇題 1.ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2=ac， 2b=a+c，則此三角形是 （ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 解析 2b=a+c，4b2=（a+c）2， 又b2=ac,(a-c)2=0.a=c. 2b=a+c=2a.b=a，即a=b=c.,D,定時(shí)檢測(cè),2.ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且 cos 2B+3cos(A+C)+2=0，b= ,則csin C等于 （ ） A.31 B. 1 C. 1 D.21 解析 cos

12、2B+3cos(A+C)+2=2cos2B- 3cos B+1=0,cos B= 或cos B=1(舍).,D,3.ABC中，AB= ,AC=1,B=30，則ABC的 面積等于 （ ） A. B. C. D. 解析 C=60或120. (1)當(dāng)C=60時(shí),A=90,BC=2,此時(shí), （2）當(dāng)C=120時(shí)，A=30，,D,4.（2008四川文，7）ABC的三內(nèi)角A、B、C 的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c.若 A=2B， 則cos B等于（ ） A. B. C. D. 解析 由正弦定理得,B,5.（2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C 的對(duì)邊分別為a、b、c，若（a2+c2-b2）tan B

13、 = ac，則角B的值為（ ） A. B. C. D. 解析 (a2+c2-b2)tan B= ac,D,6.在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若 b2+c2-bc=a2,且 ,則角C的值為 （ ） A.45 B.60 C.90 D.120 解析 由b2+c2-bc=a2,得b2+c2-a2=bc,C,二、填空題 7.（2009上海春招）在ABC中，若AB=3, ABC=75,ACB=60，則BC= . 解析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知 BAC=180-75-60=45. 根據(jù)正弦定理得,8. 在ABC中,AB=2,AC= ,BC=1+ ，AD為邊 BC上的高，則AD的長(zhǎng)是 . 解

14、析,9.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b， c，若其面積 （b2+c2-a2），則A= . 解析,三、解答題 10.在ABC中，若 試判斷 ABC的形狀. 解 方法一 利用正弦定理邊化角. 即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B. 因?yàn)锽、C均為ABC的內(nèi)角， 所以2C=2B或2C+2B=180,所以B=C或B+C=90， 所以ABC為等腰三角形或直角三角形. 方法二 由余弦定理，得 即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2), 所以a2c2-c4=a2b2-b4, 即a2b2-a2c2+c4-b4=0, 所以a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0, 即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0, 所以b2=c2或a2-b2-c2=0, 即b=c或a2=b2+c2. 所以ABC為等腰三角形