1、24.424.4 一元二次方程的應(yīng)用（一元二次方程的應(yīng)用（2 2） 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 【知識與能力】 1.會根據(jù)具體問題,找到增長率問題中的等量關(guān)系,列出一元二次方程并求解. 2.能根據(jù)問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理. 3.進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵. 【過程與方法】 1.經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為方程問題的過程,探索問題中的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)中的建 模思想. 2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 3.通過根據(jù)實(shí)際問題列方程,體會數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān). 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 1.通過用一元二次方程解決身邊的問題,體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

2、 趣. 2.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生合作的意識和自主探究的學(xué)習(xí)能力. 教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 列一元二次方程解增長率問題的應(yīng)用題. 【教學(xué)難點(diǎn)】 在實(shí)際問題中找等量關(guān)系列方程. 課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程教學(xué)過程 一、新課引入： 導(dǎo)入一: 復(fù)習(xí)提問: 1.解一元二次方程有哪些方法? 2.列一元一次方程解應(yīng)用題有哪些步驟? 【師生活動】學(xué)生回答,教師點(diǎn)評. 審題;設(shè)未知數(shù);找相等關(guān)系;列方程;解方程;答. 導(dǎo)入二: 某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本,其中可變成本逐年增長,已知該養(yǎng)殖戶 第一年的可變成本為 2.6 萬元,第二年的可變成本為 2.86 萬元,則可變成本每年的

3、增長率是 多少? 【師生活動】學(xué)生獨(dú)立完成后小組內(nèi)交流答案,教師針對解應(yīng)用題的步驟做出點(diǎn)評. 設(shè)計(jì)意圖通過復(fù)習(xí)一元二次方程的有關(guān)解法,為本節(jié)課做好鋪墊,同時(shí)以增長率有關(guān)的 一元一次方程引入新課,為本節(jié)課建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型解決增長率的實(shí)際問題打下 基礎(chǔ),降低了本節(jié)課知識的難度,學(xué)生易于理解和掌握. 二、新知構(gòu)建： 過渡語我們剛才用一元一次方程知識解決了簡單的增長率問題,今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí) 和增長率有關(guān)的應(yīng)用問題. 一起探究一元二次方程解增長率問題 【課件展示】隨著我國汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展以及人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高,汽車已越來越 多地進(jìn)入普通家庭.據(jù)某市交通部門統(tǒng)計(jì),2010 年底,該市汽車保

4、有量為 15 萬輛,截至 2012 年底,汽車保有量已達(dá) 21.6 萬輛.若該市這兩年汽車保有量增長率相同,求這個(gè)增長率. 思路一 教師引導(dǎo)分析回答以下問題: 設(shè)年增長率為x,請你思考并解決下面的問題: (1)2011 年底比 2010 年底增加了萬輛汽車,達(dá)到了萬輛. (2)2012 年底比 2011 年底增加了萬輛汽車,達(dá)到了萬輛. (3)根據(jù)題意,列出的方程是. (4)解方程,回答原問題,并與同學(xué)交流解題的思路和過程. 【師生活動】 學(xué)生獨(dú)立思考后小組合作交流,完成解答過程后交流答案,學(xué)生板書展示結(jié)果, 教師點(diǎn)評并規(guī)范答題格式. 解:設(shè)年增長率為x,根據(jù)題意得: 2 15(1+x) =2

5、1.6, 解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合題意舍去). 答:這個(gè)增長率為 20%. 拓展提問: 如果增長率不變,2013 年底,該市汽車保有量達(dá)到多少萬輛? 學(xué)生思考,獨(dú)立完成,教師補(bǔ)充. 思路二 【思考】 (1)基數(shù)是a,增長率為x,則第一年增長多少?增長到多少?第二年增長多少?增長到多少? (2)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系? (3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程? (4)根據(jù)等量關(guān)系列方程并求解. (5)如果增長率不變,2013 年底,該市汽車保有量達(dá)到多少萬輛? 【師生活動】 針對以上問題,小組討論交流,共同探究,教師對疑惑較多的問題要點(diǎn)撥,然后 小組代表板書自己的解答過

6、程,老師進(jìn)行點(diǎn)評,教給學(xué)生如何審題、分析題. 解:設(shè)年增長率為x,根據(jù)題意得: 2 15(1+x) =21.6, 解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合題意舍去). 答:這個(gè)增長率為 20%. 如果增長率不變,則 2013 年底該市汽車保有量為 21.6(1+20%)=25.92(萬輛). 設(shè)計(jì)意圖把分析問題的過程設(shè)置成小問題的形式,通過教師的引導(dǎo)或者小組合作交流, 學(xué)生層層遞進(jìn)的方式分析并解決問題,降低了學(xué)習(xí)難度,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力. 做一做 【課件展示】 某工廠工業(yè)廢氣年排放量為300 萬立方米.為改善城市環(huán)境質(zhì)量,決定在兩年 內(nèi)使廢氣年排放量減少到 144 萬立方米.如果第

7、二年廢氣減少的百分率是第一年廢氣減少的 百分率的 2 倍,那么每年廢氣減少的百分率各是多少? 【思考】 (1)題目中的已知量和未知量分別是什么? (工業(yè)廢氣年排放量為300萬立方米和兩年內(nèi)使廢氣年排放量減少到144萬立方米;每年廢氣 減少的百分率) (2)未知量之間的數(shù)量關(guān)系是什么? (第二年廢氣減少的百分率是第一年廢氣減少的百分率的2 倍) (3)如何設(shè)未知數(shù)? (設(shè)第一年廢氣減少的百分率為x,則第二年廢氣減少的百分率為2x) (4)題目中的等量關(guān)系是什么? (工業(yè)廢氣年排放量 300 萬立方米減少兩次=144 萬立方米) (5)如何根據(jù)等量關(guān)系列出方程? (300(1-x)(1-2x)=1

8、44) (6)你能求解方程,寫出正確答案嗎? 【師生活動】學(xué)生獨(dú)立思考后小組合作交流,再獨(dú)立完成,完成后小組內(nèi)交流答案,同時(shí)小 組代表板書解題過程,教師幫助有困難的學(xué)生,對學(xué)生的板書進(jìn)行規(guī)范和點(diǎn)評. 設(shè)計(jì)意圖該題涉及連續(xù)減少的減少率問題,為了降低學(xué)生的理解困難,將分析過程設(shè)計(jì) 成小問題的形式,通過小組合作交流、自主探究,建立一元二次方程模型解決減少率問題,提 高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,同時(shí)與增長率問題作比較,弄明白兩者之間的區(qū)別與聯(lián) 系. 例題講解 【課件展示】 (教材 49 頁例 3)建大棚種植蔬菜是農(nóng)民致富的一條好途徑.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):搭建 一個(gè)面積為x(公頃)的大棚,所需建設(shè)費(fèi)用

9、(萬元)與x+2成正比例,比例系數(shù)為0.6;內(nèi)部設(shè)備 2 費(fèi)用(萬元)與x成正比例,比例系數(shù)為2.某農(nóng)戶新建了一個(gè)大棚,投入的總費(fèi)用為4.8萬元. 請計(jì)算該農(nóng)戶新建的這個(gè)大棚的面積.(總費(fèi)用=建設(shè)費(fèi)用+內(nèi)部設(shè)備費(fèi)用) 教師引導(dǎo)思考: (1)建設(shè)費(fèi)用與x+2 成正比例,比例系數(shù)為 0.6,則建設(shè)費(fèi)用可表示成; 2 (2)內(nèi)部設(shè)備費(fèi)用與x成正比例,比例系數(shù)為 2,則內(nèi)部設(shè)備費(fèi)用可表示成; (3)題目中的等量關(guān)系是; (4)根據(jù)題意列方程得. 【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生分析填空后,學(xué)生獨(dú)立完成解答過程,教師點(diǎn)評. 【課件展示】 2 解:依題意,得 0.6(x+2)+2x=4.8. 2 整理,得 10 x+3x-18=0. 解方程,得x1=1.2,x2=-1.5(不合題意,舍去). 答:該農(nóng)戶新建的這個(gè)大棚的面積為1.2 公頃. 設(shè)計(jì)意圖教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意,難點(diǎn)是用代數(shù)式正確表示等量關(guān)系中的兩種費(fèi)用,通 過對實(shí)際問題的理解,進(jìn)一步體會建立方程模型的過程,提高學(xué)生的應(yīng)用意識. 三、課